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一道高中联赛解几试题的结论探源



竺堕!期 ————————————————————————————————————一
中学数学研究


.45.



3.3

对∑“面■百最小值的猜想与证明
o=l £=l


i=l

 ̄/五而≥(n一1)打+

/而当且仅当n。,
中之一取1,其余取0时”=”成立.
若将根指数从2进一步推广 为r∈Ⅳ+且r≥2. 定理4 若ol,口2,…,o。≥0且ol+n2+…+

在相同的条件下,∑彤元■i是否有最小值?
如何求最小值?我们还是从最简单的情形入手.
引例3 若口】,Ⅱ2,。3≥0且ol+口2+03=l,

,口“

类比猜想可得类似结论.

∥丁玎+∥i玎+∥乏可的最小值.
解析:由ol,02,口3≥0且01+口2+口3=1,

on=l,p,g>o,r∈Ⅳ+且r≥2,则∑◆瓦而≥

?’?o≤n1≤I,.‘.o≤oi≤n1≤1.构造3nl+1=01戈2 +20l戈+1≥o;戈2+2口lz+1=(01戈+1)2.此时戈2
+2戈=3,.‘.戈=一3或戈=l(取戈=l,否贝4可能o。z

(n一1)石+而当且仅当
I,其余取0时”=”成立.
M=

i=1

ol,…,Ⅱn 中之一取

+1<o),.‘. ̄/3口l+1≥nl戈+1=ol+1,当且仅
当oj=口l即oI=0或口】=1时”=”成立:

妊i万,s=石,t=而,则
√po。+g,s=√q,f= ̄/p+q,贝0
^~l £=i n—l

证明:不妨设ol≤02≤…≤Ⅱ。,记5,=

同理有 ̄/302+l≥02戈+1=02+1,∥死可


荟沥鬲一[(n一1)石+,而]=
s)+(s。一£)=
Sn—

≥a3戈+1=03+l,.?.、压■玎+.压i—_『+
√3Ⅱ3+1≥(n】+n2+n3)+3=4,当且仅当oj,o,,

∑ s。一[(n 一1)s+£]=∑(si

o,中之一取1其余取。时”=”成立,故、届瓦了_『+



s:~+s:一2£+…+f’

,/3口2+l+和口3+1的最小值为4.
用类似的方法可将三元推广到,z元. 定理3 若口l,02,…,日。≥0且口1+a,+…+ n,,=1,p,g>0,贝0

令既=s:一+s:~5+…+5一(i=1,2,…,n一

1)Z=s一+s一+…+厂1,毋=巧~+《~s+…

∑以而≥(n~1)打+


2●

西+g.当且仅当 。I'.一,。。中之一取1,其余取0时
”=”成立.

刊薹孝+譬伽c薹煮+孚h
~川去一去
g。一1

c?

证明:由条件知o≤。。≤1,.?.o≤o;≤o,≤1, 构造pⅡl+g=gol戈2+2口l印+g≥qn;搿2+2。I掣+
g=q(ⅡJz+1)2.此时p=9戈2+29菇,即戈=一1±

,。



水 +



,雕






。%






















●●



,跳



.~而≥行(o。搿+1)=打+(
一芝g
巳 陡

≤I谶



(取正值,否则可能o。z+1<0),

靠,o

一 ,











.一







O r



筝型赢

k立

同理有石■百≥打+(一再+石可)口:,
,—。——————’———一

^v/po。+g≥√g+(一√q+√/p+q)口。,相力口即得



一≮q+

=0或口,=1时

∑撕而≥(n一1)石+ 而当o。=
i=I

<六,-..“=p(1飞)(六一去)她即

 ̄/p+q.当o。=

=0(i∈{1,2,…,尼一1))时 “=‘蔑立。 由对称性知当且仅 当oI,.一,口。中之一取1,其 余取O时”=”成立.

见陀睡见绝I屯阮陡陆陪吨唯陆睡凡凡见凡吨吨凡吨凡见鬼堍凡吨见见吨睡吨睡嗯陆隐嚯堍凡嚯陆唣陆虺睡

一道高中联赛解几试题的结论探源
江西省高安中学
试题 过抛物线y=茗2上的一点以(1,1)作抛

(330800)

朱细秀

物线的切线,分别交石轴于D,交y轴于曰,点C在抛

万方数据

?46?

