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13函数极值点偏移问题


函数极值点偏移问题
例. 已知函数 f(x)=xe- (x ? R). (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,证明当 x>1 时,f(x)>g(x) (Ⅲ)如果 x1 ? x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 证明 x1 ? x2 ? 2
x

变式 1. 已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的单调区间;

1? x x e. 1 ? x2

(2)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

变式 2. 已知函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣(2﹣a)x. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)设 a>0,证明:当 0<x<a 时,f(a +x)>f(a ﹣x) ; (III) 若函数 y=f (x) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明:f′( x0)<0.
1 1 1

1

变式 3. 设函数 f ? x ? ? ex ? ax ? a 点,且 x1 ? x2 . 证明: f ?

?a ? R? ,其图象与 x 轴交于 A? x1,0? B ? x2 ,0? 两

?

x1 x2 ? 0 ( f ? ? x ? 为函数 f ? x ? 的导函数).

?

变式 5. 已知函数 f ( x) ? x ln x 与直线 y ? m 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点. 求证: 0 ? x1 x2 ?

1 e2

x3 变式 6 . 已知f ( x) ? x , 若x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ? 6, 求证:f ( x1 )>f ( x2 ) e

2


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