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2.4.2 抛物线的简单几何性质 学案(人教A版选修2-1)



2.4.2

抛物线的简单几何性质

课时目标 1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单几何性质, 学会利 用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用.

1.抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0) (1)范围:抛物线上的点(x,y)的横坐标 x 的取值范围是__

______,抛物线在 y 轴的______侧,当 x 的值增大时,|y|也________,抛物线向右上方和右下 方无限延伸. (2)对称性:抛物线关于________对称,抛物线的对称轴叫做 ________________. (3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________.抛物线的顶点为 ____________. (4)离心率: 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比, 叫做抛物线 的__________,用 e 表示,其值为______. (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______, 这就是 p 的几何意义, 顶点到准 p 线的距离为 ,焦点到顶点的距离为________. 2 2.直线与抛物线的位置关系 直线 y=kx+b 与抛物线 y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程 ________________________的解的个数.当 k≠0 时,若 Δ>0,则直线与抛 物线有______个不同的公共点;当 Δ=0 时,直线与抛物线有______个公共 点;当 Δ<0 时,直线与抛物线________公共点.当 k=0 时,直线与抛物线 的轴__________,此时直线与抛物线有______个公共点. 3.抛物线的焦点弦 设抛物线 y2=2px(p>0),AB 为过焦点的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),则有以下结论. (1)以 AB 为直径的圆与准线________. (2)|AB|=________(焦点弦长与中点坐标的关系). (3)|AB|=x1+x2+______. (4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2=________,y1y2 =________.

一、选择题 1.顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3),它的方程是( 9 4 A.x2=- y 或 y2= x 2 3 9 4 B.y2=- x 或 x2= y 2 3 9 C.y2=- x 2
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)

4 D.x2= y 3 2.若抛物线 y2=2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三 个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( ) A.成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等比数列也不成等差数列 3.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 17 9 A. B. 3 C. 5 D. 2 2 4. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) 2 2 A. y = ± 4x B. y = ± 8x 2 2 C.y =4x D.y =8x 5.设直线 l1:y=2x,直线 l2 经过点 P(2,1),抛物线 C:y2=4x,已知 l1、l2 与 C 共有三个交点,则满足条件的直线 l2 的条数为( ) A. 1 B. 2 C.3 D.4 2 6.过抛物线 y =ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若 PF 1 1 与 FQ 的长分别为 p、q,则 + 等于( ) p q 1 4 A.2a B. C.4a D. 2a a 2 3 4 5 6 题 号 1 答 案 二、填空题 7.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 8.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A、B 是抛物线 C 上的两个点,线 段 AB 的中点为 M(2,2),则△ABF 的面积等于________. 9.过抛物线 x2=2py (p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30° 的直线,与抛物线分别 |AF| 交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴的左侧),则 =________. |FB| 三、解答题 10. 设抛物线 y=mx2 (m≠0)的准线与直线 y=1 的距离为 3, 求抛物线的标 准方程.

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11.过点 Q(4,1)作抛物线 y2=8x 的弦 AB,恰被 Q 所平分,求 AB 所在的 直线方程.

能力提升 12.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( ) A. 4 3 B. 8 C .8 3 D.16 13.

已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值.

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1.抛物线上一点与焦点的距离问题,可转化为该点到准线的距离. 2.直线与抛物线的位置关系,可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方 程组的解来判定;“中点弦”问题也可使用“点差法”.

2.4.2
知识梳理 1.(1)x≥0

抛物线的简单几何性质

右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心 p 率 1 (5)p 2 2 2 2.k x +2(kb-p)x+b2=0 两 一 没有 平行或重合 一 p p2 3.(1)相切 (2)2(x0+ ) (3)p (4) -p2 2 4 作业设计 1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左,利用待定系数法可求得 方程.] 2.A [设三点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3), 2 2 则 y2 1=2px1,y2=2px2,y3=2px3, 2 2 因为 2y2 2=y1+y3,所以 x1+x3=2x2, p? p p ? 即|P1F|- +|P3F|- =2?|P2F|-2?, 2 2 ? ? 所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.] 3.A [