中学数学研究

2015第4期

物线上,点E在线段Ac上,满足篙=A。;点F在线 段曰c上满足篙-A2,且”A2_1,线段cD与
EF交于点P.当点c在抛物线上移动时,求点P的轨
迹方程. 命题者给出的参考答案为:

以上是2005年全国高中数学联赛试题,笔者认
真阅读了命题者提供的答案,深深地为命题者的慎

密构思及解题技巧所折服.题中有8个自由未知量, 但只有2个方程、2个条件式%=戈:及A。+A:=1
可用,从中要消去6个自由未知量,最后用戈。来表出

菇,),,其解题难度及运算技巧远远超出一般中学生的
能力.据审题组反映,当年鲜有学生用解析法答出此


过抛物线上点A的切线斜率为y’=2石l

题.为此,吸引笔者对此题进行深入探究,得到一个

2,.?.切线AB的方程为y=2石一1....B、D的坐标为

有趣的结论,现揭示如下,供同行参考. 首先,由A(1,1),B(o,一1),G(戈。,戈;)三点坐

B(o,一1),D(÷,o),.?.D是线段AB的中点. 设P(戈,y),c(戈。,石;)、
,。

标及两方程组的解龙=÷(戈。+1),y=—知;.我们不

毗。幽)、F㈠班Mo由篙
=A。知,戈。=三r≠:!麦≥,y。=

太∥.


难发现无论c点在已知抛物线上如何运动,P点轨

迹均为△ABC的重心.循着此结论进一步得到:在
题设条件下,A,+A:=1是P为△A曰C重心的充要 条件.

导华;等:A2,得石::
1+A,’FC


1+A1石o





下面笔者对上述结论给予证明.






1+Al戈;
1+A1

“2’…“2

充分性,.∽+A:=笳+篙=(篙+1)+

.?.EF所在直线方程为:

1+A1戈j

y—Ti■
一1+A2戈;
1+A2

[(A:一A。)戈。一(1+A2)]y=[(Az—A,)戈;一3]z

=一
A2石o

菇一酉


(篙+?)一2=篙+甏一2j篙+甏=3.(术)
?.‘CD为△ABC的中线,.‘.5△^口c=2Js△口DG=
,,q

1+Alzo 1+Al

,化简得

l+A2

“△4D6’一翻?叫一5△翻B一2.s△cAD。2.s△c肋~



.鱼墨:鱼£一鳖一』尘旦堡+』叠一
CF?Cp、 、 CP,CE CF、

CE?CP

CD

2、CA.CD’C曰.CD 7—2

+1+戈。一A:戈:①.当石。≠丢时,直线cD的方程为

y=智鲫地②解得『=■’消去
【了一3’

‰+1

=‰=号(筹+篙)兰扣P为 ∥瓦而
堡.堡


CD、酗。CB 7一CP

CE?CF

2、CF

CE。



j1’‘”’

△CAB的重心.

必要性:设P为△CAB的重心,则P必在中线

戈。,得P点轨迹方程为y=÷(3x一1)2. 当戈。=丢时,EF方程为一争=(÷A:一÷A。 一3)戈+寻一丢A:,cD方程为戈=号,联立解得

GD上,由充分性易知,器=丢(篙+篙)=寻,哥
RC AC AE+EC RF+FC AE RF


而+丽2—历一十—而一。丽+而“2 FC EC EC FC
EC FC
j一

3,j篙+篙=1,眠+A2_1.
至此,我们不难看出,命题者无非是将平面几何 中一个简单的性质,移植到二次曲线中,命制出一个 让众多考生望而却步的好题.揭开试题命制的“面 纱”,相信会使当年参加考试的每一位学子产生豁 然顿悟的境地.

{二三妻’也在尸点轨迹上.
因c与A不能重合,.?.戈。≠1,.?.髫≠手√.所求

轨迹方程为y=号(戈一1)2(戈≠季).
万方数据



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