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智爱高中数学 求函数解析式的六种常用方法



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智愛高中數學 求函数解析式的六种常用方法
一、换元法 已知复合函数 f [g(x)]的解析式,求原函数 f(x)的解析式.令 g(x)= t , 求 f(t)的解析式,再把 t 换为 x 即可.

x ?1 x2 ?1 1 )= ? ,求 f(x)的解析式. x2 x x x ?1 1 解: 设 = t ,则 x= (t≠1) , x t ?1 1 2 ( ) ?1 1 2 2 t ? 1 ∴f(t)= = 1+ (t ? 1) +(t-1)= t -t+1 ? 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1
例1 已知 f( 故 f(x)=x -x+1 (x≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知 f( x +1)= x+2 x ,求 f(x)的解析式. ( x +1≥1) ,将 x +1 视为自变量 x,则
2 2 解: f( x +1)= ( x ) +2 x +1-1= ( x ? 1) -1,
2 ∴ f( x +1)= ( x ? 1) -1
2

有 f(x)= x -1 (x≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例 3 已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x) 的解析式. 2 解:设二次函数 f(x)= ax +bx+c,则 f(0)= c= 0 ① 2 2 f(x+1)= a ( x ? 1) +b(x+1)= ax +(2a+b)x+a+b ② 由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得
2

?2 a ? b ? b ? 2 ? ?a ? b ? 8

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 7.

故 f(x)= x +7x.

2

评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式. 四、消去法 例4 设函数 f(x)满足 f(x)+2 f(

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x
2 页) 2014 年 2 月 24 日星期一

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分析:欲求 f(x) ,必须消去已知中的 f( 得到另一个方程,联立方程组求解即可.

1 1 ) ,若用 去代替已知中 x,便可 x x

1 )= x (x≠0) ① x 1 1 1 由 代入得 2f(x)+f( )= (x≠0) ② x x x x 2 解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= - (x≠0). 3x 3
解:∵ f(x)+2 f( 五、特殊值法 例5 设是定义在 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y, 有 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,求 f(x)函数解析式. 分析:要 f(0)=1,x,y 是任意的实数及 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) , 得到 f(x)函数解析式,只有令 x = y. 解: 令 x = y ,由 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) 得 2 f(0)= f(x)- x(2x-x+1) ,整理得 f(x)= x +x+1. 六、对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式, 求另一区间上的 解析式. 2 例 6 已知是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x ,求 f(x)函数解 析式. 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴y=f(x)的图象关于原点对称. 2 当 x≥0 时,f(x)=2x-x 的顶点(1,1) ,它关于原点对称点(-1,—1) , 因此当 x<0 时,y= ( x ? 1) -1= x +2x.故 f(x)= ?
2
2

?2 x ? x 2 ?x ? 2x
2

x≥0, x<0.

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

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