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1 如图所示,由抛物线的定义知,点 P 到准线 x=- 的距离 d 等于点 P 到焦 2 点的距离|PF|.因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的距离之和,其最小值为点 M(0,2)到点 1 17 ?1 ? F?2,0?的距离,则距离之和的最小值为 4+ = .] ? ? 4 2 ?a ? 4.B [y2=ax 的焦点坐标为?4,0?,过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y= ? ? a ? a? 2?x-4?,令 x =0 得 y=- . ? ? 2 1 |a| |a| ∴ × × =4,∴a2=64,∴a=± 8.] 2 4 2 5.C [∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点, ∴过点 P 的直线 l2 在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意.∴满足条件 的直线 l2 共有 3 条.] ?a ? 6.D [可采用特殊值法,设 PQ 过焦点 F?4,0?且垂直于 x 轴,则|PF|=p ? ? a a a a =xP+ = + = , 4 4 4 2 a 1 1 2 2 4 |QF|=q= ,∴p+q=a+a=a.] 2 2 7.y =4x 解析 设抛物线方程为 y2=ax.将 y=x 代入 y2=ax, a 得 x=0 或 x=a,∴ =2.∴a=4. 2 2 ∴抛物线方程为 y =4x. 8.2 2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y2 1=4x1,y2=4x2. ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). y1-y2 4 ∵x1≠x2,∴ = =1. x1-x2 y1+y2 ∴直线 AB 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 将其代入 y2=4x,得 A(0,0)、B(4,4). 2 ∴|AB|=4 2.又 F(1,0)到 y=x 的距离为 , 2 1 2 ∴S△ABF= × ×4 2=2. 2 2 1 9. 3 3 ? p? 解析 抛物线 x2=2py (p>0)的焦点为 F?0,2?, 则直线 AB 的方程为 y= x ? ? 3 p + , 2

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?x =2py, 由? 3 p y = x + ? 3 2,

2

消去 x,得 12y2-20py+3p2=0,

p 3p 解得 y1= ,y2= . 6 2 由题意可设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义, p p p y1+ + 2 6 2 1 |AF| 可知 = p=3p p=3. |FB| y2+ 2 2 +2 1 10.解 由 y=mx2 (m≠0)可化为 x2=my, 1 其准线方程为 y=- . 4m 1 1 由题意知- =-2 或- =4, 4m 4m 1 1 解得 m= 或 m=- . 8 16 则所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=-16y. 11.解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则有 y2 1=8x1,① 2 y2=8x2,② ∵Q(4,1)是 AB 的中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=2.③ ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).④ 将③代入④得 y1-y2=4(x1-x2), y1-y2 即 4= ,∴k=4. x1-x2 ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 y-1=4(x-4),即 4x-y-15=0. 方法二 设弦 AB 所在直线方程为 y=k(x-4)+1. 2 ?y =8x, ? 由 消去 x, ?y=k?x-4?+1, 得 ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点 坐标公式, 8 得 y1+y2=k,又 y1+y2=2,∴k=4. ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 4x-y-15=0. 12.

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B [如图所示, 直线 AF 的方程为 y=- 3(x-2),与准线方程 x=-2 联立 得 A(-2,4 3). 设 P(x0,4 3),代入抛物线 y2=8x,得 8x0=48,∴x0=6, ∴|PF|=x0+2=8,选 B.] 13.解 由 y2=4x,得 p=2,其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 A′、B′. p (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+ , 2

从而 x1=4-1=3. 代入 y2=4x,解得 y1=± 2 3. ∴点 A 的坐标为 (3,2 3)或(3,-2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1). ?y=k?x-1? 与抛物线方程联立? 2 , ?y =4x 消去 y,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点, 4 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2,则 x1+x2=2+ 2. k 由抛物线的定义可知, 4 |AB|=x1+x2+p=4+ 2>4. k 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线相交于 A(1,2), B(1,-2),此时|AB|=4, 所以,|AB|≥4,即线段 AB 的长的最小值为 4.

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