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2013年河北省石家庄市高中毕业班复习教学质量检测文科数学试卷



2013 年河北省石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 高三数学(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前考生务必将自己的姓 名、 准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目 要求的. 1. 复数

10 = 1 ? 2i
B. 4-2i C. 2-4i D. 2+4i

A. -4+2i 2.

2 已知命题 p : ?x 0 ? R , x 0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0 则 ?p 为 2

A. ?x 0 ? R, x 0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0

B. ?x 0 ? R, x 0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0
2

D. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0

3.中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为

2 ,则该椭圆的方程为 2

x2 y2 A. ? ?1 16 12

x2 y2 x2 y2 B. ? ? 1 C. ? ?1 12 8 12 4

x2 y2 D. ? ?1 8 4
b a

4、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 asinAsinB+bcos2A= 2 a,则 的值为 A、1 B、 2 C、 3 D、2

5、已知向量 a、b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10 ,则|b|= A、3 2 6. B、2 2 C、 2 D、1

设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),是变量 x:和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这 些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 A. x;和 y 正相关 B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在-1 到 0 之间
1

D. 当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 7、已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3) ,Sn= 100,则 n 的值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8.在圆的一条直径上, 任取一点作与该直径垂直的弦, 则其弦长超过该圆的内接等边三角 形 的边长的概率为 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 2
1 ,1]上,则 4

9.阅读程序框图(如右图) ,如果输出的函数值在区间[ 输入的实数 x 的取值范围是 A. (??, ?2] C.[0,2] B.[-2,0] D. [2, ?? )

10、已知三棱锥 A-BCD 内接于珠 O,AB=AD=AC=BD= 3 , ∠BCD=60°,则球 O 的表面积为 A、

3 ? 2

B、 2?

C、 3?

D、

9 ? 2

11.F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分 a2 b2

别交于 A、B 两点.若Δ ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 A. 2 B.

7

C.

13

D.

15

12.设方程 10 x =|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则 A. x1 x2<0 B. x1 x2=1 C. x1x2 >1 D、0<x1 x2<1

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 y=x3-2x+3 在 x=1 处的切线方程为_____ 14.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长 方形的面积等于其它 10 个长方形的面积和的

1 ,且样本容易为 160, 4

则中间一组的频数为___ 15.在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点, 则: AE. AF 的最大值为______: 16.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为___ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2

已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求函数 f(x)的最小值.及 f(x)取最小值时 x 的集合。

18.(本小题满分 12 分) 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试, 随机抽取了 部分学生的成绩,得到如图所示的成绩频率分布直方图. (I )估计全市学生综合素质成绩的平均值; (II)若综合素质成绩排名前 5 名中,其中 1 人为某校的学生会主席, 从这 5 人中推荐 3 人参加自主招生考试, 试求这 3 人中含该学生会主 席的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 (I)若 M、N 分别是 AB,A1C 的中点,求证:MN//平面 BCC1B1 (II)若三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2, 1BA=∠B1BC=60°, 为线段 B1B 上的动点, ∠B P 当 PA+PC 最小时,求证:B1B⊥平面 APC。

20.(本小题满分 12 分)

3

已知直线 l1:4x:-3y+6=0 和直线 l2:x=-

p 2 ,.若拋物线 C:y =2px 上的点到直线 l1 和直 2

线 l2 的距离之和的最小值为 2. (I )求抛物线 C 的方程; (II)直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 与抛物线交于 A,B 两点,且 AA1,BB1 都垂直于直线 l2,垂 足为 A1,B1,直线 l2 与 y 轴的交点为 Q,求证: 为定值。

21.(本小题满分 12 分) 2 已知函數 f(x)=ln+mx (m∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间; (II)若 A,B 是函数 f(x)图象上不同的两点,且直线 AB 的余率恒大于 1,求实数 m 的取 值范围。

请考生在 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,AB 是 O 的直径,BE 为圆 0 的切线,点 c 为 o 上不同于 A、B 的 一点,AD 为 ?BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (I )求证:BD 平分 ?CBE (II)求证:AH?BH=AE?HC 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为: 3? 2 ? 12 ? cos ? ? 10( ? ? 0) (I)求曲线 C1 的普通方程; (II)曲线 C2 的方程为 的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1| (I )解关于 x;的不等式 f(x)+x2-1>0; (II )若 f(x)=-|x+3|+m,f(x)<g(x)的解集非空,求实数 m 的取值范围.

x2 y2 ? ? 1 ,设 P、Q 分别为曲线 C1 与曲 线 C2 上的任意一点,求|PQ| 16 4

4

2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 高三数学(文科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1-5 ADDBA 6-10 CCCBD 11-12 BD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. x ? y ? 1 ? 0 14. 32

15.

9 2

16.

10 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (原则上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f (x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x = sin 2 x ? (1+ cos 2 x) ,

=sin2 x ? cos 2 x ? 1 ,………………2 分
? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,……………4 分 4
所以函数的最小正周期为 ? .………………6 分 (Ⅱ) f (x) 最小值为 ? 2 ? 1 ,……………9 分 当 2x ?

?

?
4

=2k? ?

?
2

,即 x =k? ?

