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2015.9四川省成都市高中数学骨干教师高考试题命制 - 副本



2015 年成都市高中数学骨干教师研修 四川师范大学班

高 考 试 题 交 流 册

四川师范大学数学与软件科学学院 二〇一五 年 九 月

目录
成都市十七中学 黄海涛.....................................................................

.......................................... 1 成都市田家炳中学 董发荣 ........................................................................................................... 1 成都 46 中 蒋昌林......................................................................................................................... 1 树德协进 陈凤乾......................................................................................................................... 2 成都铁中 谭杨颖........................................................................................................................... 3 成都二十中 付江平....................................................................................................................... 3 成都十八中 郑学平....................................................................................................................... 3 西南交大附中 谢天荣................................................................................................................... 4 成都华西中学 李勇刚................................................................................................................. 4 玉林中学 彭晓夏........................................................................................................................... 5 华川中学 李建军........................................................................................................................... 5 成都经开区实验高级中学 邓成兵 ............................................................................................... 6 大弯中学 包清............................................................................................................................... 6 成都市川化中学 汪树林............................................................................................................... 7 金堂实验中学 杨 健..................................................................................................................... 8 双流县华阳中学 王代全............................................................................................................... 8 温江中学 金忠............................................................................................................................... 9 郫县四中 夏智勇........................................................................................................................... 9 新都升庵中学 李业洪................................................................................................................. 10 香城中学 汤志勇......................................................................................................................... 10 彭州中学 范辂........................................................................................................................... 11 四川省新津中学 杨学忠............................................................................................................. 11 新津华润高中 龚华鸥............................................................................................................. 12 蒲江中学 高国济....................................................................................................................... 12 大邑中学 刘志和......................................................................................................................... 12 北师大成都实验中学 敖德兵 ..................................................................................................... 12 十二中 周成会............................................................................................................................. 13 高埂中学 张文峰....................................................................................................................... 13 成都市十七中 周珊................................................................................................................... 14 成都市十九中(田家炳) 谢玉平 ............................................................................................. 14 成都市 37 中 屈直桂................................................................................................................. 15 成都市二十中 韦锡铭............................................................................................................... 15 成都市通锦中学 牟明斌............................................................................................................. 15 成都经济技术开发区实验高级中学(原航天中学)张 弩 ....................................................... 16 龙泉一中 王朝伦......................................................................................................................... 16 四川省金堂中学校 杨 聪 ......................................................................................................... 17 成都双流华阳中学 刘文清 ......................................................................................................... 17 双流中学 邱建清....................................................................................................................... 18 华阳职中 阚能昌......................................................................................................................... 18 郫县一中 杨吉平......................................................................................................................... 18 新都一中 肖宏............................................................................................................................. 19
i

新都区第二中学 周成勇 ........................................................................................................... 19 新都区升庵中学 黄贵宾............................................................................................................. 20 邛崃一中 叶世春....................................................................................................................... 21 高埂中学 梁军............................................................................................................................. 21 新津华润高级中学 蒋 君 ........................................................................................................... 22 都江堰外国语学校 白东宁 ......................................................................................................... 22 大邑中学 白京军......................................................................................................................... 22 大邑县职高 且玉香..................................................................................................................... 23 大邑县安仁中学 吴振宇............................................................................................................. 23 高埂中学 乔永泽....................................................................................................................... 23 广汉中学 方永明......................................................................................................................... 24 德阳什邡市七一中学 钟成建 ................................................................................................... 24 答案解析......................................................................................................................................... 24 附:2015 年成都市市级中小学骨干教师高中数学研修班成员名单 ........ 错误!未定义书签。

ii

成都市十七中学
【题目】 (12 分) 已知两直线 l1 : x cos ? ?

黄海涛

1 ?? ? y ? 1 ? 0;l2 : y ? x sin ? ? ? ? , ?ABC 中, 2 6? ?

