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第4章-第1课时:平面向量的概念及线性运算



高三总复习.数学(文)

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1课时 平面向量的概念及线性运算

考 点

考点一 平面向量的概念 考点二 平面向量的线性运算
考点三 向量共线定理及应用 ■方法探究?系列 ■应考迷津?展示

考纲·展示

1.在三角形中或平行四

边形中进行加法、减法的运算. 2.结合向量相等和向量数乘的运算,判断两个向量共线. 3.利用共线向量定理解答三点共线问题和求字母参数的值.

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一、向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的 模 . (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1个单位 的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任 一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

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一、向量的概念及线性运算

2.向量的线性运算 向量 定义 运算 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形 法则

(1)交换律: a+b=b+a ; (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

平行四边形 法则
求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形 法则
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a-b=a+(-b)

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一、向量的概念及线性运算

[自测 1] 若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 C.不可能都是零向量
C

)

B.不共线 D.不可能都是单位向量

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一、向量的概念及线性运算

[自测 2] 若 m∥n,n∥k,则向量 m 与向量 k( A.共线 C.共线且同向 B.不共线 D.不一定共线

)

D

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一、向量的概念及线性运算

→ 等于( [自测 3] D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD → +1BA → A.-BC 2 → -1BA → C.BC 2
A

)

→ -1BA → B.-BC 2 → +1BA → D.BC 2

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一、向量的概念及线性运算

→ -CB → +CD → |=__________. [自测 4] 若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB → -CB → +CD → |=|AB → +BC → +CD → |=|AD → |=2. |AB
2

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二、向量的数乘及共线向量

1.定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记 作 λa ,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|= |λ||a| ; (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa= 0 .
2.运算律:设 λ,μ 是两个实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.

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二、向量的数乘及共线向量

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使b=λa .

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二、向量的数乘及共线向量

[自测 5] 设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=________.

1 -2

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二、向量的数乘及共线向量

→ =a+2b,BC → =-5a+6b,CD → =7a-2b, [自测 6] 已知向量 a,b,且AB 共线的三点是________.
A、B、D

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考点一 平面向量的概念

____________________{突破点}______________________ 抓住向量的要素(方向和大小)是其概念的突破口 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起 点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.向量只有 相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小.注意 0 的存 在及与 0 的区别.

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考点一 平面向量的概念

1.给出下列五个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则 a=b; → =DC →; ③在?ABCD 中,一定有AB ④若 m=n,n=p,则 m=p; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c.

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考点一 平面向量的概念

其中不正确的个数是( A.2 C.4

) B.3 D.5

选 B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等, 不一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a|=|b|,但 a,b 方向不确定, 所以 a,b 不一定相等,故②不正确;③、④正确;零向量与任一非零向 量都平行,当 b=0 时,a 与 c 不一定平行,故⑤不正确.

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考点一 平面向量的概念

2.给出下列命题: → =DC → 是四边形 ABCD 为平行四 ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 边形的充要条件;②若 a=b,b=c,则 a=c;③a=b 的充要条件是|a|= |b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________.

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考点一 平面向量的概念

→ =DC → ,∴|AB → |=|DC → |且AB → ∥DC → ,又∵A,B,C,D 是不共 ①正确.∵AB 线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平 → ∥DC → 且|AB → |=|DC → |,因此,AB → =DC →. 行四边形,则AB ②正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c,∴b,c 的长 度相等且方向相同,∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ③不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a| =|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正 确命题的序号是①②.
①②
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考点一 平面向量的概念

(1)平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、 零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方 法.

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考点一 平面向量的概念

(2)几个重要结论 ①相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性; ②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; ③平行向量与起点无关; ④向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.

