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二元一次方程组知识点梳理及例题解析 (学生用



第八章 二元一次方程组 第一节、 知识梳理 二元一次方程组 一、学习目标 1.了解并认识二元一次方程的概念. 2.了解与认识二元一次方程的解. 3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解. 4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别. 5.掌握代入消元法和加减消元法. 二、知识概要 1.二元一次方程:像 x+y=2 这样的方程中含有两个未知数(x 和 y) ,并且

未知数的指数都是 1,这 样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程 的解.

3.二元一次方程组:把两个方程 x+y=3 和 2x+3y=10 合写在一起为 一次方程组合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

像这样,把两个二元

4.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 5.代入消元法:由二元一次方程组中的一个方程,把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来, 再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入 法. 6.加减消元法:两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加 或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法. 三、重点难点 代入消元法和加减消元法是本周学习的重点,也是本周学习的难点. 四、知识链接 本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来,为以后解决实际问题提供了一种有力的 工具. 五、中考视点 本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现,还有的出现在解答题的计算当中.

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二元一次方程组的实际应用 一、学习目标 将实际问题转化为纯数学问题,建立数学模型(即二元一次方程组) ,解决问题. 二、知识概要 列方程组解应用题的常见类型主要有: 1. 行程问题.包括追及问题和相遇问题,基本等量关系为:路程=速度× 时间; 2. 工程问题.一般分为两类,一类是一般的工程问题,一类是工作总量为 1 的工程问题. 基本等量关系为:工作量=工作效率× 工作时间; 3. 和差倍分问题.基本等量关系为:较大量=较小量+多余量,总量=倍数× 1 倍量; 4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类,基本关系式为: 顺流(风) :航速=静水(无风)中的速度+水(风)速 逆流(风) :航速=静水(无风)中的速度-水(风)速 5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等. 三、重点难点 建立数学模型(二元一次方程组)是本周的重点,也是本周的难点. 四、知识链接 本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用,为解决一些实际问题提供了一个模型,一种方法. 五、中考视点 二元一次方程组是中考重点考查的内容之一,主要有以下几个方面: (1) 从实际数学问题中构造一次方程组,解决有关问题; (2) 能从图表中获得有关信息,列方程组解决问题. 第二节、教材解读 1. 二元一次方程:

含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.从定义中可以看出: 二元一次方程具备以下四个特征: (1)是方程; (2)有且只有两个未知数; (3)方程是整式方程,即各项都是整式; (4)各项的最高次数为 1. 例如:像 +y=3 中, 不是整式,所以 +y=3 就不是二元一次方程;像 x+1=6,x+y-3z=8,不
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是含有两个未知数,也就不是二元一次方程;像 xy+6=1 中,虽然含有两个未知数 x、y 且次数都是 1, 但未知项 xy 的次数为 2.二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组,它有两个特点:一是方 2, 所以也不是二元一次方程, 所以二元一次方程必须同时具备以上四点.

程组中每一个方程都是一次方程;二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数,如

一次方程组. 3.二元一次方程的一个解 符合二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 一般地二元一次方程的解有无数个,例如 x+y=2 中,由于 x、y 只是受这个方程的约束,并没有被 取某一个特定值而制约,因此,二元一次方程有无数个解. 4.二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解. 定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等,而不是使其中 一个或部分左右两边的值相等,由于未知数的值必须同时满足每一个方程,所以,二元一次方程组 一般情况下只有惟一的一组解,即构成方程组的两个二元一次方程的公共解. 第三节、错题剖析

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【例 3】 解方程组

【例 4】 某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩.游戏时,每个男生都看见涂红 色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的 2 倍少 1 人;而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的 人数的 ,问晚会上男、女生各有几人?

. 【例 5】 解方程组

【例 6】解方程组

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【小结】解二元一次方程组可以用代入法,也可以用加减法.一般地说,当方程组中有一个方程的某 一个未知数的系数的绝对值是 1 或有一个方程的常数项是 0 时,用代入法比较方便;当两个方程中某一 未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法比较方便. 第四节、思维点拨 【例1】 小红到邮局寄挂号信,需要邮资3元8角. 小红有票额为6角和8角的邮票若干张,问各需

多少张这两种面额的邮票?