内角 A, B, C 对边分别为 a,b,c, a ?2 3, c ? 4 ,且当? = A 时,两直线恰好相互垂直. (1)求 A 值; (2)求 b 和 ?ABC 的面积 . 【命题思路】 三角函数是高中所学的几类基本函数之一,它和向量、函数、不等式之间有 着密切联系,在现实生活中也有广泛的应用,所以一直是高考的热点问题。在高 考中,三角函数经常与向量、函数、不等式等知识联系起来命题,考试题型有选 择题、填空题和解答题。 纵观近几年的全国高考卷以及各个省份的高考卷,我们发现全国卷偏向于考 察解三角形的题型,而有些省份热衷于考察三角函数类的题型,如广东、重庆、 天津、 四川等。 不过, 各地的三角函数解答题的总体难度不大, 通常放在第一题, 属于容易得分题。 【命题意图】 考查两直线垂直与斜率的关系,考查诱导公式、同角三角函数关系式、两角的和 差的三角函数公式、 正弦定理、 余弦定理, 这些公式都是考纲中要求学生掌握的。 利用正、余弦求三角形的面积,角的度数或者相应的边,利用正、余弦定理判断 三角形的形状以及正、余弦定理的实际应用。

成都市田家炳中学
【题目】已知以下四个命题:

董发荣

①函数 y ? f ( x) 的最小值是 1,最大值是 2,则函数的值域是 ?1,2? . ②函数 y ?
1 在定义域上是单调递减的函数. x

③函数 y ? f ( x) 在区间 ?1,2? 上单调递减,则函数 y ? f ( x) 在区间 ?1,2? 上的图像连 续不断. ④函数 y ? f ( x) 在区间 ?1,2? 上单调递减,则函数 y ? 以上四个命题中假命题是 .(填上序号)
1 f ( x)

在区间 ?1,2? 上单调递增.

成都 46 中
1

蒋昌林

【题目 1】(文)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

2 离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴正半轴交于点 P , ?PF1 F2 的面积为 2 5 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点, O 为坐标原点,求
?AOB 的面积的最大值,并求出此时直线 l 的方程.

3 【题目 2】(理)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(1, ) , F1 (?1,0) 为其 2
左焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,设右焦点为 F2 ,求 ?MNF2 的内 切圆面积的最大值.

树德协进

陈凤乾

【题目】已知数列 ?an ?, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 , n 为一切正整数, (1)计算 a2 , a3 , a4 ,猜想 ?an ?的通项公式.(4 分) (2)证明数列 ?an ? 1?是等比数列,并证明你上面的猜想.( 4 分) (3)自拟一问并解答之,要求是在本题条件下且与前两问不雷同.(4 分) 【命题意图】 1.这是一道常规题, 包含了数列的基本知识基本方法更体现了数学的一些思维方 式. 2.(1)(2)问主要考查数列递推式、通项、数列求和、等基础知识.考查合情推理、 化归转化、特殊与一般的数学思想方法、及抽象概括能力、运算求解能力、 分析问题和解决问题的能力 3. (3)考查学生的数学素养,敢于创新的精神. 4.(1)利用数列递推式,代入计算可得结论; 并可归纳猜想 an 的表达式; (2)构造新数列化归为等比数列进而可求出通项, 从而达到证明自己的猜想的 数学表述. (3)问是开放性问题,考查学生的能力数学素养,无统一答案,但有多个正确 答法. 什么叫创新!!对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳 出一般结论的推理方法叫做归纳法 .归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法 .但
2

这里不要求用“数学归纳法”而是归纳的本质.

成都铁中

谭杨颖

【题目 1】相传我国汉代有一位大将,名叫韩信.他每次集合部队,都要求部下 报三次数,第一次按 1-3 报数,第二次按 1-5 报数,第三次按 1-7 报数,每次报 数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人,他 的这种巧妙算法,人们称为“鬼谷算”“隔墙算”“秦王暗点兵”等. 《孙子算法》中也有记载:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数 之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”它的意思是:有一些物品,如果三个 三个地数,最后剩 2 个;如果 5 个 5 个地数,最后剩三个,如果 7 个 7 个地数, 最后剩 2 个;求这些物品一共有多少个?这个问题人们通常把它叫做“孙子问 题”,西方数学家把它称为“中国剩余定理”.《孙子算经》中这个问题的算法 是: 70 ? 2 ? 21 ? 3 ? 15 ? 2 ? 233 233 ? 105 ? 105 ? 23 所以这些物品最少有 23 个. 请解决这个问题: “今有物,不知其数,三三数之,剩一,五五数之,剩二, 七七数之,剩三,问物几何?”请问是 个. 【题目 2】杭州是我国生产折扇最有名的地方,杭州折扇往往采用名贵材料做扇 骨.著名的黑纸扇、檀香扇、象牙扇,不但是中国扇子的佳品,在世界上也很有 名.观察这些美奂绝伦的折扇,你会发现一个奇特的现象:假设折扇是从一个面 积为 S 的圆面上剪下来的扇形,其面积为 S 1 ,剩下的面积为 S2 ,而 S 1 与 S2 的比 值恰为 0.618.请问制作师傅在制作扇面时, 扇子的圆心角为 确到 10 ? ). 【命题意图】1.考察弧度制下的面积公式; 2.考察弧度制与角度制的相互转化; 3.渗透数学美. 度. (精

