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§3[1].2独立性检验的基本思想及其初步应用1


§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、学习目标
1.知识目标:通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用 2.过程目标:经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法 3.情感目标:通过创设情境激发学生学习数学的情感,在学生分析问题、解决问题的过程 中培养其积极探索的精神。

二、探究导航
㈠细读课本 91 页 1、2 段,回答下列问题 1. 分类变量的概念: 2.列举前面所学过的分类变量的例子: 说明:分类变量也称为定性变量或属性变量,其取值一定是离散的,有时也把分类变量 的不同取值用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含义。此时,比较两个分 类变量的值的大小没有任何意义,分类变量强调的是“分类” 。 ㈡自学、探究: 为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所 随即地调查了 9965 人, 得到如下结果: (单位: 人) 不患肺癌 患肺癌 总计 分析表中数据, 你认为吸烟是否对患肺癌有影响? 不吸烟 7775 42 7817 1. 自学课本 91 页~95 页 2099 49 2148 吸 烟 9874 91 9965 2. 归纳、总结 总 计 ⑴列联表概念: ⑵对上表直观上可以得到结论: 。 ⑶用 和 能更直观地反映出相关数据的总体情况。 ⑷独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性:列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性, 故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤及原理(与反证法类似) : 反证法 假设检验 要证明结论 A 备择假设 H 1 在 A 不成立的前提下进行推 理 推出矛盾, 意味着结论 A 成立 没有找到矛盾, 不能对 A 下任 何结论,即反证法不成功 ③ 上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 第二步:选择检验的指标 在 H 1 不成立的条件下,即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件(概率不超过 ? 的事件) 发生,意味着 H 1 成立的可能性(可能性为(1- ? ) )很大 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生,接受原假设

H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系
K
2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

(它越小,原假设“H 0 :吸

烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系” 成立的可能性越大. 第三步:查表得出结论 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 ④回答:ⅰ、如何求 K 2 的观测值 k?

ⅱ、如果 P(k>10.828)= 如果 P(k>3.841)= 总结: ⑴独立性检验的概念:
2

表示有 表示有

的把握认为 “两个分类变量”有关系; 的把握认为 “两个分类变量”有关系。 。 与 ,

⑵经过对 K 统计量分布的研究,得到了两个重要的临界值: 当根据具体的数据算出 K 2 的观测值 k>3.841 时, 有 有关系;当 k>6.635 时,有

的把握认为 “两个分类变量”

的把握认为 “两个分类变量”有关系。

当 K 2 的观测值 k≤3.841 时,认为 “两个分类变量”是无关系。 ⑶一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为:H 1 :X 与 Y 有关系, 可以按如下步骤判断结论 H 1 成立的可能性: ①通过三维柱形图和二维条形图, 可以粗略地判断两个分类变量是否有关系, 但这种判断无 法精确地给出所得结论的可靠程度。

②可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 并能精确地给出这种判断的可靠程 度。具体做法是:

3.例题示范 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断 秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?

例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机 抽取 300 名学生,得到如下列联表: 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 37 85 122 男 35 143 178 女 72 228 300 总 计 2 由表中数据计算得到 K 的观察值 k ? 4 .5 1 3 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否 数学课程之间有关系?为什么?

跟踪练习:1。课本 97 页练习。 2. 调查 339 名 50 岁以上的吸烟者, 得到吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系如下列联表: 吸烟习惯与患慢性气管炎病列联表 急慢性气管炎 吸烟 不吸烟 总计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 合计 205 134 339

试问吸烟者与不吸烟者慢性气管炎患病率是否有所不同?

想一想:本节课都学了什么?总结一下吧!

三、课堂评价练习
1.在二维条形图中,两个比值( A.
a a?b

)相差越大,要推断的论述成立的可能性就越大。 与
c a?b



c c?d

B.

a c?d

C.

a a ? d



c b?c

D.

a b?d



c a?c

2.三维柱形图中,主副对角线上两个柱形高度的( 的可能性就越大。 A. 积 B. 和 C. 差 3.下列关于 K 的说法中正确的是(
2 2 2 2

)相差越大,要推断的论述成立 D. 商



A. K 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B. K 的值越大,两个事件的相关性就越大 C. K 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对两个分类变量适合 D. K 的观测值 k 的计算公式为 k ?
2

n ( ad ? bc ) ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

4.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(
2

) 。

A.若 K 的观测值 k ? 6 . 635 ,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患肺癌 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那 么他有 99%的可能患肺癌 C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系,是指有 5%的可能性使得 推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 5.为考察高中生的数学成绩与语文成绩的关系,对高二(1)班的 55 名学生进行了一次摸 底考试,按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下列联表: 数学成绩与语文成绩的列联表 优秀 数学成绩 语文成绩 总计 21 13 34 不优秀 34 42 76 总计 55 55 110

请问数学成绩与语文成绩在多大程度上有关系?

6.某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响,随机进行调查并得到如下的列 联表:请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”? 不优秀 优 总 秀 计 不健康 41 37 78 健 康 626 296 922 总计 667 333 1000



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