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2014高三数学知识点精析精练1:集合



2014 高三数学知识点精析精练 1:集合
【复习要点】 1.理解集合、子集、相等的集合的概念,掌握空集、属于、包含于的意义,能正确地表 示集合。 2.理解交集、并集、补集的概念,能直接求出几个集合的交集、并集和补集,并能由已 知其结果,求出其中某些元素应满足的条件。 【例 题】

【例1】 设 x, y ? R, A ? {a | a ? x 2

? 3x ? 1}, B ? {b | b ? y 2 ? 3 y ? 1} ,求集合 A 与 B 之间的关 系。 解:由 a ? x 2 ? 3x ? 1 ? ( x ? ) 2 ?
3 5 5 b ? y 2 ? 3y ?1 ? ( y ? ) 2 ? ? ? 2 4 4 3 2 5 5 5 ? ? ,得 A= {x | x ? ? } 4 4 4

∴A=B 【例2】 已知集合 A= {x | x 2 ? 3x ? 10 ? 0} ,集合 B= {x | p ? 1 ? x ? 2 p ? 1} ,若 B ? A,求实 数p 的取值范围。 解:若 B=Φ 时, p ? 1 ? 2 p ? 1 ? p ? 2
? p ?1 ? 2 p ?1 ? 若 B≠Φ 时,则 ?? 2 ? p ? 1 ? 2 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5 ?

综上得知: p ? 3 时,B ? A。
y ?3 ? a ? 1} ,集合 B= {( x, y ) | (a 2 ? 1) x ? (a ? 1) y ? 30} 。如果 x?2

【例3】 已知集合 A ? {( x, y ) |
A? B ? ? ,

试求实数 a 的值。 解:注意集合 A、B 的几何意义,先看集合 B; 当 a=1 时,B=Φ ,A∩B=Φ 当 a=-1 时,集合 B 为直线 y=-15,A∩B=Φ 当 a≠±1 时,集合 A: y ? 3 ? (a ? 1)( x ? 2) , (2,3) ? A ,只有 (2,3) ? B 才满足条件。 故 (a 2 ? 1) ? 2 ? (a ? 1) ? 3 ? 30 ;解得:a=-5 或 a= ∴a=1 或 a=
7 或 a=-1 或 a=-5。 2 7 2

【例4】 若集合 A= {3 ? 2 x,1,3} ,B= {1, x 2 } ,且 A ? B ? {3 ? 2 x,1,3} ,求实数 x。 解:由题设知 A ? B ? A ,∴ B ? A ,故 x 2 ? 3 或 x 2 ? 3 ? 2 x

即 x ? ? 3 或 x ? 1 或 x ? ?3 ,但当 x ? 1 时, 3 ? 2 x ? 1 不满足集合 A 的条件。 ∴实数 x 的值为 ?3 或 ? 3 。 【例5】 已知集合 A= {x | 10 ? 3x ? x 2 ? 0} ,B= {x | x 2 ? 2 x ? 2m ? 0} ,若 A ? B ? B ,求实数 m 的值。 解:不难求出 A= {x | ?2 ? x ? 5} ,由 A ? B ? B ? B ? A ,又 x 2 ? 2 x ? 2m ? 0 , ? ? 4 ? 8m ①若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ? ②若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ?
?1 ? 1 ? 2m ? ?2 ? ?1 ? 1 ? 2m ? 5 ?

1 ,则 B ? ? ? A 2 1 , B ? { x | 1 ? 1 ? 2m ? x ? 1 ? 1 ? 2m } , 2 1 2

∴?

? ?4 ? m ?

