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福建省莆田一中2014-2015学年高一数学上学期期中试题(pdf)新人教A版参考答案



莆田一中 2014—2015 学年度上学期第一学段考试参考答案
一、选择题 1-5 CDABB 二、填空题 11.3 14.6 1585 12. 6-10 ACDCD

1 2

13. ( ?∞, 0) ∪ (0, 2]

15.33

三、解答题

? 9 ?2 ?

27 ? 16.解:(1)原式 = ? ? ? 1 ? ? ? ?4? ? 8 ?

1

?

2 3

3 1 ?3? ?3? ?3? + ? ? = ? 1 ? ? ? + ? ? = .· · · · · ·3 分 2 2 ?2? ?2? ?2?

?2

?2

?2

(2)原式 = 2lg 5 + 2 lg 2 + lg 5g(1 + lg 2) + lg 2 2 = 2(lg 5 + lg 2) + lg 5 + lg 2g(lg 5 + lg 2)

= 2 + lg 5 + lg 2 = 3 .· · · · · ·7 分
17.解(1)由题意得: A = { x | x ≥ 2} , B = { y |1 ≤ y ≤ 2} ,则 A ∩ B = {2} .· · · · · ·3 分 (2)当 a > 2a ? 1 即 a < 1 时, C = φ ,显然满足条件; · · · · · ·5 分 当 a ≤ 2a ? 1 即 a ≥ 1 时,要使 C ? B 则 ?

?a ≥ 1 3 即1 ≤ a ≤ · · · · · ·7 分 2 ?2a ? 1 ≤ 2

∴综上所述,实数 a 的取值范围为 ( ?∞, ] .· · · · · ·8 分 18.解(1)符合条件的是 f ( x) = ax + b .· · · · · ·1 分
x ①若模型为 f ( x) = 2 x + a , 由 f (1) = 2 + a = 4 , 得a = 2, 即 f ( x) = 2 + 2 .此时 f (2) = 6 ,

3 2

f (3) = 10 , f (4) = 18 与已知条件相差太大,不符合题意,不能选取. · · · · · ·3 分
②若模型为 f ( x) = log 1 x + a ,则 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是减函数,不符合题意,不能选
2

取. · · · · · ·4 分 ③由①②可知:前两个模型都不能选取,只能选取模型 f ( x) = ax + b .

3 ? a= ? ?4 = a + b ? 2. 把 (1, 4) 、 (3, 7) 代入得 ? 解得 ? 5 7 = 3 a + b ? ?b = ? ? 2
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∴ f ( x) =

3 5 x + ( x = 1, 2,......, 6, 7 )经验证 x = 2 , 4 符合的比较好. · · · · · ·6 分 2 2 3 5 (2)∵ f (7) = × 7 + = 13 ∴ 13 × (1 ? 30%) = 9.1 即确定 2012 年的年产量约为 9.1 万 2 2

件. · · · · · ·8 分 19.解(1)由函数 f ( x ) 可得函数 f ( x ) 过点 (2, 0) ∴2 ?2 = 0即2 = 2
m m

∵函数 g ( x ) = 2 在 R 上单调递增,且 g (1) = 2
x

∴ m = 1. · · · · · ·2 分 (2)函数 f ( x ) = x ?

4 为奇函数.· · · · · ·3 分 x 4 由(1)可得 f ( x ) = x ? ,其定义域为 ( ?∞, 0) ∪ (0, +∞ ) x 4 4 4 = ? x + = ?( x ? ) = ? f ( x ) 成立 ∵对于定义域内的每一个 x ,都有 f ( ? x) = ? x ? ?x x x 4 ∴函数 f ( x ) = x ? 为奇函数,其图象如右上图所示· · · · · ·6 分 x 4 (3)函数 f ( x ) = x ? 在 ( ?∞, 0) 上是增函数. · · · · · ·7 分 x
任取 x1 、 x2 ∈ ( ?∞, 0) ,且 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ?

4 4 ? ( x2 ? ) x1 x2

= ( x1 ? x2 ) +

4 4 4( x1 ? x2 ) 4 ? = ( x1 ? x2 ) + = ( x1 ? x2 )(1 + )· · · · · ·9 分 x2 x1 x1 x2 x1 x2
∴ x1 ? x2 < 0 , 1 +

∵ x1 < x2 < 0

4 >0 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) = x ?

