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高中数学必修1综合测试题及答案



必修 1 综合检测 (时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] ) 满分:150 分)

D.[0,1]
? ?

? ? 1 2.已知 U={y|y=log2x,x>1},P=?y|y=x,x>2?,则

?UP=(

)

?1 ? A.?2,+∞? ? ?

1? ? B.?0,2? ? ?

?1 ? C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? )

1 3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a=( 2 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 )

4.设 f(x)=g(x)+5,g(x)为奇函数,且 f(-7)=-17,则 f(7)的值等于( A.17 B.22 C.27 D.12

5.已知函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是( A.-1 和-2 B.1 和 2 1 1 C.2和3 1 1 D.-2和-3 )

)

6.下列函数中,既是偶函数又是幂函数的是( A.f(x)= x B.f(x)=x2 C.f(x)=x-3

D.f(x)=x-1

7.直角梯形 ABCD 如图 Z1(1),动点 P 从点 B 出发, 由 B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运动的路程为 x, △ABP 的面积为 f(x).如果函数 y=f(x)的图象如图 Z1(2),那么△ABC 的面积为( A.10 B.32 C.18 D.16 )

2 ?x +bx+c,x≤0, 8.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x ?2, x>0,

的解的个数为( A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D.4 个

9.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)”的是 ( ) C.指数函数 D.一次函数

A.幂函数 B.对数函数

10.甲用 1000 元人民币购买了一支股票,随即他将这支股票卖给乙,获利 10%,而后乙又将 这支股票返卖给甲,但乙损失了 10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙,

在上述股票交易中( A.甲刚好盈亏平衡

) B.甲盈利 1 元 C.甲盈利 9 元 D.甲亏本 1.1 元

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
1 ? ? 1 ? 11.计算:?lg4-lg25?÷ 100 2 =__________. ? ?

12.已知 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的最大值是__________. 13. y=f(x)为奇函数, 当 x<0 时, f(x)=x2+ax, 且 f(2)=6; 则当 x≥0 时, f(x)的解析式为_______. 14.函数 y= 2x-1 ,x∈[3,5]的最小值为________;最大值为________. x+1

三、解答题(共 80 分) 15.(12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|log2(11-x2)>1},B={x|x2-x-6>0},M={x|x2+bx +c≥0}。(1)求 A∩B;(2)若?UM=A∩B,求 b,c 的值。 bx 1 16.(12 分)已知函数 f(x)= 2 (b≠0,a>0)。(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)若 f(1)=2,log3(4a ax +1 1 -b)=2log24,求 a,b 的值。 17.(14 分)方程 3x2-5x+a=0 的一根在(-2,0)内,另一根在(1,3)内,求参数 a 的取值范围. 18.(14 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出;当每 辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益为多少元? 5 17 19.(14 分)已知函数 f(x)=2x+2ax+b,且 f(1)=2,f(2)= 4 。(1)求 a,b 的值;(2)判断 f(x)的 奇偶性;(3)试判断 f(x)在(-∞,0]上的单调性,并证明;(4)求 f(x)的最小值. 20.(14 分)已知函数 f(x)=lnx+2x-6。(1)证明:函数 f(x)在其定义域上是增函数;(2)证明: 1 函数 f(x)有且只有一个零点;(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过4。 参考答案:1.B 1? ? ?1 ? 2.A 解析:由已知 U=(0,+∞).P=?0,2?,所以?UP=?2,+∞?.故选 A. ? ? ? ? 3.D 4.C 8.C 5.D 6.B 7.D

解析:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 b=4,c=2,

2 ?x +4x+2,x≤0, ?x>0, ?x≤0, 所以 f(x)=? 所以方程 f(x)=x 等价于? 或? 2 x>0, ?2, ?x=2 ?x +4x+2=x.

所以 x=2 或 x=-1 或 x=-2.故选 C. 10.B 1(元). 12.3

9.C

解析:由题意知,甲盈利为 1000×10%- 1000×(1 + 10%)×(1 - 10%)×(1 - 0.9) = 11.-20 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即(m-2)· (-x)2-(m-1)x+3=(m-2)x2+(m ∴m=1.∴f(x)=-x2+3.f(x)max=3. 13.-x2+5x

-1)x+3, 5 14.4

2x-1 2x+2-3 3 3 解析: y = = =2- ,显然在(-1,+∞)单调递增, 2 x+1 x+1 x+1

5 3 故当 x∈[3,5]时,f(x)min=f(3)=4,f(x)max=f(5)=2.
2 ?11-x >0, 15.解:(1)∵? ? -3<x<3,∴A={x|-3<x<3}. 2 ?11-x >2

∵x2-x-6>0,∴B={x|x<-2 或 x>3}.