故由①②知:m 的取值范围是 m ? [?4,??) 注:不要忽略空集是任何集合的子集。 【例6】 已 知 集 合 C= {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} , 若 A ? B ? ? 与 A ? C ? ? 同时成立,求实数 a 的值。 解:易求得 B= {2,3} ,C= {2,?4} ,由 A ? B ? ? 知 A 与 B 的交集为非空集。 故 2,3 两数中至少有一适合方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 得,a=5 或 a=-2 当 a=5 时,A= {2,3} ,于是 A ? C ? {2} ? ? ,故 a=5 舍去。 当 a=-2 时,A= {2,5} ,于是 A ? B ? {3} ? ? ,∴a=-2。 A={ x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 } , B= {x | log 2 ( x 2 ? 5 x ? 8) ? 1} ,

【例7】 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0} ,A∪B=A,求 a 的取值构成的集 合。 解:∵A∪B=A,∴ B ? A ,当 B ? ? 时 a 2 ? 16 ? 0 ,∴-4<a<4,
A ? {x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} ? {1,2} ,当 1∈B 时,将 x=1 代入 B 中方程得 a=4,此时 B={1},当

2∈B 时,将 x=2 代入 B 中方程得 a=5,此时 B ? { ,2}? A ,a=5 舍去,∴-4<a≤4。 【例8】 已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | ax ? 2 ? 0} 且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C。 解:由 A={1,2},由 A∪B=A,即 B ? A ,只需 a×1-2=0,a=2 或 a×2-2=0,a=1。 另外显然有当 a=0 时, B ? ? 也符合。所以 C={0,1,2}。

1 2

【例9】 某车间有 120 人,其中乘电车上班的 84 人,乘汽车上班的 32 人,两车都乘的 18 人,求: (1)只乘电车的人数; (2)不乘电车的人数; (3)乘车的人数; (4)不乘车的人数; (5)只乘一种车的人数。 解:本题是已知全集中元素的个数,求各部分元素的个数,可用图解 法。设只乘电车的人数为 x 人,不乘电车的人数为 y 人,乘车的人数为 z 人,不乘车的人数为 u 人,只乘一种车的人数为 v 人 如图所示(1)x=66 人, (2)y=36 人, (3)z=98 人, (4)u=22 人, (5)v=80 人。 【例10】 (2004 届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题)已知 M 是关于 x 的不等式

2 x 2 ? (3a ? 7) x ? (3 ? a ? 2a 2 ) ? 0 的解集,且 M 中的一个元素是 0,求实数 a 的取值范围,
并用 a 表示出该不等式的解集. 解:原不等式即 (2 x ? a ? 1)( x ? 2a ? 3) ? 0 , 由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)(2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ? 若 a ? ?1 ,则 ? 2a ? 3 ?

a ?1 5 a ?1 , ? (?a ? 1) ? 5 ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 a ?1 此时不等式的解集是 {x | ? x ? 3 ? 2a} ; 2 3 a ?1 5 5 a ?1 若 a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , ? (?a ? 1) ? ? ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 4 2 a ?1 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? }. 2 【例11】 (2004 届杭州二中高三数学综合测试题)已知 a ? 1 ,设命题
P : a ( x ? 2) ? 1 ? 0 ,命题 Q : ( x ? 1) 2 ? a ( x ? 2) ? 1 .试寻求使得 P、Q 都是真命题的 x 的集
合. 解:设 A ? {x | a ( x ? 2) ? 1 ? 0},B ? {x | ( x ? 1) ? a ( x ? 2) ? 1} ,
2

3 . 2

依题意,求使得 P、Q 都是真命题的 x 的集合即是求集合 A ? B ,

1 1 ? ? ?a ( x ? 2) ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? 2 ? ∵? ?? ?? a a 2 ?( x ? 1) ? a ( x ? 2) ? 1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 ?( x ? a )( x ? 2) ? 0 ? ? 1 ? ?x ? 2 ? ∴若 1 ? a ? 2 时,则有 ? , a ? x ? 2或x ? a ?
而 a ? (2 ?

1 1 1 ) ? a ? ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 ? , a a a

即当 1 ? a ? 2 时使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? 2或2 ? 当 a ? 2 时易得使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ?