4 在 ( ?∞, 0) 上是增函数. · · · · · ·10 分 x

20.解(1)∵ f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 ∴ f ( ?2) = ? f (2) , g ( ?2) = g (2) · · · · · ·1 分 ∵ f ( x ) + g ( x) = 2 x ∴令 x = 2 则 f (2) + g (2) = 4 ,令 x = ?2 则 f ( ?2) + g ( ?2) = ? f (2) + g (2) =

1 · · · · · ·2 4

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分 解得 f (2) =

15 17 , g (2) = 8 8 15 17 ∴ f (2) = , g ( ?2) = .· · · · · ·3 分 8 8
(2)∵ f ( x ) + g ( x) = 2 x ∴ f ( ? x ) = ? f ( x ) 、 g ( ? x) = g ( x) 对 x ∈ R 恒成立· · · · · ·4 分 ∴ f ( ? x) + g ( ? x) = 2 ∴ f ( x) =
?x

即 ? f ( x ) + g ( x) = 2 · · · · · ·5 分

?x

2 x ? 2? x 2 x + 2? x , g ( x) = .· · · · · ·6 分 2 2

(3)令 p( x) =

h( x) ? h( ? x ) h( x) + h( ? x) 、 q( x ) = , · · · · · ·7 分 2 2 h(? x ) ? h( x) h( ? x ) + h( x) 则 p( ? x) = = ? p( x ) 、 q( ? x ) = 2 2

∴ p( x) 为奇函数、 q( x ) 为偶函数,且 h( x) = p ( x ) + q ( x ) · · · · · ·9 分 ∴定义域关于原点对称的函数 h( x) 都可 以表示为 一个 奇函数 p( x) 和一个 偶函数 q( x ) 的 和. · · · · ·10 分 21.解(1)∵二次函数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + a + 3 开口向上,且对称轴是 x = 2 · · · · ·1 分 ∴函数 y = f ( x ) 在 ( ?1,1) 上是减函数· ∵函数 y = f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上存在零点 ∴?

? f (?1) > 0 ?1 + 4 + a + 3 > 0 即? 解得 ?8 < a < 0 · · · · · ·3 分 ? f (1) < 0 ?1 ? 4 + a + 3 < 0

∴实数 a 的取值范围 ( ?8, 0) . · · · · · ·4 分 (2)∵二次函数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + a + 3 开口向上,且对称轴是 x = 2 ①当 t ≤ 2 时,函数 y = f ( x ) 在 [t , 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递增 ∴函数 y = f ( x ) 在区间 [t , 4] 上 f (2) 最小 i)当 t ≤ 0 时函数 y = f ( x ) 在区间 [t , 4] 上 f (t ) 最大 ∴ f (t ) ? f (2) = 7 ? 2t 即 (t 2 ? 4t + a + 3) ? ( a ? 1) = 7 ? 2t
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∴ t 2 ? 2t ? 3 = 0 解得 t = ?1 或 t = 3 又∵ t ≤ 0 ∴ t = ?1 · · · · · ·7 分 ii)当 0 < t ≤ 2 时函数 y = f ( x ) 在区间 [t , 4] 上 f (4) 最大 ∴ f (4) ? f (2) = 7 ? 2t 即 ( a + 3) ? ( a ? 1) = 7 ? 2t 解得 t = ②当 2 < t < 4 时,函数 y = f ( x ) 在 [t , 4] 上单调递增 ∴函数 y = f ( x ) 在区间 [t , 4] 上 f (t ) 最小, f (4) 最大
2 ∴ f (4) ? f (t ) = 7 ? 2t 即 ( a + 3) ? (t ? 4t + a + 3) = 7 ? 2t

3 ,满足条件· · · · · ·9 分 2

∴ t 2 ? 6t + 7 = 0 解得 t = 3 + 2 或 t = 3 ? 2 ,不满足条件· · · · · ·11 分 ∴综上所述,当 t = ?1 或 t =

3 时,满足题目中的条件. · · · · · ·12 分 2

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