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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】3.3.2



3.3.2
一、基础过关

极大值与极小值

1.函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x)的图象如图,则函数 y=f(x)在开区间(a,b) 内取得极小值的点有________个.

2.下列关于函数的极值的说法正确的是________.(填序号) ①导数值为 0 的点一定是函数的极值点; ②函数

的极小值一定小于它的极大值; ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值; ④若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数. 3.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极大值为________. 4.函数 f(x)=ax3+bx 在 x=1 处有极值-2,则 a、b 的值分别为________、________. x2+a 5.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 6.设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a 的值为________. 7.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

1? ①函数 y=f(x)在区间? ?-3,-2?内单调递增; 1 ? ②函数 y=f(x)在区间? ?-2,3?内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断正确的是________.(填序号) 二、能力提升 8.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等

于________. 9.若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是________. 10.求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x; (2)f(x)= x3-2 . 2?x-1?2

1 5 11.已知 f(x)=x3+ mx2-2m2x-4(m 为常数,且 m>0)有极大值- ,求 m 的值. 2 2 12.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中 a∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; 2 (2)当 a≠ 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 3

答案
1.1 2.④ 3.5 4.1 -3 5.3 6.9 7.③ 8.9 9.1<a<4 10.解 (1)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, -2) + -2 0 极大值 (-2,2) - 2 0 极小值 (2,+∞) +

从表中可以看出,当 x=-2 时,函数 f(x)有极大值, 且 f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16; 当 x=2 时,函数 f(x)有极小值, 且 f(2)=23-12×2=-16. (2)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ?x-2?2?x+1? ∵f′(x)= , 2?x-1?3 令 f′(x)=0, 得 x1=-1,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, -1) + -1 0 - 3 8 (-1,1) - 1 (1,2) + 2 0 3 (2, +∞) +

故当 x=-1 时,函数有极大值, 3 并且极大值为 f(-1)=- . 8

11.解 ∵f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m), 2 令 f′(x)=0,则 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 2 (-m, 3 m) - 2 m 3 0 极小值 2 ( m, +∞) 3 +

1 5 ∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+ m3+2m3-4=- , 2 2 ∴m=1. 12.解 (1)f′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 1 (-∞, - ) 3 + 1 - 3 0 极大值 1 (- ,1) 3 - 1 0 极小值 (1,+∞) +

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27 极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有 f(x)>0,x 取足够小的负数时,有 f(x)<0, 所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(- )= +a,f(x)极小值=f(1)=a-1. 3 27 ∵曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0, 5 即 +a<0 或 a-1>0, 27 5 ∴a<- 或 a>1, 27 5 ∴当 a∈(-∞,- )∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27 13.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故 f′(1)=3e.

(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 2 令 f′(x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2,由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 以下分两种情况讨论: 2 ①若 a> ,则-2a<a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,-2a) + -2a 0 极大值 (-2a,a-2) - a-2 0 极小值 (a-2,+∞) +

所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae
-2a

.


函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2. 2 ②若 a< ,则-2a>a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,a-2) + a- 2 0 极大值 (a-2,- 2a) - -2a 0 极小值 (-2a, +∞) +

所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2.


函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae

-2a

.



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