1 ? x ? a} ; a

3 , 且x ? 2} ; 2

1 ? ?x ? 2 ? 若 a ? 2 ,则有 ? , a ? x ? a或x ? 2 ?
此时使得 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? a或2 ?

1 ? x ? 2} . a

综合略. 【例12】 ( 2004 届 湖 北 省 黄 冈 中 学 综 合 测 试 题 ) 已 知 条 件 p :| 5 x ? 1 |? a 和 条 件

1 ? 0 ,请选取适当的实数 a 的值,分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造命 2 x ? 3x ? 1 题: “若 A 则 B” ,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题 可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 分析:本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解没有固定的模 式,考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的 a ,也能先猜后证,所找到的实数 a 只需 q:
2

满足

1? a 1 1? a ? ,且 ? 1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同时也是对于四个 5 2 5

命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力,符合当今倡导 研究性学习的教学方向. 解:已知条件 p 即 5 x ? 1 ? ? a ,或 5 x ? 1 ? a ,∴ x ? 已知条件 q 即 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 令 a ? 4 ,则 p 即 x ? ?

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5

1 ,或 x ? 1 ; 2

3 ,或 x ? 1 ,此时必有 p ? q 成立,反之不然. 5 故可以选取的一个实数是 a ? 4 ,A 为 p ,B 为 q ,对应的命题是若 p 则 q ,
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题.

x ?1 |? 2,q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ;? p 是? q 的必要不充分条 3 件,求实数 m 的取值范围. x ?1 |? 2, ? 2 ? x ? 10 , 解:由 | 1 ? 得 3
【例13】 已知 p :| 1 ? 由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) , ∴? p 即 x ? ?2 ,或 x ? 10 ,而? q 即 x ? 1 ? m ,或 x ? 1 ? m (m ? 0) ; 由? p 是? q 的必要不充分条件,知? q ? ? p , 设 A= {x | x ? ?2,或x ? 10} ,B= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ,

?1 ? m ? ?1, ? 则有 A ? B ,故 ?1 ? m ? 10, 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号, ? ?m ? 0, ?

解得 0 ? m ? 3 ,此即为“? p 是? q 的必要不充分条件”时实数 m 的取值范围. 【例14】 (2004 届全国大联考高三第四次联考试题)已知函数 f ( x) ? log a x ,其中

a ? {a | 20 ? 12a ? a 2 } .
(1)判断函数 f ( x) ? log a x 的增减性; (2) (文)若命题 p : | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 为真命题,求实数 x 的取值范围. (2) (理)若命题 p : | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 为真命题,求实数 x 的取值范围. 解: (1)∵ a ? {a | 20 ? 12a ? a } ,∴ a 2 ? 12a ? 20 ? 0 ,
2

即 2 ? a ? 10 ,∴函数 y ? log a x 是增函数; (2) (文) | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 即 | log a 当 0 ? x ? 1 , log a

x | ? log a 2 x ? 1 ,必有 x ? 0 ,

x ? 0 ,不等式化为 ? log a x ? log a 2 x ? 1 ,

∴ log a 2 ? 1 ,这显然成立,此时 0 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时, log a

x ? 0 ,不等式化为 log a x ? log a 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 a }. 2

∴ log a 2 x ? 1 ,故 x ?

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 {x | 0 ? x ? (2) (理) | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 即 | log a 当0 ? x ?

x | ? | log a 2 x |? 1 ,必有 x ? 0 ,

1 时, log a 4

x ? log a 2 x ? 0 ,不等式化为 ? log a x ? log a 2 x ? 1 ,
1 1 1 ,此时 ?x? ; 2a 2a 4

∴ ? log a 2 x ? 1 ,故 log a 2 x ? ?1 ,∴ x ? 当

1 ? x ? 1 时, log a 4

x ? 0 ? log a 2 x ,不等式化为 ? log a x ? log a 2 x ? 1 ,
1 ? x ? 1; 4

∴ log a 2 ? 1 ,这显然成立,此时 当 x ? 1 时, 0 ? log a ∴ log a 2 x ? 1 ,故 x ?