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考点二 平面向量的线性运算

____________________{突破点}______________________ 三角形和平行四边形法则 共起点的向量求和用平行四边形法则,作差用三角形法则,首尾相接的 向量求和用三角形法则.

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考点二 平面向量的线性运算

1.(2014· 高考福建卷)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行 → +OB → +OC → +OD → 等于( 四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则OA → A.OM → C.3 OM → B.2 OM → D.4 OM )

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考点二 平面向量的线性运算

选 D.利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算. 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以点 M 是 AC 和 BD 的 → +OC → =2 OM → ,OB → +OD → =2 OM → ,故OA → 中点,由平行四边形法则,知OA → +OB → +OD → =4 OM →. +OC

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考点二 平面向量的线性运算

2. (2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, CA, → +FC → =( AB 的中点,则EB → A.BC → C.AD
选 C.利用向量的加法法则求解. → +FC → =EC → +CB → +FB → +BC → =EC → 如图,EB 1 → → 1 → → → +FB=2(AC+AB)=2· 2 AD=AD.
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) 1→ B.2AD 1→ D.2BC

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考点二 平面向量的线性运算

→ 3.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C、D 是半圆弧的两个三等分点,AB → =b,则AD → =( =a,AC 1 A.a-2b 1 C.a+2b ) 1 B.2a-b 1 D.2a+b

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考点二 平面向量的线性运算

连接 OC、 OD、CD, 由点 C、 D 是半圆弧的三等分点, 有∠AOC=∠COD =∠BOD=60° ,且 OA=OC=OD,则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆 → =AO → +AC →= O 的半径的等边三角形, 所以四边形 OACD 为菱形, 所以AD 1→ → 1 2AB+AC=2a+b.

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考点二 平面向量的线性运算

(1)向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”,即第二个向 量的起点与第一个向量的终点重合,和向量由第一个向量的起点指向第 二个向量的终点; (2)向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”,即两个 向量的起点重合,差向量由减向量的终点指向被减向量的终点;

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考点二 平面向量的线性运算

(3)平行四边形法则的要素是“起点重合”,即两个向量的起点相同,和 向量的起点也相同; (4)当两向量平行时,三角形法则适用,平行四边形法则不适用; → → —→ → (5)向量加法的多边形法则:A→ 1A2+A2A3+A3A4+?+ An-1An=A1An.

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考点三 向量共线定理及应用

____________________{注意点 1}_____________________ 区分三点共线与向量共线 当三点共线时,由任两点得出的向量共线;当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线.

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考点三 向量共线定理及应用

1.设 a,b 是两个不共线的非零向量. → =-a+b,BC → =2a+tb,CD → =2 014a-2b,且 A,B,D 三点共线, 若AB 则 t=__________.

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→ =AB → +BC → + CD → = (-a+b)+ (2a+ tb) +(2 014a-2b)= 2 015a+(t- AD 1)b, → 与AD → 共线. 因为 A,B,D 三点共线,所以AB → =μAB → (μ 为实数),即 2 015a+(t-1)b=μ(-a+b),解得 μ=-2 所以AD 015,t=-2 014.
-2 014

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考点三 向量共线定理及应用

→ +PB → +PC →= 2. (2015· 山师大附中模拟)已知平面内一点 P 及△ABC, 若PA → ,则点 P 与△ABC 的位置关系是( AB A.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 AC 上 )

B.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在△ABC 外部

→ +PB → +PC → =AB → 得PA → +PC → =AB → -PB → =AP → ,即PC → =AP → -PA → =2 选 C.由PA → ,所以点 P 在线段 AC 上. AP

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考点三 向量共线定理及应用

非零向量共线,可转化为向量相等,从而建立系数的方程,求解其系数.

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考点三 向量共线定理及应用

____________________{注意点 2}_____________________ 注意向量的同向与反向 若 λa=b(a 为非零向量),则实数 λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ>0; |b| 当 a 与 b 异向时,λ<0.|λ|= ,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定. |a|

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考点三 向量共线定理及应用

若 λa=b(a 为非零向量),则实数 λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ>0; |b| 当 a 与 b 异向时,λ<0.|λ|= ,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定. |a|

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由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0), 于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b.
?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λk-k=1,

1 整理得 2λ2-λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=-2. 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1.

1

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考点三 向量共线定理及应用

4.设 a、b 是两个非零向量. 若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=__________.

因为 8a+kb 与 ka+2b 共线, 所以存在实数 λ 使得 8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0. 因为 a 与 b 是两个不共线的非零向量,
?8-λk=0, 所以? ?8=2λ2?λ=± 2,所以 k=2λ=± 4. ?k-2λ=0

± 4

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→, →, (1)若 a,b 不共线, 则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,(2)向量PA PB → 中三终点 A,B,C 共线?存在实数 α,β,使得PA → =α PB → +β PC →且 α PC +β=1.

