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高中数学2-1-2参数方程和普通方程的互化



第2课时 参数方程和普通方程的互化
【课标要求】

1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法. 3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. 【核心扫描】 1.对参数方程化为普通方程的考查是热点.

2.本课时内容常与方程、三角函数结合起来命题.(难
点)
课前自

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自学导引
1.参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般 消去参数 地,通过_________可从参数方程得到普通方程. 2.普通方程转化为参数方程 x=f(t) 如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如_______, y=f(t) 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系_______,
?x=f(t) ? 那么? 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方 ?y=g(t) ?

取值范围 程的互化中,必须使 x,y 的_________保持一致.
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试一试:将下列参数方程化为普通方程:
?x=3+cos ? (1)? ?y=2-sin ?

θ , (θ 为参数); θ 为参数,π ≤t≤2π ).

?x=2cos t, ? (2)? (t ?y=2sin t ?

提示

?cos ? (1)由已知 ? ?sin ?

θ=x-3 ,由三角恒等式 cos2θ +sin2 θ=2-y

θ=1,可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程.
(2)∵π≤t≤2π, ∴-2≤x≤2,-2≤y≤0, ∴普通方程是 x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0),即下半圆.

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名师点睛
1.参数方程和普通方程的互化

参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒
等式消参法消去参数方程中的参数,通过曲线的 普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲 线上任一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问 题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直 线的斜率、截距等作为参数.

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2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当地选择参 数,可以简化解题的过程,降低计算量,提高准确 率.求轨迹方程与求轨迹有所不同,求轨迹方程只需

求出方程即可,而求轨迹往往是先求出轨迹方程,然
后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形. 3.参数方程与普通方程的等价性

把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取
值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因 此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.

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【思维导图】

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题型一

把参数方程化为普通方程

【例1】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的 曲线.
?x=1-3t, ? (1)? (t ?y=4t ?

为参数); 为参数,0≤t≤π ); (θ 为参数);
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?x=1+4cos t, ? (2)? (t ? y=-2+4sin t ? ?x=2+sin2θ , ? (3)? ? y=-1+cos 2θ ?

[思维启迪] 解答本题只要消去参数,建立关于x、y的二元
方程即可.
1-x 解 (1)由已知 t= ,代入 y=4t 中,得 3 4x+3y-4=0,它就是所求的普通方程,它表示的是一条直线. (2)∵0≤t≤π ,-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1. ∴-3≤x≤5,-2≤y≤2, (x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16. ∴(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2), 它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为 4 的上半圆. (3)由 y=-1+cos 2θ 可得 y=-2sin2θ ,把 sin2θ =x-2 代入 y=-2sin2θ 可得 y=-2(x-2),即 2x+y-4=0, 又∵2≤x=2+sin2θ ≤3, ∴所求的方程是 2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是一条线段.
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【反思感悟】 (1)将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常 用的消元法有代入消元法、 加减消元法. 如果参数方程是分式方程, 在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形.另外,熟悉一些常 见的恒等式至关重要,如 sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2
?1-k2 ? ? ? ? ?2 ? 2k ?2 =4,? +? 2 ? =1 1+k2 ? ?1+k ? ? ?

等.

(2)把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而 使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证 普通方程与参数方程的等价性.

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【变式1】 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示 什么曲线.
?x=1- t ? (1)? (t ?y=1+2 t ?

为参数).

?x=-4t2 ? (2)? (t≥0,t 为参数). ?y=t+1 ?



(1)由 x=1- t≤1 有 t=1-x,

代入 y=1+2 t得到 y=3-2x. 又因为 x≤1,所以参数方程等价于普通方程 y=3-2x(x≤1). 这是以(1,2)为端点的一条射线(包括端点).
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x=-4t2 (2) y=t+1

① ②

由②解出 t=y-1,代入①中, 得 x=-4(y-1)2(y≥1), 1 2 即(y-1) =- x(y≥1). 4 方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于 x 轴,开 口向左的抛物线的一部分.

