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1.3.2球的体积和表面积(新)



1.3.2 球的体积 和表面积

复习引入

讲授新课
1.球的概念

A R O C

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. A R O C

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. C A R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面. C A R O

B

讲授新课
1.球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合,叫做球体,简称球. 定点叫做球心, 定长叫做球的半径. 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面. C A R O

B

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是

S=4?R

2

3. 球的体积
半径是R的球的体积是

3. 球的体积
半径是R的球的体积是

4 3 V ? πR . 3

例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比;

(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.

例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm3 3 3 2 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

例1 有一种空心钢球, 质量为142g,
测得外径等于5.0cm, 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).

例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

由计算器算得:

x ? 2.24
2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm
S 侧 ? 6 ? 5 2 ? 150cm 2

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。 分析:正方体内接于球,则由球和 正方体都是中心对称图形可知,它 们中心重合,则正方体对角线与球 的直径相等。
D A D1 A1 B C

O
C1 B1

略 解 :Rt?B1 D1 D中 :

( 2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得 3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

例题讲解
例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

R ? O ?O ? , ?ABC是正三角形, 2

C

B

2 3 2 3 O ?A ? ? AB ? ?r 3 2 3

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积. 解:在Rt?OO ?A中,? OA 2 ? O ?O 2 ? O ?A 2 ,
R 2 2 3 2 ?R ? ( ) ? ( ) , 2 3 4 ?R ? . 3
2

O A
O?

V ?

4 4 4 256 ?R 3 ? ? ( ) 3 ? ?; 3 3 3 81

C

S ? 4?R 2 ? 4? ?

16 64 ? ?. 9 9

B

课堂练习

练习一
8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? 这个球的体积为___cm3.

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1:2 2 :3 3 个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____. 9?
3 , 5 , 15 ,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 123 3? 这个大铅球的表面积是______.

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ①V ? ?R 3 2 ②S ? 4?R

练习

1. 教科书P.28 练习 第1、3题

练习

1. 教科书P.28 练习 第1、3题

2. 教科书P.28 练习 第2题 一个正方体的
顶点都在球面上, 它的棱长是a cm, 求球的体积.

练习

1. 教科书P.28 练习 第1、3题

2. 教科书P.28 练习 第2题 一个正方体的
顶点都在球面上, 它的棱长是a cm, 求球的体积.

探究 若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

探究 若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= a ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

探究 若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= a ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

探究 若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= a ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

课堂小结
1. 球的表面积公式; 2. 球的体积公式;

3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.

课后作业
1.阅读教材P.27到P.28; 2. 《与名师对话》.



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