x ? log a 2 x ,不等式化为 log a x ? log a 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 1 a ? x ? }. 2a 2

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 {x |

【专题 1:集合练习】
一、选择题 1.已知 I 为全集,集合 M、N?I,若 M?N=M,则有: (D) A.M?( C u N ) B.M?( C u N ) C. (C u M ) ? (C u N )

D. (C u M ) ? (C u N )

2.若非空集合 A、B 适合关系 A?B,I 是全集,下列集合为空集的是: (D) A. A ? B B. (C u A) ? (C u B) C. (CU A) ? B D. A ? (CU B) 3.已知集合 A={0,1,2,3,4},B={0,2,4,8},那么 A∩B 子集的个数是: (C) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 4.满足{a} ? X ? {a,b,c}的集合 X 的个数有 ( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

5. 已知集合 I、 Q 适合 I=P ? Q= P、 {1, 3, 5} P ? Q= 2, 4, , {1, 则 ? Q)?( C u P ? C u Q ) 2} (P 为( C ) (A) {1,2,3} (B) {2,3,4} (C) {3,4,5} (D) {1,4,5} 6.已知 I 为全集·集合 M,N 是 I 的子集 M ? N=N,则 ( B ) (A)(C u M ) ? (C u N ) (B)(C u M ) ? (C u N ) (C)M ? ( C u N ) (D)M ? ( C u N ) 7.设 P={x| x≥-2},Q={x | x≥3} ,则 P ? Q 等于 ( D ) (A)? (B)R (C)P (D)Q 8.设集合 E={n|n=2k , k ? Z} ,F={n|n=4k , k ? Z} ,则 E、F 的关系是 ( B ) (A)E ? F (B)E ? F (C)E=F (D)E ? F=? 9.已知集合 M= {x | ?2 ? x ? 2} ,N={ x || x -1|≤2},则 M ? N 等于 (A) {x | ?2 ? x ? 3} (C) {x | ?2 ? x ? ?1} (B) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | 2 ? x ? 3} ( B )

10. 已知集合 I=R, 集合 M={ x | x = (A)M ? P=?

1
2
n

, ? N}, x | x = n P={

1
4n

, ? N}, M 与 P 的关系是 ( B ) n 则 (D)(CU M ) ? (CU P) =? ( C )

(B)(CU M ) ? P=?

(C)M ? (CU P) =?

11.已知集合 A={y|y= 2 x , x ? R},B={y|y= x2 x ? R},则 A ? B 等于

(A){2,4} (B){(2,4)(4,16)} , (C){ y|y ≥0} (D){ x| x<0} 12.设全集 I=R,集合 P= {x | ( x ? 4)(2 ? x) ? 0} ,集合 Q={ x | x+4>0},则 ( D ) (A)P ? Q=? (B)P ? Q=R (D) (CU P) ? (CU Q) ={-4}

(C) (CU P) ? Q= (CU P) 二、解答题

1、设 A= {x | 4 x ? x 2 ? ax} ,B= {x | 0 ? x ? 1} ;若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 解:由图象法解得: 当 a>0 时, A ? {x | 0 ? x ?
4 1? a 2 当 a≤0 时, A ? {x | 0 ? x ? 4} };
o y

x

∴要使得 A ? B,必须且只须

4 1? a 2

? 1 ,解得 a ? 3

2、已知 A= {x | | x ? (a ? 1) 2 |? 数 a 的取值范围。

1 2

1 (a ? 1) 2 } ,B= {x | x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0} 。若 A ? B,求实 2

解:易得 A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,由 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 得 ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0 ⑴当 3a+1>2,即 a ?
1 时, B ? {x | 2 ? x ? 3a ? 1} 3

?2 a ? 2 ? ?1? a ? 3, 要使 A ? B,必须 ? 2 ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?

