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一道题的错解分析与一类题的解法规律



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2 0 0 2年  第 4期  数 学通 报 



道题 的错 解 分析 与 一类 题 的解 法 规律 
董振 海  陈先竹  ( 河南 濮阳市第二 师范 学校 4 5 7 0 0 0 )  
曹  军  ( 江 苏省悔 门师范 学校  2   2   6 1   0   0 )  

最近 在 一 本 中学 数学 杂 志 上 见 到 这 样 一 道  题 目: 已知 函数 f (  )=   一2 x一4的定 义域 与值  域都是  , 求 肘.   原解 令X 2 —2  一4=  , 解 之 得  =一1 ,  
X 2 = 4.  

值 域 是 : 一 5 , ( n ) ] , 据 题 意 有 {   m : = -   5   ) , 即  

{   / ' / 1 : = - :   5 — 2   一 4 , 解 得 { :  , 这 与  7 矛 盾 .  
( 3 ) 1≤ m < n  

因为 。 >0 ,一   b =
一  

Z0  


Z  



l  

= 1∈ ( 一1 , 4 )  

f ( x )在 [ m,  ] 上 单 调 递 增 ,   令 
I " 1 1 . 即  m 2-2m - 4
:…


=  m


(  l ,  2 ) .  
、  

解 得 

由图 1 可 知, 所求 的 盯   [ 4 , + ∞) .   1 解 法 分析 


n 一4 , , 与  <   ≤ 1 小 付 ?   f 1   与  <  ≤ 不 符 .  

上述 解 法 是 否 正 确 呢?   在 回答 这 个 问题 之 前 , 我们  先 来 看 解 这 道 题 的 一 个 通 
法.  

j 

_  

通 解  先 求 满 足 条 件  的闭 区间  .  
( 1 ) m <   ≤1  

图 1  

令 M =[ m, n ] , 分情况讨论如下 :  

综合 ( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 )得 , 满 足 条 件 的 闭 区 间不  存在.   另外 , 注意到 [ 4 , + m) 符台条件 , 故所求的  [ 4 , + ∞) .   与原解相比, 通解显然繁冗复杂, 而且分 类讨  论似乎在做无用功 , 因为最后的结果仍然是  =   [ 4 , +   ) , 两种解法同一个结果 , 纯属巧台 ? 还是  原 解具有 一定 的道理 ? 我们 不妨 再 看一例 :   例  若 将原题 中的“ , (  )=   —2 x一4 ” 改 


, (   ) 在 [ m ,   j 上 单 调 递 减 , 令 {  
,   1一 .   一

厂 (   ) : {   。 + {  一 2 ” , 其余 条件 不变, 结果   ,   成“
怎样 ?  

即 {   二  
< n≤ 1 不符 .  
( 2 ) m < 1<  

解 得  
¨   —j  
:一5 , 因为 , (  )的对 称 轴 是  =  

若 按 原 解 求 , 结 果 是  : j L   , +  l ;  
若按 通 解 求 , 结果却是 盯 = : 一2 ,一 1 ]或 

【 _ 导 ,  

, +  ) .  

1 , 所以 , ( 一5 ):l 厂 ( 7 ) .  
此 时 又得分 两种 情形 :   1 。 当 1<n≤ 7 时, 由图 1 可知l 厂 (  ) 在[ m,   n ]上 的 值 域 是 [ 一5 , l 厂 ( 一5 ) ] ,据 题 意 有 

{ :  ( 5 一   ) , 即 { :   , 这 与 n ≤   矛 盾 .  
当 n>7 时, 由图 1 可知 l 厂 (   ) 在[ m, n ] 上的  

由此可见 , 原解漏掉 了两个解. 经分析 , 原解  主要 存在 以下 三点错 误 :   ( 1 ) 舾 意理 解偏差 . 误 认为 Ⅳ 是 函数 厂 (  )的  单凋递增区间 , 所以把 Y:   与函数厂 (  ) 的图象  的交点的横坐标作为区间  的端点.   ( 2 ) 过分相信形 的直观. 误认 为当区间   在  直线 =1 的左边或包含 1 时, 满足条件的区间   不会 存在 .   ( 3 ) 逻辑错误. 原题要求的是充分必要条件 ,   而原解只说明 M = [ 4 , + m) 满足条件 ( 即充分 

