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选修4-1



选修4-1 几何证明选讲

第一讲 相似三角形的判定及有关
性质

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相似三角形的判定及有关性质 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得线 段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.


推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第
三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰 .

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2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比?对应中线 的比?对应角平分线的比都等于相似比;

相似三角形周长的比?外接圆的直径比?外接圆的周长比都等
于相似比; 相似三角形面积的比?外接圆的面积比都等于相似比的平方;

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4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边 在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边 上射影与斜边的比例中项.

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考点陪练

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1.如图,D?E分别是△ABC的边AB?AC上的点,DE∥BC,且
AD ? 2,那△ADE与四边形DBCE的面积比是________. DB

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S ?ADE 4 AD AD 2 解析 : ? ? 2,? ? ,故 ? , DB AB 3 S ?ABC 9 ? S ?ADE S四边形DBCE 4 ? . 5

4 答案 : 5

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2.如图,AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1且AB=?A1B1.若 △AOB的外接圆的直径为1,则△A1OB1的外接圆的直径为 ________.

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解析:∵AB∥A1B1且AB=?A1B1,

∴△AOB∽△A1OB1,
∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比. ∴△A1OB1的外接圆直径为2. 答案:2

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3.(2010·湛江质检)如图,在Rt△ABC中 ,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=2,BD=3,则 AC=________.

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解析 :由射影定理 : CD2 ? AD?DB, 4 ? AD ? , 又AC2 ? AD· B ? AC ? AD?AB A 3 4 ?4 13 ? ? ? ? ? 3? ? . 3 ?3 3 ?

2 13 答案 : 3

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4.如图所示,△ABC中,D为BC中点,E在CA上且AE=2CE,AD? BE交于F,则

AF BF ? _____, ? _______ . FD FE

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解析 : 如图所示, 取BE中点G, 连接DG, 又D为BC中点. 则DG ? CE, 且CE ? 2DG.? AE ? 2CE ? AE ? 4DG, 即 AE ? 4. DG

AF AE EF AF 从而 ? ? 4,同理 ? ? 4, DF DG GF DF ? EF ? 4GF.又BG ? GE ? GF ? EF ? 5GF, 则BF ? 6GF. ? BF 6GF 3 ? ? . EF 4GF 2

答案 : 4

3 2

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5.一直角三角形的两条直角边之比是1?: 上的射影的比是________.

3,则它们在斜边

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解析:如图,在直角三角形ABC中, BC?AC=1?3, 作CD⊥AB于D, 由射影定理得BC2=BD·AB,

AC2=AD·AB,


BC 2 BD 1 ? ? , 2 AC AD 9
9

故它们在斜边上的射影的比是1?: 9.
答案:1?:

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类型一

平行线(等)分线段成比例定理

解题准备:解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基 本图形,看清楚被平行线组截得的线段.

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【典例1】 如图,F为?ABCD边AB上一点,连接DF交AC于 G,并延长DF交CB的延长线于E. 求证:DG·DE=DF·EG.

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[分析] 由于条件中有平行线,考虑平行线(等)分线段定理及 推论,利用相等线段(平行四边形对边相等),经中间比代换, 证明线段成比例,得出等积式.

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[证明]?四边形ABCD是平行四边形, ? AD ? BC, AB ? DC, AD ? BC.? AD ? BC, DG AD DF BC AD ? ? .又 ? AB ? DC,? ? ? , EG EC DE EC EC DG DF ? ? , 即DG ?DE ? DF?EG. EG DE

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[反思感悟] 在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段 成比例定理,构造平行线解决.平行线分线段成比例定理是 几何选讲的基础内容,要熟练掌握.

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类型二

相似三角形的判定及性质

解题准备:相似三角形的判定及性质的运用,是几何证明的基 础,要注意比例线段在研究相似图形中的作用.应用三角形 相似既可推理证明,还可以计算线段的长度,我们常常利用

相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系,列方程计
算出未知量的值.

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【典例2】 如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E? F分别是AB?BC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB=9,求BM.