⑵当 3a+1=2,即 a ? 当 3a+1<2,即 a ?

1 时, B ? {2} ;要使 A ? B,a=1 3

1 时, B ? {3a ? 1 ? x ? 2} 3

?2a ? 3a ? 1 ? ? a ? ?1 ⑶要使 A ? B,必须 ? 2 ?a ? 1 ? 2 ?

综上知: a ? ?1 或 a ? [1,3]
2 3、已知集合 A= { y | y ? x 2 ? 2mx ? 4, x ? R} ,B= {x | log 3 x ? log 1 x ? 0} ,且 A ? B ? ? ,求实数 3

m 的值。 解: B ? {x | 1 ? x ? 3} , A ? {x | x ? 4 ? m 2 } ,由 4 ? m 2 ? 3 得: m ? (??,?1] ? [1,??) 4、已知集合 A= { y | y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0} ,B= { y | y ?
A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。
1 2 5 x ? x ? ,0 ? x ? 3} ;若 2 2

解:B= {x | 2 ? x ? 4} ,由 y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0 得: ( y ? a)( y ? a 2 ? 1) ? 0 因为 a 2 ?1 ? a ,所以 A= {x | x ? a 2 ? 1或x ? a} 。 由 A ? B ? ? 得: a 2 ? 1 ? 4 或 a ? 2 所以 a ? (? 3 , 3 ) ? (2,??) 5、已知集合 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | qx 2 ? px ? 1 ? 0} 同时满足 ① A ? B ? ? ,② A ? C u B ? {?2} ,其中 p、q 均为不等于零的实数,求 p、q 的值。 解:条件①是说集合 A、B 有相同的元素,条件②是说-2∈A 但 ? 2 ? B ,A、B 是两个方 程的解集,方程 x 2 ? px ? q ? 0 和 qx 2 ? px ? 1 ? 0 的根的关系的确定是该题的突破口。
2 2 设 x0 ? A , x0 ? 0 , 则 否则将有 q=0 与题设矛盾。 于是由 x0 ? px0 ? q ? 0 , 两边同除以 x 0 ,

得 q(

1 2 1 ) ?p ?1 ? 0 , x0 x0 1 ? B ,故集合 A、B 中的元素互为倒数。 x0 1 1 ? B ,且 x 0 ? ,得 x 0 ? 1 或 x 0 ? ?1 。 x0 x0



由①知存在 x 0 ? A ,使得

由②知 A={1,-2}或 A={-1,-2}。
1 若 A={1,-2},则 B ? {1,? } , 2

有?

? p ? ?(1 ? 2) ? 1; ?q ? 1 ? (?2) ? ?2.

1 同理,若 A={-1,-2},则 B ? {?1,? } ,得 p=3,q=2。 2

综上,p=1,q=-2 或 p=3,q=2。

6、已知关于 x 的不等式 x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? , x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的解集依次为 A、B, 2 2

且 A ? B ? φ 。求实数 a 的取值范围。 解: A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0} ∵ A? B ? φ ①当 3a+1≥2 时,B={x|2≤x≤3a+1} ∴3a+1<2a 或 a 2 ? 1 ? 2 ,∴ ? a ? 1 ②当 3a+1<2 时,B={x|3a+1≤x≤2} ∴2a>2 或 3a ? 1 ? a 2 ? 1 ,∴ 0 ? a ?
1 3 1 3

7、 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R} , B ? {x | x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0, x ? R} , A ? B ? A , 若 且 求实数 a。 解:∵A∪B=A,∴ B ? A 。 ∵A={1,2},∴ B ? ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}。 若 B ? ? ,则由△<0 知,不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1},则由△=0 得,a=2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则由△=0 得,a=2,此时 2 不是方程的根, ∴不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1,2},则由△>0,得 a∈R,且 a≠2, 此时将 x=1 代入方程得 a∈R,将 x=2 代入方程得 a=3。 综上所述,实数 a 的值为 2 或 3。



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