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例谈因式分解的方法与技巧



例谈因式分解的方法与技巧
因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形, 是处理数学问题重要的手段和工具, 也是 中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解,除了掌握提公因式法、公式 法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外,还应根据多项式的具体结构特征,灵活选用一 些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易,化繁为简,复杂问题迎刃而解,而且有 助于培养同学们的探

索求新的学习习惯, 提高同学们的数学思维能力。 现将因式分解中几种 比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考: 一、巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当 巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项) 拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。 拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。 例 1、因式分解 a b + 4a + 2b + 3
2 2

解析:根据多项式的特点,把 3 拆成 4+(-1) , 则 a b + 4a + 2b + 3 = a 2 b 2 + 4a + 2b + 4 1 = ( a 2 + 4a + 4) (b 2 2b + 1)
2 2

= ( a + 2) 2 (b 1) 2 = ( a + b + 1)( a b + 3) 例 2、因式分解 x + 6 x + 11x + 6
3 2

解析:根据多项式的特点,把 6x 拆成 2 x + 4 x ;把 11x 拆成 8 x + 3 x
2 2 2

则 x + 6 x + 11x + 6 = ( x 3 + 2 x 2 ) + ( 4 x 2 + 8 x ) + (3 x + 6)
3 2

= x 2 ( x + 2) + 4 x ( x + 2) + 3( x + 2) = ( x + 2)( x 2 + 4 x + 3) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 二、巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项, 巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项, 再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。 再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。
4 4 例 3、因式分解 x + 4 y

解析:根据多项式的特点,在 x 4 + 4 y 4 中添上 4 x 2 y 2 ,4 x 2 y 2 两项, 则 x 4 + 4 y 4 = ( x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ) 4 x 2 y 2 = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 ( 2 xy ) 2 = ( x 2 + 2 xy + 2 y 2 )( x 2 2 xy + 2 y 2 ) 例 4、因式分解 x 3 x + 4
3 2

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解析:根据多项式的特点,将 3x 拆成 4 x + x ,再添上 4 x,4 x 两项,则
2 2 2

x 3 3x 2 + 4 = x 3 4 x 2 + 4 x + x 2 4 x + 4
= x( x 2 4 x + 4) + ( x 2 4 x + 4) = ( x 2 4 x + 4)( x + 1) = ( x + 1)( x 2)
2

三、巧换元:在某些多项式的因式分解过程中,通过换元,可把形式复杂的多项式变 巧换元:在某些多项式的因式分解过程中,通过换元, 形为形式简单易于分解的多项式,会使问题化繁为简,迅捷获解。 形为形式简单易于分解的多项式,会使问题化繁为简,迅捷获解。
2 2 例 5、因式分解 ( x + 3 x 4)( x x 6) + 24 2 2 解析: ( x + 3 x 4)( x x 6) + 24 = ( x 1)( x + 4)( x + 2)( x 3) + 24

= ( x 1)( x + 2)( x 3)( x + 4) + 24 = ( x + x 2)( x + x 12) + 24
2 2

设 y = x 2 + x 2 ,则 x 2 + x 12 = y 10

于是,原式=

y ( y 10) + 24 = y 2 10 y + 24 = ( y 4)( y 6) = ( x 2 + x 2 4)( x 2 + x 2 6)
= ( x 2 + x 6)( x 2 + x 8) = ( x 2)( x + 3)( x 2 + x 8)
2 例 6、因式分解 ( x + y 2 xy )( x + y 2) + ( xy 1)

解析:设 x + y = m, xy = n ,则

( x + y 2 xy )( x + y 2) + ( xy 1) 2 = (m 2n)(m 2) + (n 1) 2
= m 2 2mn + n 2 2m + 2n + 1 = ( m n) 2 2( m n) + 1 = ( m n 1) 2 = ( x + y xy 1) 2 = [( x 1)(1 y ) ] = ( x 1) 2 ( y 1) 2
2

四、展开巧组合:若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可采取 展开巧组合:若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难, 展开重组合,然后再用基本方法分解,可谓匠心独具,使问题巧妙得解。 展开重组合,然后再用基本方法分解,可谓匠心独具,使问题巧妙得解。
2 2 2 2 例 7、因式分解 mn( x + y ) + xy ( m + n )

解析:将多项式展开再重新组合,分组分解

mn( x 2 + y 2 ) + xy (m 2 + n 2 ) = mnx 2 + mny 2 + xym 2 + xyn 2
= ( mnx 2 + xym 2 ) + ( mny 2 + xyn 2 ) = mx ( nx + my ) + ny ( nx + my ) = ( nx + my )( mx + ny )
2 2 例 8、因式分解 ( mx + ny ) + ( nx my )

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解析: ( mx + ny ) + ( nx my ) = m x + 2mnxy + n y + n x 2mnxy + m y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = (m x + n x ) + (m y + n y ) = x (m + n ) + y (m + n )

2

= ( m + n )( x + y )
2 2 2 2

五、巧用主元:对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解,常以其中 巧用主元:对于含有两个或两个以上字母的多项式,若无法直接分解, 一个字母为主元进行变形整理,可使问题柳暗花明,别有洞天。 一个字母为主元进行变形整理,可使问题柳暗花明,别有洞天。 例 9、因式分解 x 4 3 x 3 + x 2 y + 2 x 2 2 xy 解析:将多项式以 y 为主元,进行整理

x 4 3 x 3 + x 2 y + 2 x 2 2 xy = ( x 2 2 x) y + ( x 4 3 x 3 + 2 x 2 )
2 2 = x ( x 2) y + x ( x 2)( x 1) = x ( x 2)( x x + y )

10、因式分解 a b + ab + a c + ac + b c + bc + 2abc 例 10
2 2 2 2 2 2

解析:这是一个轮换对称多项式,不妨以 a 为主元进行整理

a 2 b + ab 2 + a 2 c + ac 2 + b 2 c + bc 2 + 2abc
= a 2 (b + c ) + a (b 2 + 2bc + c 2 ) + bc (b + c ) = a 2 (b + c ) + a (b + c ) 2 + bc (b + c ) = (b + c )[a 2 + a (b + c ) + bc ] = (b + c)( a 2 + ab + ac + bc ) = (b + c )[a ( a + b) + c ( a + b)] = ( a + b)( a + c )(b + c) 从以上几例可以看出,因式分解题型众多,方法灵活,有较强的技巧性。若能根据多项 式具体的结构特征,选用恰当的方法与技巧,不仅可以化难为易,迅速求解,而且有助于培 养同学们的创新思维,有效地激发同学们的学习兴趣。

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