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中档解答题强化训练教师卷3



中档解答题强化训练(三)
1/ 已 知 函 数 f ( x) ? sin(x ? a) ? 3 cos(x ? a),其中 ? a ? ? , 且 对 于 任 意 实 数 0

x, f ( x) ? f (? x) 恒成立。
(1)求 a 的值; (2)求函数 f (x) 的最大值和单调递增区间。 解: (1)由已知得 f ( x) ? f (? x). 即 sin(x ? a) ? 3 cos(x ? a) ? sin(? x ? a) ? 3 cos(? x ? a).

2 s i n c o a ? ?2 3 s i n s i n , ( c oa ? 3 s i n ) s i n ? a. x s x a s a x
所以 cos a ? 3 sin a ? 0, 于是 tan a ? ? 又因为 0 ? a ? ? , 所以 a ? (1) f ( x) ? sin( x ?

3 . 3

…………4 分

5? 5? ) ? 3 cos( x ? ) 6 6 5? 5? 5? 5? ? sin x cos ? cos x sin ? 3 cos x cos ? 3 sin x sin 6 6 6 6 …………8 分 ? ? cosx.
…………10 分 …………12 分

5? 6

…………5 分

由此可知,函数 f (x) 的最大值为 1。 单调递增区间为: [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z ).

2.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 在 x 轴的正半轴上,直线 AB 的倾斜角为 ?,| OB |? 2 ,设 ?AOB ? ?, ? ? ( (1)用θ 表示点 B 的坐标及|OA|。 (2)若 tan ? ? ?

3 4

? 3

, ?)。 2 4

4 , 求OA ? OB 的值。 3
2

解: 由三角函数的定义, (1) 得点 B 的坐标为 (2 cos? ,2 sin ? ). 分 在 ?AOB中, | OB |? 2, ?BAO ? 由正弦定得,得

?
4

, ?B ? ? ?
4分

?
4

?? ?

3 ? ??, 4

| OB | sin

?
4

?

| OA | sin B



2 2 2

?

| OA | 3 sin( ? ? ? ) 4
3 4
6分

所以 | OA |? 2 2 sin( ? ? ? )

注:若用直线 AB 方程求得 | AO |? 2(sin? ? cos? ) 也得分。 (2)由(1)得 OA? OB ?| OA? | ? | OB | cos?

3 ? 4 2 sin( ? ? ? ) ? cos ? . 8分 4 4 ? 3 因为 tan ? ? ? , ? ? ( , ? ) 3 2 4 4 3 所以 sin ? ? , cos ? ? ? 10 分 5 5 3 3 3 又 sin( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? 4 4 4

?

2 3 2 4 2 ? (? ) ? (? )? ? . 2 5 2 5 10 2 3 12 ? (? ) ? ? . 12 分 10 5 25
1 an an ?1 (n ? N * ) ,其中 a1 ? 1. 2

所以 OA ? OB ? 4 2 ?

3.已知各项全不为零的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am ?1 am ? 2 为数列 {Sn } 中的项。 am

1 4.已知函数 f ( x) ? x ln( ? x) ? a( x ? 1) ,其中 a 为实常数。
(1)当 x ? ?1,??? 时, f ?( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围;

ax 的单调区间。 1? x x ?a ?0 解: (1)由题意知: f ?( x) ? ln(1 ? x) ? 1? x x , 则 a ? ln(1 ? x) ? 2分 1? x
(2)求函数 g ( x) ? f ?( x) ?

1 令 h( x) ? ln( ? x) ?

x 1 1 , h?( x) ? ? 1? x 1 ? x (1 ? x) 2

? x ? ?1,???,? h?( x) ? 0
即 h(x) 在[1,+∞)上单调递增 4分

? a ? h(1) ?

1 ? ln 2, 2
6分

1 ? a 的取值范围是 (?? , ? ln 2). 2
(2)由(1)知 g ( x) ? ln(1 ? x) ? 则 g ?( x) ?

(1 ? a) x ? a, x ? (?1,?? ) 1? x
7分

1 1? a x?2?a ? ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

①当 a ? 1 , x ? (?1, a ? 2) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?1, a ? 2) 上单调递减,

x ? (a ? 2,??)时, g ?( x) ? 0, g ( x)在(a ? 2,??) 上单调递增
②当 a ? 1 , g ?( x) ? 0, g ( x)在(?1,??) 上单调递增 时 11

9分

综上所述,当 a ? 1 , g ( x) 的增区间为 (a ? 2,??), 减区间为 ?1, a ? 2) 时 ( 当 a ? 1 , g ( x)的增区间为 ?1,??) 时 ( 12 分



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