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■方法探究?系列

化解平面向量平行的诀窍 诀窍 1 用方程法求参数值

【典例 1】 已知非零向量 e1 和 e2 不共线, 若向量 2te1+e2 和向量 e1-2e2 共线,则实数 t 的值为__________.
因为 2te1+e2 与 e1-2e2 共线,所以存在实数 λ,使 2te1+e2=λ(e1-2e2),
?2t-λ=0, 则(2t-λ)e1=(-2λ-1)e2.由于 e1 和 e2 不共线, 所以? 解得 t ?-2λ-1=0,

1 =-4. 1 -4
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■方法探究?系列
方法点津

用方程思想破解向量共线问题.通过待定系数这一桥梁,使得这类难题 变平凡.向量平行也称向量共线,它与直线平行有区别,直线平行不包 括共线(即重合)的情况,而向量平行则包括共线(重合)的情况.

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■方法探究?系列

诀窍 2

用化归法判断动点位置

【典例 2】 已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点, CD 是△ABC 的中线, 1-λ → 1 → → 若PD= 2 PA+2CB,其中 λ∈R,则点 P 一定在( A.AB 边所在的直线上 C.BC 边所在的直线上 )

B.AC 边所在的直线上 D.△ABC 的内部

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分析

因为 CD 是△ABC 的中线, 所以边 AB 的中点为 D, 利用平行四边形法则, → 转化为向量PA → ,PB → 的关系,再观察已知向量等式,利用向量减 把向量PD → 转化为向量PB →, → 的关系, 法法则, 把向量CB PC 从而把已知向量等式化简, 最后利用向量共线的充要条件,即可判断点 P 的位置.

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■方法探究?系列

→ 连接 PB,PC.因为 CD 是△ABC 的中线,所以边 AB 的中点为 D,所以PA 1-λ → 1 → 1 → → 1-λ → 1 → → → → +PB=2 PD.因为PD= 2 PA+2CB,所以2(PA+PB)= 2 PA+2(PB- → ),所以PC → =-λ PA → ,所以 A,C,P 三点共线,因此点 P 一定在 AC PC 边所在的直线上.

B

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■方法探究?系列

→ +PB → +2 PC → =0,则△ 【典例 3】 已知点 P 是△ABC 内部一点,若PA APC 的面积与△BPC 的面积之比为__________.
→ +PB → =2 PD → ,因为PA → 设边 AB 的中点为 D,连接 PD,如图所示,则有PA → +2 PC → =0,所以PA → +PB → =-2PC → ,所以PD → =-PC → ,所以 P,C,D +PB 三点共线,即 CD 为边 AB 上的中线.又点 A,B 到 CD 的距离相等,所 以△APC 的面积与△BPC 的面积相等,即△APC 的面积与△BPC 的面积 之比为 1∶1.
1∶1

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■方法探究?系列
方法点津

已知平面向量所满足的向量等式,判断动点的位置的关键是用好“题 眼”,即对已知的向量等式进行转化,常结合图形,若能转化为共线向 量的等式,则动点的位置也就凸显了.以三角形或四边形等平面几何图 形包装的动点的位置问题,常需先运用平面向量的加法、减法运算进行 转化,再利用共线向量的等式,因此应熟悉向量的加法、减法所遵循的 平行四边形法则和三角形法则,要掌握图形的运算和字母的运算.其中 最容易出错的是向量的减法运算,差向量的方向是指向被减向量的.

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■应考迷津?展示

1.考前必记 (1)平面向量的概念. (2)共线向量定理. (3)向量的加减(平行四边形法则,三角形法则)及数乘运算.

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■应考迷津?展示

2.答题指导 (1)看到向量,想到有向线段的起点与终点.(如考点二) (2)看到共起点向量求和,想到平行四边形法则.(如考点二,第 3 题) (3)看到首尾相接的向量求和,想到三角形法则.(如考点二,第 2 题) (4)看到向量减法,想到三角形法则.(如考点三,第 2 题) (5)看到共线向量,想到向量共线定理.(如考点三,第 1、2 题)

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