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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题及答案



2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参 考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题

(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 1 3 . 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的 分配方案种数为 150 . 3.若 ( x 2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ? a6 x 6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 4 .已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则 3 . 5.设 an ? 2n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1, a2 ,L , a2015} I {b1, b2 ,L , ba2015 } ,则集合 S 中的 元素的个数为 504 . 6.已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, | AP |? 2 , a3 ? b3 ab2 的值为 AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 7 2 . 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球 的半径为 1 . 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x 2 ? 1) 的值域为 [2 ? 2 ,8] . x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点, 4 ? 11 5 9. 已知 F1 , F2 是椭圆 点 P 在线段 AB 上,则 PF 1 ? PF2 的最小值为 . 10.使得 p ?1 p2 ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2 7 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11 . 设 平 面 点 集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ? 18 ) ? 0} 25 x , B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} .若 ( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值. 解作出平面点集 A 、B 所表示的平面区域,A 示如图阴影部分 D . 令 z ? 2x ? y , 则y?2 x ? z ,?z 表示直线 y ? 2 x ? z 的纵截距. 易知:直线 y ? 2 x ? z 经过区 域 D 中的点 P 时, z ? 2 x ? y取得最小值.……………(5 分) O x B表 y P 因为点 P 在圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上,设它的坐标为 (1 ? cos? ,1? sin? ),结合图形 ? 可知 ? ? ( , ? ) . 2 又点 P 在曲线 y ? 18 18 上,所以有 (1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? , 2


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