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《等差数列复习课》教学案例分析



《等差数列复习课》教学案例分析
【教学案例】 : 一、教学设计思想 在以往的教学中,复习课往往过于注重技能的训练,搞题海战术。学生常常陷入题 海之中,难以自拔,很难从中培养学生的能力,造成学生一天不知到底学了什么,懂了 什么,知识零散不系统,印象不深刻。而本节课则一反常态,采取发现式教学方式,通 过一系列的探究,来拓展知识面,加深知识的理解,培养学生分析问题、解决问题的

能 力。 二、学生情况分析 学生通过上一节新课的学习, 已经了解了等差数列的定义, 基本上掌握了通项公式, 会运用等差数列的通项公式和前 n 项和公式解简单习题,但是,思维是肤浅的,水平是 不高的。针对课后学生的反馈,学生普遍对利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求 最值问题理解不透。本节课通过“例题→类题→变题→应用” 这样的探究过程,让学 生深刻体会函数思想在等差数列中的应用, 理解等差数列通项公式和前 n 项和公式都是 定义域为正整数的特殊函数,加深知识的理解。同时也培养了学生的创新精神和探究能 力,为后续终生学习积蓄能量。 三、教学目标: 认知与技能 掌握等差数列的概念,等差数列的通项公式和前 n 项和公式,并进行相关计算;能 较熟练运用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求最值。 过程与方法 经历问题的探究过程,体会方程思想和函数的思想,提高分析问题、解决问题的能 力。 情感与态度 通过合作探究问题,激发学生学习的兴趣和欲望,树立学生勇于钻研的精神,增强 学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 四、教学重点、难点 重点:关于等差数列的通项公式和前 n 项和公式的相关计算; 难点:借助函数思想,利用等差数列通项公式与前 n 项和公式求最值。

五、教学过程 1、复习旧知 (1) 知识再现 师:提问等差数列的概念,通项公式和前 n 项和公式 生:回答(教师板演) 师:分析公式中量与量之间的关系,使学生明确已知几个量可求其它未知量,渗透方程 思想 (2)小试牛刀(投影仪展示) 在等差数列中求下列各量的值: ①已知 a2=2,a5=6,求 a1 和 d; ②已知 d=2,an=3,sn=12,求 a1 和 n. 生:列方程组解题 【评析:通过练习熟悉公式,体验方程思想的应用】 2、探求新知

例题:首项是-24 的等差数列,从第 10 项开始的各项为正数,则公差 d 的取值范围?前
多少项和最小?(投影仪展示 ) 师:提示,指导 生:思考,解答? 师:提问学生(教师板演)
? ?24 ? 8d ? 0 解:由题意,得 ? ? ?24 ? 9d>0

,

解得

8 <d≤3 3

这里当 a1<0,d>0 时,等差数列单

调递增,由 a9≤0, 且 a10>0 易知前 9 项和最小。 【评析:得出利用等差数列通项公式求前 n 项和的最值的方法,使学生深刻理解等差数 列。 】

类题:首项是-24 的等差数列,从第 m+1 项开始的各项为非负数,公差 d 为 2,求前几
项的和最小?(投影仪展示) 师:这是一道与上题类似的题目,方法一样,同学们试一试? 生:由上题的感悟,学生思考? 师:从第 m+1 项开始的各项为非负数,这里隐含一个什么条件? 生:茅塞顿开,完成解答 解:由题知,当 a1<0,d>0 时,等差数列单调递增,因 am<0,且 a≥0,所以,前 m 项和最小。 【评析:这是和上题类型一样的题目,让学生亲自尝试,体验成功,激发学生学习的兴 趣和欲望】

变题:等差数列 33,30,27,?前多少项的和最大,最大值是多少?
师:同学们分析一下题中告诉我们什么已知条件? 生:回答 师:如何解答?看上题的解法?(启发诱导) 生:思考,动笔 师:提问学生(教师板演,与例题板演靠在一起,便于对比) 解:由题知 a1=33>0,d=-3<0,an=33-3(n-1)=36-3n,等差数列单调递减,且易得 a11>0, a12=0,a13<0, 因此, 前 11 或 12 项和最大。所以,Smax=S11=33×11+ 师:是否有其它方法?可否利用二次函数求最值? 生:思考,探究? 师:巡视,并提示 生:讨论,动笔 最后,师生形成解法如下(投影仪展示) :
12 ?11 ? ? ?3? =165。 2

解:充分利用二次函数求最值(投影仪展示:函数 S(x)=-1.5x2+34.5x 的图像如下)

S(x) S 11

0 11 12
x ? ? x ? 1? 2

x

S(x)=33x+

? (?3) =-1.5x +34.5x,对称轴是 x=2

34.5 =11.5, n,n)为其上 (S 2 ? (?1.5)