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题型二

把普通方程化成参数方程

【例2】 求方程4x2+y2=16的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数;

(2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x=
2t(t为参数),如何求曲线的参数方程? [思维启迪] 解答本题(1)可以直接把y=4sin θ代入已知方

程,解方程求出x即可;(2)可以把y=t,x=2t代入即可.
解 (1)把y=4sin θ代入方程, 得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ, ∴x=±2cos θ.由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ, 因此4x2+y2=16的参数方程是

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?x=2cos ? ? ?y=4sin ?

θ (θ 为参数). θ

(2)将 y=t 代入椭圆方程 4x2+y2=16,得 4x2+t2=16, 16-t2 则 x2= . 4 16-t2 ∴x=± . 2 因此,椭圆 4x2+y2=16 的参数方程是 ? 16-t2 ? 16-t2 ?x= ?x=- 2 和? 2 (t 为参数). ? ?y=t ?y=t ? ? 同理将 x=2t 代入椭圆 4x2+y2=16,得椭圆的参数方程为 ?x=2t ?x=2t ? ? ? ? 2 和? 2 (t 为参数). ?y=4 1-t ? ?y=-4 1-t
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【反思感悟】 (1)将普通方程化为参数方程的一般方法:
?x=f(t) ? 把x=f(t)代入F(x,y)=0 已知? ――――――――――――――――→ ?F(x,y)=0 ? ?x=f(t) ? y=φ(t)―→? . ?y=φ(t) ?

(2)将曲线的普通方程化为参数方程时,选取的参数不
同,同一条曲线的参数方程会有不同的形式,有的复杂, 有的简单,选取什么参数好,要根据具体的问题而定,参 数可以有具体的实际意义,也可没有具体意义.

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【变式2】 与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为(t为参 数)
?x=sin t ? A.? ?y=cos2t ? ?x= ? C.? ?y=t ? ?x=cos t ? B.? ?y=sin2t ? ?x=tan t ? D.? ?y=1-tan2t ?

(

).

1-t

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解析

A化为普通方程为

x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1]. B化为普通方程为

x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
C化为普通方程为 x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].

D化为普通方程为
x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1]. 答案 D

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题型三

参数方程与普通方程的互化及应用

【例 3】 (2012· 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4, 圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别 写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐 标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. [思维启迪] (1)将直角坐标方程化为极坐标方程,再求交 点; (2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点 坐标,再写出公共弦的参数方程,或先定义 x=1,再写 出公共弦的参数方程.
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(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
?ρ=2, ? 解? ?ρ=4cos ?

π 得 ρ=2,θ=± , 3 θ
? π? ? π? C2 交点的坐标为?2, 3 ?,?2,-3 ?. ? ? ? ?

故圆 C1 与圆

注:极坐标系下点的表示不唯一.

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(2)法一

?x=ρcos θ, ? 由? ?y=ρsin θ ?

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为

(1, 3),(1,- 3). 故圆 C1 与
?x=1, ? C2 的公共弦的参数方程为? ?y=t ?

(- 3≤t≤ 3).

?x=1, ? ? ? ?或参数方程写成? ?- 3≤y≤ 3?? ?y=y ? ? ?

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法二

将 x=1

?x=ρcos θ, ? 代入? ?y=ρsin θ ?

1 得 ρcos θ=1,从而 ρ= . cos θ 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
?x=1, ? π ? π? ? ?- ≤θ≤ ?. 3? ?y=tan θ ? 3 ?

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【反思感悟】 参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的 另外两种巧妙的表达形式,解题时要善于根据解题的需求将参 数方程与普通方程进行互化,达到方便解题的目的.同时注意 参数的范围.

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【变式 3】 如图,已知定点 A(2,0),点 Q 是圆 C:x2+y2=1 上的动点,∠AOQ 的平分线交 AQ 于点 M,当 Q 在圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程.

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1 1 设点 O 到 AQ 的距离为 d,则 |AM|· |OA|· d= |OM|· sin∠ 2 2

1 1 AOM, |QM|· |OQ|· d= |OM|· sin∠QOM,又∠AOM=∠QOM, 2 2 |AM| |OA| 2 所以 = = , |QM| |OQ| 1

→=2AQ,因点 Q 是圆 x2+y2=1 上的点,所以设点 Q → 所以 AM 3
坐标为(cos θ,sin θ),M(x,y), 2 得(x-2,y-0)= (cos θ-2,sin θ-0), 3

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2 2 2 即 x- = cos θ,y= sin θ, 3 3 3
? 2?2 2 4 两式平方相加,得?x-3? +y = , 9 ? ?