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[分析] ?1? 可由已知条件证DE ? CB; DM DE ? , 又因为 ? 2 ?由?1? 可得 BM BF 1 DE:BF ? 2, 故BM ? DB. 3

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[解] 1)证明:∵E是AB的中点, ∴AB=2EB. ∵AB=2CD,∴CD=EB 又AB∥CD, ∴四边形CBED是平行四边形. ∴CB∥DE,∴△EDM∽△FBM.

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DM DE ? . ? 2 ? ?? EDM∽? FBM,? BM BF ? F是BC的中点,? DE ? 2BF.? DM ? 2BM, 1 ? BM ? DB ? 3. 3

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[反思感悟] 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选 择判定定理,若题目条件涉及平行线可选择判定定理1或判 定定理2.

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类型三

射影定理及应用

解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角 三角形中的应用,在直角三角形中,灵活利用射影定理,可简 化某些命题的证明和线段的计算.

特别提醒:应用射影定理有两个前提条件:①是直角三角形;②
是斜边上的高线.

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【典例3】 如图,在△ABC中,D?F分别在AC?BC上,且 AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.

[分析] 本题中有多处垂直关系,要注意直角三角形射影定理
的合理应用.

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[解] 在△ABC中,设AC为x, ∵AB⊥AC,AF⊥BC,FC=1, 根据射影定理得:AC2=FC·BC,即BC=x2. 再由射影定理得: AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,

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? AF ? x 2 ? 1. 在? ABC中, 过点D作DE ? BC于E, ? BD ? DC ? 1,? BE ? EC, 又 ? AF ? BC,? DE ? AF, DE DC ? ? , AF AC DC ?AF ? DE ? ? AC
2

x2 ?1 .在Rt? DEC中,? DE 2 ? EC 2 ? DC2 , x

? x 2 ? 1 ? ? x 2 ?2 2 x2 ?1 x4 即? ? 1 ,即 2 ? ? 1, ? ? ? x ? ? 2 ? x 4 ? ? ? ? ? x ? 3 2, 即AC ? 3 2 .
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[反思感悟] 本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应 该注意,作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的 方法.

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错源 分类不当?考虑不全致误 【典例】 已知AD是△ABC的BC边上的高,若 AD2=BD·CD,则△ABC的形状是________. [剖析] 我们知道:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在

斜边上的射影的比例中项.反之,因三角形的一边上的高可
能在三角形外,因此,原定理的逆命题是不成立的,即题中 △ABC不一定是直角三角形.

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[正解] 若点D在线段BC上,如图(1)所示,由AD2=BD·CD,可 证△ABD∽△CAD,从而可得△ABC是直角三角形.

若点D在BC的延长线上,如图(2)所示,则仍可证
△ABD∽△CAD,但△ABC是钝角三角形. 综上所述,△ABC是直角三角形或钝角三角形.

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[评析] 在几何图形中,分类讨论的数学思想是一种重要的思 想方法,例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形 外.又如直角三角形的直角顶点是哪一点,等腰三角形的腰 是哪两边,相似三角形的对应顶点是什么,诸如此类,必须分 类讨论.

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技法 判定两个三角形相似的几种方法 判定两个三角形相似的几种方法:①两角对应相等,两三角形 相似;②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;③三边 对应成比例,两三角形相似;④相似三角形的定义.

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【典例】 如图,已知

ABCD中,G是DC延长线

上一点,AG分别交BD和BC于E?F两点,证明 :AF·AD=AG·BF.

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[证明]?四边形ABCD为平行四边形, ? AB ? DC, AD ? BC.?? ABF∽? GCF, ? GCF∽? GDA.?? ABF∽? GDA. AF BF 从而有 ? , 即AF?AD ? AG ?BF. AG AD

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[方法与技巧] 一般地,证明等积式成立,可先将其化成比例式 ,再根据三角形相似证明其成立.三角形相似具有传递性,如 果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么 △A1B1C1∽△A3B3C3.

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