?
8

(k ? Z ) 时,

?? ? f (x) 取得最小值,此时 x 的集合为 ? x x =k? ? ? (k ? Z ) .…………12 分 8? ?
18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 依题意可知:

55 ? 0.12 ? 65 ? 0.18+75 ? 0.40+85 ? 0.22+95 ? 0.08 , =74.6 ……………3 分
所以综合素质成绩的的平均值为 74.6.……………6 分 (Ⅱ)设这 5 名同学分别为 a,b,c,d,e,其中设某校的学生会主席为 a 从 5 人中选出 3 人,所有的可能的结果为

(a, b, c), , b, d ), , b, e), , c, d ), , c, e), , d , e), , c, d ), , c, e), , d , e), (c, d , e ) 共 10 (a (a (a (a (a (b (b (b
种,……………9 分 其中含有学生会主席的有 (a, b, c), , b, d ), , b, e), , c, d ), , c, e), , d , e) 6 种 (a (a (a (a (a
5

含学生会主席的概率为

6 3 ? .……………12 分 10 5

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 证明: 连接 AC1,BC1, AN ? NC1 ,因为 AM=MB, 则 所以 MN // BC1 . ……………3 分 又 BC1 ? 平面.BCC1 B1 , 所以 MN// 平面BCC1 B1 .…………5 分 (Ⅱ)将平面 A1 B1 BA 展开到与平面 C1 B1 BC 共面,

A 到 A? 的位置,此时 A?BCB1 为菱形,…………7 分
可知 PA ? PC ? PA '? PC

A ' C 即为 PA ? PC 的最小值,…………9 分
此时, BB1 ? A?C , 所 以 BB1 ? PA' , BB1 ? PC , 即 BB1 ? PA ,

BB1 ? PC ,
所以, BB1 ? 平面PAC .……………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) l 2 为抛物线的准线,焦点为 F (0,

p ) ,由抛物线的定义知,抛物线上的点到直线 2

l 2 的距离等于其到焦点 F 的距离,
抛物线上的点到直线 l 1 的距离与到焦点 F 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l 1 的距离

d , ……3 分

d?

?2 p ? 6 ? 2, 所以 p ? 2 , 5
2

所以抛物线的方程为 x ? 4 y. ……………5 分 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

6

设: y ? kx ? 1 ,则 ? 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0.

? y ? kx ? 1;
2 ? x ? 4 y.

所以 x1 x2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 4k ,

y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1 ,

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k ? 2, ……………7 分
又 AA1 ? y1 ? 1, BB1 ? y2 ? 1, A1 B1 ? x1 ? x2 ,
2 S ?QA B

S ?QAA ? S ?QBB
1

1

x1 ? x2 ………………10 分 ? 1 1 ( y1 ? 1) x1 ? ( y2 ? 1) x2 2 2
2

?

4 ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ( y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1) x1 x2

=?

4 ?16k 2 ? 16 ? ? ? 4(4k 2 ? 4)

? 4. ……………12 分

21. (本小题满分 12 分)

( ? 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 0, ?) ,

f ' ( x) ?

1 1 ? 2mx 2 ? 2mx ? x x …………2 分

当m ? 0时,f ( x)在(0,??)单调递增。 当m ? 0时,由f ' ( x) ? 0得x ? 1 2m

x ? (0,-

1 1 ) (0,) 2m 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 2m 上单调递增;

x ?( -

1 1 ,??) ( ,??) 2m 2m 时, f ' ( x) <0, f (x) 在 上单调递减.

综上所述: 当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增;

当m ? 0时,f (x) 在
……………5 分

(0,-

1 1 ) ( ,??) 2m 上单调递增,在 2m 上单调递减.

(Ⅱ) 依题意,设 A(a, f (a )), B (b, f (b)) ,不妨设 a ? b ? 0 ,

7



k AB ?

f (a ) ? f (b) ?1 a ?b 恒成立,…………6 分

,则 f (a ) ? f (b) ? a ? b 恒成立, 所以 f (a ) ? a ? f (b) ? b 恒成立, 令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? mx ? x, ……………8 分
2

则 g(x)在 (0, ??) 为增函数,

g ?( x) ?
所以
2

1 2mx 2 ? x ? 1 ? 2mx ? 1 ? ?0 x x ,对 x ? (0, ??) 恒成立,…………10 分

所以 2mx ? x ? 1 ? 0 ,对 x ? (0, ??) 恒成立,

2m ? ?


1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) 2 ? 2 x x x 2 4 ,对 x ? (0, ??) 恒成立,

m?
因此

1 8 .……………12 分

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)由弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB …………2 分 由 ?DBC ? ?DAC , ?DAB ? ?DAC
O A

所以 ?DBE ? ?DBC , 即 BD平分?CBE. …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BE ? BH . 所以 AH ? BH ? AH ? BE ,……………7 分 因为 ?DAB ? ?DAC , ?ACB ? ?ABE , 所以 ?AHC ∽ ?AEB ,

C H D B E

AH HC ,即 AH ? BE ? AE ? HC …………10 分 ? AE BE 即: AH ? BH ? AE ? HC .
所以 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)原式可化为 (x ? y ) ? 12 x - 10 ,…………2 分 3
2 2

即 ( x - 2) 2 ? y 2 ?

2 . ……………4 分 3

(Ⅱ)依题意可设 Q (4 cos ? ,2 sin ? ), 由(Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0) 。

8

QC ? (4 cos ? -2) 2 ? 4sin 2 ? ? 12 cos 2 ? -16 cos ? ? 8
2 2 ? 2 3( cos ? - ) 2 ? ,……………6 分 3 3
QC min ? 2 6 ,…………8 分 3 6 .…………10 分 3

所以 PQ min ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2

2

……………2 分

由 x - 1 ? 1 - x 2 得 x ? 1或x ? -2 由 x - 1 ? x 2 - 1 得 x ? 1或x ? 0 综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ……………5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空. 令 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 ,即 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m ,…………8 分 由 x - 1 ? x ? 3 ? x - 1 - x - 3 ? 4 ,所以 h( x) min ? 4 , 所以 m ? 4 .………………10 分

9



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