成都二十中
x e

付江平

【题目】 a ? 1 ,函数 y ? a 与 e log a x 有 2 个不同交点,则 a 的取值范围

成都十八中
2 2

郑学平
y

【题目】如图 ,已知椭圆 C :

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率 2 b a

P

3
O M A N

x

Q

2 ,短轴右端点为 A , M (1, 0) 为线段 OA 的中点. 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 N ,使得 ?PNM ? ?QNM ,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由. e?

西南交大附中

谢天荣

【题目】已知函数 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时,

f ? x ? ? x2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ? x ? 的图像在 ?0, 2? 内恰有 1 个不同
)

的公共点,则实数 a 的取值范围是(
1? ? ? ?2, ? ? 4? ? 1? ? ? ?1, ? ? 4? ?

A

B

??2,0?
1? ? ?2, ? ? ? 4? ?

C

D

【命题意图】考查函数的性质(周期函数、偶函数),直线与函数图像的交点. 【答案】D

成都华西中学

李勇刚

【题目】已知正三棱锥 P-ABC 内接于半径为 3的球 O,若 PA,PB,PC 两两相互 垂直,则球心 O 到截面 ABC 的距离为________. 【命题思路】三条侧棱两两互相垂直,或一侧棱垂直于底面,底面为正方形或长 方形,则此几何体可补形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求. 【命题意图】知识考查:考查对空间几何体直观图的理解与应用. 能力考查:考查学生空间想象力,灵活处理能力,运算求解能力.

4

玉林中学

彭晓夏

【题目】已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? mx? m( x ? R) 同时满足:(1)不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.设数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? f (n), bn ? 1 ?

8?m ,我们把所有 an

满足 bi bi ?1 ? 0 的正整数 i 的个数叫做数列 ?bn ?的异号数. 根据以上信息, 给出下列 五个命题: ① m ? 0; ②m ? 4 ; ③数列 ?an ?的通项公式为 an ? 2n ? 5 ; ④数列 ?bn ?的异号数为 2; ⑤数列 ?bn ?的异号数为 3. 其中正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)

【命题思路】命题的真假判断与应用.计算题;压轴题;函数的性质及应用. 【命题意图】本题考查二次函数图象和性质,数列通项公式求解,解不等式.考 查阅读理解、计算等能力. 【分析过程】不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素得出 ? ? (?m)2 ? 4m ? 0 解 得 m ? 0或m ? 4 . 结合在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 , 使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 排除 m ? 0 .利用数列中 an 与 Sn 关系求出 an ,判断出③的正误.继而根据 an , 求出 bn ,通过解不等式 bi bi ?1 ? 0 得出 i 的取值.

华川中学

李建军

【题目】用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽
5

之比为 2 : 1 ,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大 ?最大体积是 _________. 【命题意图】 本题改编自选修 2-2 第三十七页习题 1.4A 组第 1 题.1.考察数学建 模思想;2.考察用函数与导数的知识.

