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5.1



我们学过的角

0? ? ? ? 90?

? ? 90?

90? ? ? ? 180?

思考:时钟慢了5分钟, 应如何校准?分针转过了 多少度? 时钟快了1.25小 时(一小时15分钟), 应如何校准?分针转过 了多少度?

转体三周

你知道她旋转

了多少度?

过去我们学习了0o≤α≤360o范围的角,但在实 际问题中还会遇到其他角.

(一)角的概念:
1.角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
B α O A

始边

终边

OB:角的终边

OA:角的始边

顶点

O:角的顶点

11 10

12

1 2
300

9
-300

3

8
7 6 5

4

(二)角的大小:

角的分类

正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. . 零角: 没有作任何旋转的角.记作α=0?

记法:角 ? 或 ?? ,可简记为

?

角的概念推广后,它包括任意大小的

正角、负角和零角

1.从中午12点到下午3点,
-900 时针走过的角度是__

2.钟表经过4小时,时针与

分针各转了_____________ -120? -1440? 、
看谁答得快

11

y12

1

10
4320

2
3 4 7 6 5

9 8

0

x

(三):角的位置

y B1 o B2 x

1.象限角

在平面直角坐标系内,角的顶点与 原点重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么角的终边在第几象限,

我们就说这个角是第几象限角.

2.非象限角(轴线角)

终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角 还是象限角吗? 否
y y

o

x

o

x

思考3:在同一直角坐标系内作出30°、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+___ 1· 360°
(-1)· 360° -330°= 30°+___ 750°= 30°+___ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合

{β ︱β = 30°+ k· 360°,k∈Z}

写出与-60°终边相同的角的集合 {β︱β= -60 °+ k· 360°,k∈Z} 写出与0°终边相同的角的集合

{β︱β= 0 °+ k· 360°,k∈Z}

(四):终边相同的角

终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角,
连同角α 在内,可构成一个集合 S={β ︱β =α+k· 360°,k∈Z} 即任何一个与角α终边相同的角,

都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

注意以下四点:

(1) k ? Z
(2) ?是任意角; (3) k ? 360 与?之间是“+”号, 0 0 如k ? 360-30°,应看成 k ? 360 +(-30°)
0

(4)终边相同的角不一定相等,但相等 的角,终边一定相同,终边相同的角 有无数多个,它们相差360°的整数倍.

练习:判别下列各角-50°,405°,210°, 200°,-450°分别是第几象限的角?

y

y 210°

y x x o

y x

y
x o -450°

x
o -50° o

405°

o -200°

1.与-496°终边相同的角

是 {α =-496°+k· 360°,k∈Z } ;

224° 它们中最小正角是_____ 它是第 三 象限的角;

2.下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k· 360°(k∈Z),则α

与β终边相同

1.锐角是第几象限的角?

2.第一象限的角是否都是锐角?
3.小于90°的角是锐角吗? 4.0°~90°的角是锐角吗?

思考5:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正半 轴、负半轴上的角的集合分别如何表示?

x轴正半轴:{α︱ α= k· 360°,k∈Z }; x轴负半轴:{α︱ α= 180°+k· 360°k∈Z} y轴正半轴:{α︱ α= 90°+k· 360°,k∈Z} y轴负半轴: {α︱ α= 270°+k· 360°k∈Z} 思考6:终边在x轴、y轴上的角的集合分别如 何表示? 终边在x轴上:S={α|α=k· 180°,k∈Z}; 终边在y轴上:S={α|α=90°+k· 180° k∈Z

思考7:第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示?

第一象限:S={α | k· 360°<α< 90°+k· 360°,k∈Z}; 第二象限:S={α | 90°+k· 360°<α< 180°+k· 360°,k∈Z}; 第三象限:S={α | 180°+k· 360°<α< 270°+k· 360°,k∈Z}; 第四象限:S={α | -90°+k· 360°< α<k· 360°,k∈Z}.

判断下列命题的真假,并说明理由

(1)第一象限都是锐角;

(

×

)

(2)若α是第一象限的角,则 2 也必是第 一象限的角; (× ) (3)终边在x轴上的角的集合为 ?? ? ? k? , k ? Z ? (4)终边在x轴上方的角的集合为
(

?



)

?? 2k? ? ? ? ? 2k ? 1? ? , k ? Z ?

(



)

写出与60? 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 ? ≤β< 720 ? 的元素β写出来. 解 S={β∣β= 60 °+ k· 360°,k∈Z}. S中适合-360 °≤β< 720 °的 元素是: 60 ?-1×360°= - 300 ? , 60 ?+0×360°=60 ? , 60 ?+1×360°=420 ? .

模仿一下吧

写出与-45? 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720?≤β<360? 的元素β写出来.
解 S={β∣β= -45? k· + 360°,k∈Z}.

S中适合-720? ≤β< 360? 的 元素是: -45? 315? -405?

能力提升
· 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90? 的角},

则下列关系式正确的是( D ) B. B∪C=A A. A=B=C
C. A∩C=B D. B∪C=C

· 若α是锐角,则k· 180? (k∈Z) +α,

所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限

C.第一、三象限 D.第一、四象限

拓展1:

写出终边位于下列阴影部分(含边界)内的角的 集合: y
y

y

60? O

45?

30?

O

x
O

x

x
30?

2? 解: (1) {? | 2k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z } 4 3 5? ? ? ? 2 k? , k ? Z } (2) {? | 2k? ? 6

?

(3) {? | k? ?

?

3

? ? ? k? , k ? Z }

? 拓展2:已知角? 的终边与 的终边相同,在 3 ? [0, 2? ] 中求与 终边相同的角. 3 ? ? 2 k? ? 解:设 ? ? 2k? ? , k ? Z 则 ? ? ,k ?Z 3 3 3 9
如图,显然在 [0, 2? ] 中有三个角与
? 终边相同,分别是当 k ? 0,1, 2 时 3 ? 7? 13? 的角 , , 解毕 9 9 9
y
120?

20?

O
120? 120?

x

小结作业
1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个 给定的角,都有唯一的一条终边与之对应, 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范 围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°,若所得的商为k,余数为α (α必须是正数),则α即为所找的角.



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