故点 M

? 2?2 2 4 的轨迹方程为?x-3? +y = . 9 ? ?

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题型四

参数方程的综合性问题
?x=1+tcos ? ? C1: ?y=tsin α ?

【例 4】 (2010· 新课标全国卷)已知直线 为参数),
?x=cos θ, ? C2:? ?y=sin θ ?

α,

(t

(θ 为参数).

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中 点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什 么曲线.
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[思维启迪] (1)将参数方程化为普通方程,解方程组求交 点.(2)由C1的普通方程求出点A的坐标,利用中点坐标公

式求出P的坐标可得参数方程,再化为普通方程可知曲线
类型.
解 π (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 3

y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1.
?y= 3(x-1), ? 联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ?

解得 C1 与

?1 C2 的交点为(1,0),? ,- ?2

3? ?. 2?

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(2)C1 的普通方程为 xsin α -ycos α -sin α =0. A 点坐标为(sin2α ,-cos α sin α ), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 2 ? ?x=2sin α , ? (α 为参数). ?y=-1sin α cos α ? 2 ? 1?2 2 1 P 点轨迹的普通方程为?x- ? +y = . 4? 16 ? ?1 ? 1 ? ,0? ,半径为 的圆. 故 P 点轨迹是圆心为 4 ?4 ?

【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力,考 查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力.
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【变式 4】

?x=cos α, ? (2010· 陕西高考)方程为? ?y=1+sin α ?

(α 为参数),

以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 交点的直角坐 标为________.
解析 圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 直线 l 的直角坐标方程为 y=1. ?x2+(y-1)2=1, ?x=-1, ?x=1, ? ? ? ? ? ? 或? ?y=1 ?y=1 ?y=1. ? ? ? ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).

答案

(-1,1),(1,1)

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高考在线——参数方程与普通方程的应用
点击1 参数方程与普通方程的互化 【例1】
?x=cos α ? (2010· 陕西高考)参数方程? ?y=1+sin ?

α

(α 为参数)

化成普通方程为________.

解析

?x=cos α ? ∵? ? y=1+sin ?

α

,cos2α+sin2α=1,

∴x2+(y-1)2=1.

答案

x2+(y-1)2=1

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【例2】

(2009· 苏 高 考 ) 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 江 1 ? x= t- , ? t ? (t 为参数,t>0).求曲线 C 的普通方程. ? ? ?y=3?t+1 ? ? t? ?

1 解 因为 x =t+ -2, t 1 y 2 所以 x +2=t+ = , t 3 故曲线 C 的普通方程为: 3x2-y+6=0.
2

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点击2 参数方程的应用
安徽高考)设曲线 C 【例3】 (2010·

?x=2+3cos θ ? 的参数方程为? ?y=-1+3sin θ ?

(θ 为参数),直线 l 的方程为 x-3y+2=0,则曲线 C 上到直 7 10 线 l 距离为 的点的个数为 ( ). 10 ?x-2=3cos θ ? 解析 由题意,曲线 C 可变形为:? , ?y+1=3sin θ ?
即(x-2)2+(y+1)2=9, ∴曲线 C 是以点 M(2,-1)为圆心,3 为半径的圆,M 到 l 的 |2+3+2| 7 10 7 10 7 10 距离 d(M,l)= 2 2 = 10 ,且 10 <r=3<2× 10 ,所 1 +3 7 10 以曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数为 2,故 B 正确. 10

答案

B
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【 例 4 】 (2012· 课 标 全 国 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是 新
?x=2cos φ, ? ? ?y=3sin φ ?

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2, 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时 针次序排列,点 A
? π? 的极坐标为?2, 3 ?. ? ?

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的 取值范围.
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(1)由已知可得

? A?2cos ?

π π? ,2sin ?, 3 3?

? ?π π? ?π π?? B?2cos?3+2 ?,2sin?3+2 ??, ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ??

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

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(2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=16cos2 φ+36sin2 φ+16=32+20sin2 φ. 因为 0≤sin2 φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

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