成都经开区实验高级中学
? ? ? 2 cos(? ? ) .
3

邓成兵

? 【题目】已知直线 l 是过点 p(?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3) 的直线,圆方程

(1)求直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆相交于 M , N 两点,求 PM ? PN 的值. 【命题意图】依据全国高考考试说明,考查学生能选择适当的参数写出直线、圆 和椭圆的参数方程; 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的 位置, 能进行极坐标和直角坐标的互化.第一小题考查直线 l 的参数方程.第二问 考查圆的极坐标方程转化为普通方程 .以及运用直线的参数法求解距离问题 .通 过极坐标方程与直角坐标方程之间的化归与转化思想, 求曲线的交点考查运算求 解能力.试题难度适中. 【命题思路】将曲线的极坐标方程转化为普通方程,利用参数法求交点的距离.

大弯中学

包清

2 【题目 1】 已知点 C为 y 的准线与 x 轴的交点,点 F为焦点, 点 A, B ? 2 px ( p ? 0 )

为 抛 物 线 上 两 个 点 , 若 FA , 则 向 量 FA 与 FB 的 夹 角 ? FB ? 2 FC ? 0 为 .学科网

【命题意图】本题主要考查平面向量的加减法运算,平面向量的夹角,平面几何 知识和抛物线的基本知识的综合应用, 考查学生的基本逻辑思维能力, 分析问题, 解决问题的能力. 【命题思路】 平面向量作为高中数学的一条重要线索, 常与其他知识综合, 交汇, 在解析几何中的应用也更是如此.

6

【题目 2】已知矩形 ABCD , AB ? 1, CD ? 2 ,将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所 在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列说法正确的是________.(填序号) ①存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直; ②存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直; ③存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直; ④对任意位置,三对直线“ AC与BD ”,“ AB与CD ”,“ AD与BC ”均不垂 直. 【命题思路】 学生在学习立体几何的过程中的静态的图像与关系学的多,而动态 的想象不足,所在我们的几何直观应该加强. 【命题意图】学生的直线与平面,直线与直线的垂直转换.

【题目 3】找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.

成都市川化中学

汪树林

【题目】正四面体 ABCD ,线段 AB // 平面 ? ,E , F 分别是线段 AD和BC 的中点, 当正四面体绕以 AB 为轴旋转时, 则线段 AB 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角余弦 值的范围是( ) A. [0,
2 ] 2

B.[

2 ,1] 2
7

C.[

1 ,1] 2

D.[

1 2 , ] 2 2

【命题思路】 以一条线段在绕一条轴旋转形成一个圆柱形,但何时在一个平面里 的射影最小,需要学生能力转化,从两种极端情况入手即可. 【命题意图】 立体几何是培养学生的空间想象能力, 和转化能力, 逻辑推理能力. 而空间中几何体的旋转或折叠问题是最好的载体.

金堂实验中学

杨 健

【题目】设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 3 ? 4n?1 . (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 令 bn ? (n ? 1)an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn .. 【命题意图】依据全国高考考试说明,考查学生对数列递推公式概念的理解、应 用.第一小题考查利用累加法求通项公式 .第二问考查学生对课本所蕴含的错位 相差法求和的数学思想的理解和应用.该题常规、基础,易入手和得高分.

双流县华阳中学

王代全

?3x ? 4 y ? 10 ? 0 ? 【题目】已知不等式组 ? x ? 4 表示区域 D ,过区域 D 中任意一点 P 作 ?y ? 3 ?
圆 x2 ? y 2 ? 1 的两条切线且切点分别为 A , B ,当 ?APB 最大时, c o s ? P A B ? ( A.
3 2

) B.
1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

【命题思路】 题目归属于线性规划问题, 涉及知识点有线性规划, 图的线性性质, 点线距离公式及二倍角公式. 【命题意图】考察线性规划的应用,检查学生综合分析问题、解决问题的能力及 数形结合数学思想的使用,体现在知识的交汇点命题的方向.
8

温江中学
【题目 1】已知函数 f ( x) ?
2

金忠

ln x ? ax ( a 是常数)在 x ? 1 处切线的斜率等于 1. x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间并比较 f (2), f (3), f (4) 的大小; (Ⅱ)若方程 ln x ? x3 ? 2ex 2 ? mx ( e 为自然对数的底数)有且只有一个实根, 求实数 m 的取值; (Ⅲ)如果方程 g ( x) ? ln x ? kx 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,求证 x1 ? x2 ? e2 .