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性) , 并未说明满足条件的区间   必为 [ 4 , +*)   ( 必 要性未 作说 明) .  
2 解法规 律  对一般 的二 次 函数 , (  ): ∞0+ 缸 + c而  言, 我 们是否 一 定 要 象通 解 那 样 按部 就 班地 分 三  种情 况讨论 呢 ? 原 解 的思路 是 否值得我 们 借鉴 呢?   对这 两个问题 的 探 讨 , 我 们 发 现 了这 类 题 的解 法  规律 , 现介绍 如下 :   已知二次函数 , (  )= Ⅱ   0 +如 +c , 是否存  在连续的闭区间  , 使得f (  ) 的定义域与值域都  是 M? ( 此时我们把 厂 ( 3 2 ) 看作  到 自身上的二次  映射 )   令 M =[ s , t   , 若厂 (  ) 把[  , t ] 映射到 自身 
上:  

=   +如 +c 与直线  :   相交于两点 , 此时  方程 ( *) 有两个相异 的实根 , 记作 l 、   2 (   l<  

1 。 若一   ≤  I <  2 ( 如  图2 ) , 则[  I ,  2 ]显 然 满 足  条件 , 又因为此时 抛物线 Y   :   +   +c的顶 点 在直  线 v:   上 或在 直线 Y =   的上 方 , 所 以  不 可 能 是  , (  ) 的单 调递减 区间或非 单 

图2  

调区间, 故满足 条件 的 M 存 在, 而且 M = [   ] .   2
2 c 若 I <一   <  2 ( 如图 

( 1 ) 当  £ ]  【 一  , +  j 时 , 由 , (   ) 在  
【 一   0 , + * J 上 单 调 递 增 , 故 , ( s ) =   , , (   ) = f  
即点 ( s ,  ) , ( t , £ )在 , (  )的 图 象 上 , 所 以 方 程  厂 (  )=   有 两个 不等实 根 , 故( b一1 ) 0 —4 a c>0 .  

3 ) 则满足条件的 M可能存在 ,   也可能不存在, 此时须用通解 
求后 确 定  ( 2 ) a<0的情形 , 用 同样  的 方法 可 以得到如 下 的结论 :   ① 当 △ ≤ 0时 , 满 足条件 

图3  

( 2 ) 当 [ s , t ]  【 一  , 一  J 时 , 由 , (   ) 在   【 一 * , 一   b   J 上 单 调 递 减 , 故, (   ) =   , , (   ) =  
即 Y: , (  ) 的图象上有 一 对关 于 y=   的 对称  点( s ,  ) , ( t ,  ) . 由f (  ) 的连续 性及 f (  ) 一   在  趋 于正 无穷时 的情 况可 知 , 方程 , (  )=   必有 两  个不等实根 , 所 以( b一1 )   —4 a c>0 .  


的 M 不 存在 .   ② 当 △ >0时, 方程( *) 有两个相异的实 

根, 记作 l 、   2 (   I <  2 ) .   1 。 若 l <  2 ≤一   , 则满足条件的 M存在 ,  
而且  = [  1 , X 2 ] .  

2 。 若  l <一   0<  2 , 则满足条件的 M可能存  在, 也可能不存在, 此时须用通解求后确定.  
3   规律 引 申   类 似地 , 上述 解法 规律 也适 用 于下面 一类题 :   已知 二次 函数 , (  )=“  +   +c ( 。 , b , C 是  常数 且 o≠ 0 ) , 是否 存 在 实数 m, n ( m <n ) , 使  , (  ) 的 定 义 域 与值 域 分 别 为 [ m, n ]和 [   ,   (  是正常数) ? 如存在 , 求 出 m, n的值 ; 如 不  存在 , 说 明理 由 .   4 规律应 用 

( 3 ) 当一   b∈   『 s<   <  } 时 Nf ( 一   )  
, :   ,

故 必 有  :  

, 在由   :  

— 

,   :£ ,   Y:   —  一 ,   y:  ,   四条 承 且筑  直线 

围 成 的 正 方 形 内 , 因 点 ( 一   b ,  
一 r  

) 在 y =  

直 线 上,故 , (   )的 图象 至少过 

(  

,   ) , ( £ , £ ) 其 中 一 点 ( 否 则 , (   ) 不 可 能  

是[ s , t ] 到 自身上的映射 )故方程 厂 (  )=   有两  个不等 实根 , 所以( b一1 )  —4 a c> 0 .   综上所述 , 当f (  ) 把[ s , t ] 映射到它 自身上  时, 不 论 s , t ] 相对 f (  )的对称 轴 在 什 么位 置都  有( b一1 )  一4 Ⅱ c> 0 .   记 △ =( b一1 )  —4 a c . 当 △ >0时 , 抛物线 