. 【例 2】小聪全家外出旅游,估计需要胶卷底片120张. 商店里有两种型号的胶卷: A型每卷36

张底片,B型每卷12张底片. 小聪一共买了4卷胶卷,刚好有120张底片. 求两种胶卷的数量.

【小结】我们在解这类题时,一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步,如有必要可以加上 验证这一步.其他步骤可以省略. 【例3】 用加减法解方程组

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【例5】

用代入法解方程组

【例6】

用代入法解方程组

【例7】

甲、乙两厂,上月原计划共生产机床 90 台,结果甲厂完成了计划的 112%,乙厂完成了计划 的 110%,两厂共生产机床 100 台,求上月两厂各超额生产了多少台机床?

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【例8】

某学校组织学生到 100 千米以外的夏令营去,汽车只能坐一半人,另一半人步行.先坐车的人 在途中某处下车步行,汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走 4 千米,汽车每 小时走 20 千米(不计上下车的时间) ,要使大家下午 5 点同时到达,问需何时出发.

【例9】

小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱,一 种是年利率为 2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款,一年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税=利息金额× 20%,教育储蓄没有利 息所得税)

.

第五节、竞赛数学

【例1】

已知方程组

的解 x,y 满足方程 5x-y=3,求 k 的值.

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【例 2】

某种商品价格为每件33元,某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张,买了

一件这种商品. 若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱的张数)?哪种付款方式付 出的张数最少?

【例 3】 解方程组

【例 4】某中学新建了一栋 4 层的教学大楼,每层楼有 8 间教室,这栋大楼共有 4 道门,其中两道正门 大小相同, 两道侧门大小也相同.安全检查中, 对 4 道门进行了训练: 当同时开启一道正门和两道侧门时, 2 分钟内可以通过 560 名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4 分钟可以通过 800 名学生. (1) 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2) 检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低 20%.安全检查规定,在紧急情况下 全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生,问: 建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由.

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基础训练题 一、填空题(每题 7 分,共 35 分) 1.一个两位数的数字之和是 7,这个两位数减去 27,它的十位和个位上的数字就交换了位置,则这个 两位数是 .

2. 已知甲、乙两人从相距36km 的两地同时相向而行,1 h 相遇.如果甲比乙先走 h,那么在乙出 发后 h 与甲相遇.设甲、乙两人速度分别为 xkm/h、ykm/h,则 x= ,y= .

3. 甲、乙二人练习赛跑,如果甲让乙先跑 10 米,那么甲跑 5 秒钟就能追上乙;如果甲让乙先跑 2 秒 钟,那么甲跑 4 秒钟就能追上乙,两人每秒钟各跑的米数是 .

4.一队工人制造某种工件,若平均每人一天做 5 件,全队一天就超额 30 件;若平均每人一天做 4 件, 全队一天就比定额少完成 20 件.若设这队工人有 x 人,全队每天的数额为 y 件,则依题意可得方程 组 . 5.某次知识竞赛共出了 25 道题,评分标准如下:答对 1 题加 4 分;答错 1 题扣 1 分;不答记 0 分.已 知小明不答的题比答错的题多 2 道,他的总分为 74 分,则他答对了 二、选择题(每题 7 分,共 35 分) 1.一个两位数的十位数字比个位数字小 2,且能被 3 整除,若将十位数字与个位数字交换又能被 5 整 除,这个两位数是( A. 53 B. 57 ). C. 35 D. 75 .

2.甲、乙两车相距 150km,两车同时出发,同向而行,甲车 4h 可追上乙车;相向而行,1.5h 后两车 相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为 xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的是( ).

3.甲、乙二人从同一地点出发,同向而行,甲骑车乙步行.若乙先行 12km,那么甲 1 小时追上乙;如 果乙先走 1 小时,甲只用 小时就追上乙,则乙的速度是( A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 ) . )km/h.