的散点。所以由图像知,当 n=11 或 12 时 Smax=S11=S12。 生:补充修正,心情很愉快,学习积极性高涨 【评析:这道题是与上题对比而设计的一题,它们一个是 a1<0,d>0,一个是 a1>0,d <0,通过合作探究问题,激发了学生学习的兴趣和欲望,树立了学生钻研的精神,增 强学生学好数学的信念,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功】 师:启发学生以后碰到这样的题怎么办? 生:七嘴八舌讨论? 师生归纳: (投影仪展示,教师做必要解释) (1)利用等差数列通项公式求最值 ①当 a1>0,d>0 时,等差数列单调递增,Smin=S1=a1 ②当 a1>0,d<0 时,等差数列单调递减,由 am≥0 且 am+1≤0 ? Sm 为最大值 ③当 a1<0,d<0 时,等差数列单调递减,Smax=S1=a1 ④当 a1<0,d>0 时,等差数列单调递增,由 am≤0 且 am+1≥0 ? Sm 为最小值 (2) 借助函数思想,利用等差数列前 n 项和公式求最值 S(x)=a1×x+
x ? x ? 1? 2 ?d =
d 2 d x +(a1- )x,(x∈Z+)(提醒学生此函数图像必过原点) 2 2

【评析:整理思路,归纳小结,升华知识】

应用:已知等差数列{an}满足 3a4=7a7,a1>0,Sn 是{an}的前 n 项和,Sn 取最大值时,
n= 生:动笔 师:巡视,个别点拨? 生:解答如下 解法一:由 3a4=7a7,知 d=4 a1<0,所以,等差数列单调递减,通项公式 33

.

an=a1+(最大值.

4 4 37 )a1×(n-1)=a1×(- n+ ),易得 a9>0,a10<0,故,当 n=9 时,数列有 33 33 33

解法二:由 3a4=7a7,得 d=n ? n ? 1? 2

4 a1, 33

Sn=a1×n+

? d = a1×n+

n ? n ? 1? ? 4 ? 2 37 ? ? ? a1 ? = ? a1 ×n2+ a1 ×n, 2 33 33 ? 33 ?

∴x= ?

b 37 1 2 = =9 , ? a1 <0,有图像知,当 n=9 时,数列有最大值. 2a 4 4 33
S(x)

9

0

10 x=9.25

x

(当 a1=1 时,函数 S(x)= ?

2 2 37 x + x 的图像) 33 33

【评析:这题比上一题略难,但方法是一样的。通过刚才知识的整理,大多数学生很快 解出,此时课堂气氛融融,师生关系和谐】

六、小结: 师:今天,大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容? 生:总结 (1)概念的复习和利用方程思想进行计算; (2)利用等差数列通项公式求前 n 项和的最值; (3) 借助函数思想,利用等差数列前 n 项和公式求最值。 七、布置作业: 已知一个等差数列的首项为正数,前 3 项的和等于前 11 项的和,求这个数列的前 几项和最大? 【教学反思】 : (1)在设计理念上,本节课体现了“以人为本”的思想,能够发挥学生的主体作用。 在充分考虑学生的认知水平的情况下, 通过精心设计问题, 有效组织课堂, 突出了重点, 突破了难点,使学生加深了知识的理解,培养了能力,达到预期的三维目标。同时课堂 上还体现了以教师为主导作用。教师以探究问题来引导学生学习和领悟,提供了学生自 主合作探究的舞台,营造了思维驰骋的空间。在经历知识发现的过程中,培养了学生探 究、合作、归纳的能力,激发了学生强烈内驱力,增强了学生学好数学的信心,使学生 产生热爱数学的情感,体验到成功的乐趣。 (2)在课堂教学中,体现了知识的生成过程。教师能够为学生提供“做中学”的时 空,抓住了每一个发展学生智力的契机,让学生在“做” 的过程中,借助已有的知识 和方法,积极的探索新知识,扩大了认知结构,发展了能力,完善了人格,从而使课堂 教学真正落实到学生的发展上。 (3)苏霍姆林斯基说: “教师不仅要成为一个教导者,而且要成为学生的朋友。 ”这 说明在教学中创造一种民主平等的师生关系和轻松愉快的学习氛围对学生的身心发展 有着巨大的积极作用。本节课做到了课堂气氛融洽、师生关系和谐。因此,学生才会很 好的配合教师乐学、善学,发挥课堂效能的最大值。 (4)诚然,教学是一门遗憾的艺术,每一节课不可能尽善尽美。课堂中也存在考虑 不周,知识点展开的宽度不够的现象。所谓仁者见仁,智者见智,一节课不可能解决所 有问题,那也不现实,只要有一个中心就可以了,本节课正好抓住了一点,足矣。常言 道没有最好只有更好,追求完美才是我们恒久不变的选择。
作者:郝治富 手机:13750793054 电子信箱:hzf1545@sina.com.cn 地址:浙江平湖市黄姑中学 邮编:314203



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