倒1   已知函数l 厂 (  ) =2 x   +4  +1 的定义  域和值 域都 是 M( M 是 连续 的 闭区 间) , 则数 集 M 

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加0 2 年  第 4期  数学 通 报 

3 l  

各几何体基本量间的关 系, 而这些关 系在复杂的  含条件.   C   几何图形中较难寻求 . 为此, 我们妙作截面, 在截  例 5 求单位立方体在与  面上展示出各几何体基本量问的联系 , 列出关 系   对角线垂直平面上的射影的面 .   式加以求解.   积.   例 4 单 位 正 方 体 内  分 析  设 与 对 角 线  C   有9 个等球 , 其中一个球的  B D。 垂 直 的 平 面 为 口, 要求  琅  位 于 这个 正 方 体 的 中  立方体在 a上射影 的面积 ,   心0 , 其它八个球分别与球  需考查正方体顶点在 a上的射影情况 , 显然直接  0相外切 , 且与正方体的交  考虑是困难 的. 我们借过顶点与 n 平行的截面来  于 同一顶点 的 三个 面相切 ,   寻求 各 顶 点在 a上 的射 影 情 况, 易 知 两 截 面  求球半径的长.   A 【 D c 】 , A B 】 C都与 B D】 垂直, 即与 口平行 , 从 而  分析  组合体问题 大多是用主截面来反 映  A 1 , D, C I 三 点在 口上 的射 影 组 成 与 △ A 1 D C I 全  各几何体的几何量 , 球的主截面是大圆面 , 正方体  等的正三角形 A 【   D   C 】   , 同理 A, B 【 , C三点在 口 上  的主截面是对角 面或表面 , 我们取正方体的对角  的射影 也组 成正 三 角形 A   B。   C   , 且 此 两正 三角形  面进行分析( 如图) , 0为中心 , A为正方体的一个  全等 、 中心重合 、 对应边互 相平行. 这说 明正方体  顶点 , P为其上底面的中心 ,  为球 0 。 与上底面的  在 a上 的射 影 为 正 六 边 形 ( 如图 ) 设 正 六 边 形 边  切点( 球0 。 为与过顶点 A的三个面都相切的球 ) ,   长 为  . 那 么  易知 O P上 A P, 过0 】 作0 1 Q上 O P, Q为垂足 , 由   AI   D  = 

正 方 体的 对角 线长 3  ̄ 7 - 3 , 得s i n LO 0 1 Q: 等, 于  


_ 二 _  

是有 0 Q+  


:2 r ?   +r :0 P:{, 解得 r  

朽  :   .  
C 

雩 ( 2 一   ) :  一   3 .  

所 以   = 訾   故 射 影 的 面  
积 为 6?   2:   .  

4   妙作截面  显现随含条件  有些立几问题的隐含条件与某些重要 的截面  有着紧密的联系, 只有 当作出截面 , 才能发掘其隐 

读者 可试着 解 答如下 试题 :   已知正方 体所有棱与 一平面所成 的角都为 


求 o   N 3 w ! 、 . ( 答 : B r c t g 譬 )  

( 上接2 9 页) 解得  【 :一1 ,   2 = 一 {.  
又 口 : 2 > 0,一   … 1   l ,  

所 以M: 【 一 l , 一 { 】 .  
例 2 是否存 在实数 m, n ( m <n ) , 使得例 1   中的函数 _ 厂 (  ) 的定义域与值域分别是[ m, n ] 和  [ 2 m, 2 n ] ?  

是常数R a≠0 ) 满足条件 : , ( 2 ) =0 且方程, (  )   有等根. ( 1 ) 求_ 厂 (  ) 的解析式 : ( 2 ) 问是否存  在实数 m, n ( m <n ) , 使_ 厂 (  ) 的定义域与值域分  别是[ m, n ] 和[ 3 m, 3 n ] ? 如存在 , 求出 m,  的值 ;   如不存在 , 说 明理由.  
:  

解  ( 1  
f  

):一   1   +  ( 过程略)
. 

( 2 ) 联 立{   一  r   得   2 + 4  :0 , 解  
【 v=3  

1 ’  

解 联 立 f  

4 x  

得2   +2  +l:0 , △ :一4<0 , 故满足条件的  实数 m, n不存在 .   例3   已知二次函数 _ 厂 (  )=   +b x ( Ⅱ , b  

得  【 :一4,  2=0 .  

又 。 : 一 吉< 0 , 一   b = l >  >  , 所 以  



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