4.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的 2 倍, 则船在静水中的速度与水流的速度之比为 ( A. 4:3 B. 3:2 C. 2:1 D. 3:1

5.某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所 .已知报考第一高中的人数是报考第二高中 的 2 倍,第一高中的录取率为 50%,第二高中的录取率为 60%,结果升入第一高中的人数比升入第二 高中的人数多 64 人,则升入第一高中与第二高中的分别有( ).
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A. 320 人,160 人 C. 160 人,96 人

B. 100 人,36 人 D. 120 人,56 人

三、列方程组解应用题(每题 15 分,共 30 分) 1.一批机器零件共 840 个,如果甲先做 4 天,乙加入合做,那么再做 8 天才能完成;如果乙先做 4 天, 甲加入合做,那么再做 9 天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件? 2. 师傅对徒弟说“我像你这样大时,你才 4 岁,将来当你像我这样大时,我已经是 52 岁的人了”.问这 位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁?

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提高训练题 1. 甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行,经过 3 小时后相距 3 千米,再经过 2 小 时,甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍,求甲、乙两人的速度.

2. 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上,结果二元一次方程组

中第一个方程 y 的系数

和第二个方程 x 的系数看不到了,现在已知小丽的结果是

你能由此求出原来的方程组吗?

3.若

是关于 x,y 的二元一次方程 3x-y+a=0 的一个解,求 a 的值.

4.已知方程组

其中正确的说法是(



A.只有(1) 、 (3)是二元一次方程组; B.只有(1) 、 (4)是二元一次方程组; C.只有(2) 、 (3)是二元一次方程组; D.只有(2)不是二元一次方程组.

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综合训练题 一、精心选一选(每题 7 分,共 35 分)

1. 方程组

的解是(

).

2. 在一次小组竞赛中,遇到了这样的情况:如果每组 7 人,就会余 3 人;如果每组 8 人,就会少 5 人.问竞赛人数和小组的组数各是多少?若设人数为 x,组数为 y,根据题意,可列方程组( ).

3. 买甲、乙两种纯净水共用 250 元,其中甲种水每桶 8 元,乙种水每桶 6 元,乙种水的桶数是甲种 水的桶数的 75%,设买甲种水 x 桶、乙种水 y 桶,则所列方程组中正确的是( ).

4. 一个两位数被 9 除余 2,如果把它的十位与个位交换位置,则所得的两位数被 9 除余 5,设个位数 字为 x,十位数字为 y,则下面正确的是( ).(以下选项中 k1、k2 都为整数)

5. 用面值 l 元的纸币换成面值为 l 角或 5 角的硬币,则换法共有( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

)种.

二、用心填一填(每题 7 分,共 35 分) 1. 一艘轮船顺流航行,每小时行 20 千米;逆流航行每小时行 16 千米 . 则轮船在静水中的速度 为 ______,水流速度为______. 2. 一队工人制造某种工件,若平均每人一天做 5 件,那么全队一天就比定额少完成 30 件;若平均每 人一天做 7 件,那么全队一天就超额 20 件. 则这队工人有______人,全队每天制造的工件数额为______ 件.
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3. 已知甲、 乙两人从相距 18 千米的两地同时相向而行, 1 小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走 小 时,那么在乙出发后 =______. 4. 甲、乙二人练习赛跑,如果甲让乙先跑 10 米,那么甲跑 5 秒钟就能追上乙;如果乙让甲先跑 2 秒 钟,那么乙跑 6 秒钟落后于甲 28 米,甲每秒钟跑______,乙每秒钟跑______. 5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他: 这 10 元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个 圆规和一支笔,现在小强只想买一个圆规和一支笔,那么售货员应该找给他______元. 三、耐心做一做(每题 10 分,共 30 分) 1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时 50 千米的速度行驶,就会迟到 24 分钟; 如果他以每小时 75 千米的高速行驶,则可提前 24 分钟到达乙地,求他以每小时多少千米的速度行驶可 准时到达. 小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为 x 千米/时、y 千米/时,则 x=______,y

2. 一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8 天可以完成,需付两组费用共 3520 元; 若先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可以完成,需付两组费用共 3480 元.若只选一个组单独完 成,从节约开支角度考虑,这家商店应选择哪个组?

3. 《参考消息》报道,巴西医生马廷恩经过 10 年研究得出结论:卷入腐败行列的人容易得癌症,心 肌梗塞,脑溢血,心脏病等病,如果将贪污受贿的 580 名官员和 600 名廉洁官员进行比较,可发现,后 者的健康人数比前者的健康人数多 272 人,两者患病或患病致死者共 444 人,试问贪污受贿的官员和廉 洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几?

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