∴A∩B={x|-3<x<-2}.

(2)?UM=A∩B={x|-3<x<-2}={x|x2+bx+c<0}, ?-b=?-3?+?-2?, ?b=5, ∴-3,-2 是方程 x2+bx+c=0 的两根,则? ?? ?-2? ?c=?-3?· ?c=6. 16.解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)= (2)由 f(1)= b 1 =2,则 a-2b+1=0. a+1 ?a-2b+1=0, ?a=1, 由? 得? ?4a-b=3, ?b=1. -bx =-f(x),故 f(x)是奇函数. ax2+1

又 log3(4a-b)=1,即 4a-b=3.

17.解:令 f(x)=3x2-5x+a,则其图象是开口向上的抛物线. 因为方程 f(x)=0 的两根分别在(-2,0)和(1,3)内,

?f?0?<0, 故? f?1?<0, ?f?3?>0,

f?-2?>0,

?a<0, 即? 3-5+a<0, ?3×9-5×3+a>0,

3×?-2?2-5×?-2?+a>0,

解得-12<a<0.

故参数 a 的取值范围是(-12,0). 3600-3000 =12(辆). 50

18.解:(1)当每辆车的月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为 所以这时租出的车辆数为 100-12=88(辆).

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 x-3000? ? ?x-3000? ?(x-150)-? ?×50 f(x)=?100- 50 ? ? ? 50 ? 1 1 所以 f(x)=-50x2+162x-21 000=-50(x-4050)2+307 050. 所以当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 307 050, 即当每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元.
a b 5 2 + 2 =2, ? ? 19.解:(1)由已知,得? 2a b 17 ? ?4+2 = 4 ,
+ +

?a=-1, 解得? ?b=0.

(2)由(1),知 f(x)=2x+2-x,任取 x∈R, 有 f(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)任取 x1,x2∈(-∞,0],且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=( 2 x + 2 ? x )-( 2 x + 2 ? x )
1

1

2

2

=( 2 x - 2 x )+ ?
1 2

1 ? 1 ? x2 x1 2 ?2

1 ? x1 x2 ? ? =( 2 - 2 ) ? 1 ? x1 x2 2 2 ? ?
1 2

2x1 2x2 ? 1 ? x1 x2 2 2 = ( - ) . ? 2x1 2x2 ?

∵x1,x2∈(-∞,0]且 x1<x2,∴0< 2 x < 2 x ≤1.
2 x -1<0, 2 x · 2 x >0,故 f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-∞,0]上单调递减. 从而 2 x - 2 x <0, 2 x ·
1 2 1 2 1 2

(4)∵f(x)在(-∞,0]上单调递减,且 f(x)为偶函数,可以证明 f(x)在[0,+∞)上单调递增(证 明略).∴当 x≥0 时,f(x)≥f(0);当 x≤0 时,f(x)≥f(0). 从而对任意的 x∈R,都有 f(x)≥f(0)=20+20=2, ∴f(x)min=2.

20.(1)证明:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),设 0<x1<x2,则 lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1+2x1-6<lnx2+2x2-6. ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点,

(2)证明:∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,∴f(2)· f(3)<0.

又由(1),知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,因此函数至多有一个根, 从而函数 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. (3)解:f(2)<0,f(3)>0, 5 5 ?5? ∴f(x)的零点 x0 在(2,3)上,取 x1=2,∵f?2?=ln2-1<0, ? ? 11 11 1 ?11? ?5? ?11? ?5 11? ? 4 ?<0.∴x0∈?2, 4 ?. 取 x1= 4 ,∵f? 4 ?=ln 4 -2>0,∴f?2?· ? ? ? ?? ? ? ?

?5? ?5 ? ∴f?2?· f(3)<0.∴x0∈?2,3?. ? ? ? ? ?11 5? 1 1 而? - ?= ≤ , ? 4 2? 4 4

?5 11? ∴? , ?即为符合条件的区间. ?2 4 ?



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