【命题思路】 函数与导数压轴题在每年的高考中属于必考内容,其命题方向主要 有两个:一是围绕函数的性质展开,主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、最 值、曲线的切线问题;二是围绕函数与方程、不等式展开.近几年涉及函数的零 点、不等式的证明、不等式恒成立的问题居多.此类问题对学生的思维能力、逻 辑推理能力、计算能力、解题速度解等方面的素养要求极高. 【命题意图】本题考查导数在函数的单调性、切线问题、函数的零点与函数的最 值、在构造的基础上用导数法证明不等式等方面的应用,突出对学生的阅读理解 能力、分析问题、转化问题的能力以及思维能力等数学素养的特别要求.第(1) 问比较大小要充分利用所获取的单调性;第(2)若直接用作差,求差函数的导 数,会无法深入下去,惟有联系前一问,将式子变形为
ln x ? x 2 ? ex ? m ,然后 x

分别讨论等式两边函数的最值才好解决.第(3)问的关口较多,如消参数 k ,二 元式子的处理等等,对学生的数学素养要求较高.难度估计值:0.40. 变式:求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 2ax ? 1 .

郫县四中

夏智勇
4sn ?1 ,

【题目】设 S n 是数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? ?1, an ?1 ? ?

sn

2



Sn ? __________________.
9

【设计意图】此题改编自 2015 年四川卷高考题,主要考察学生对前 n 项和与第 n 项的关系,通常习惯由前 n 项和转化为第 n 项,今天考察逆向思维,同时也 涉及等比数列的定义,也考察学生分析问题的能力.

新都升庵中学

李业洪


x2 y2 3 ? 1 的离心率为 【题目 1】已知椭圆 ? ,则 m 的值是 4 m 2

?? ? 1 ?? ? 【题目 2】 已知向量 m ? ( 3 cos x, cos x) ,n ? (sin x, cos x) , 函数 f ( x) ? m ? n ? . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , a ? 2 , b ? 1 , 且 f(
B?C 3 )? ,求 c . 2 2

香城中学

汤志勇

【题目】如图:边长为 4 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将三角形 AED ,三角形 DCF 分 别沿 DE , DF 折起,使 A, C 两点重合于点 P .求证: PD ? EF .
1 BC 时,求点 P 到面 EFD 的距离 4 (3) 求四棱锥 P ? BEFD 的体积.

(2) 当 BE ? BF ?

P

A
E D

B

E D F C

F B

10

【命题意图】本题是教材必修(2)79 页 B 组第一题改编,考查空间垂直的关系, 点到面的距离以及求椎体的体积. 【命题思路】 试题解决本题的关键是要明确折叠后的几何图形的特点,在翻折的 过程中,直角不变,线段长度不变,从而得出满足条件的线面垂直从而得出相应 的线线垂直,求椎体的体积时,注意底面是什么形状,面积怎么求,高线应该是 哪段,想清后应该很简单.

彭州中学

范辂

【题目】(竞赛题改编)如图,在 ?ABC 中各顶点坐标分别为
B(?a,0), C (a,0), A(0, b), E(e,0) 是边 BC 上一点, D, F 分别是边 AB, AC 上的点,且

直线 ED, EF 的斜率相等.取 BC 的中点 M , AE 的中点 L ,在 LM 上取点 N ,若

DN ? ? NF ,则 ? =

.

y
A

L D B N E M

F

C

x

【命题意图】 考查用解析法解决平面几何问题的基本思想,将抽象的几何问题转 化为程序化的代数运算. 【考点内容】直线的方程、两直线的交点坐标、向量共线的充要条件.

四川省新津中学

杨学忠

【题目】已知函数 f ( x) ? x 2 ? 8 ln x, g ( x) ? ? x 2 ? 14x. (1)求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值. 【命题思路】 导数是高考重点考察内容, 切线、 单调性, 数形结合研究根的个数.

11

新津华润高中

龚华鸥

【题目】(12 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ln x ,(其中 a, b, c 为实常数) (1)当 b ? 0, c ? 1时,讨论 f ( x) 的单调区间; (2)曲线 y ? f ( x) (其中 a ? 0 )在点 (1,f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 3 , (ⅰ)若函数 f ( x) 无极值点且 f ' ( x) 存在零点,求 a, b, c 的值;

3 (ⅱ)若函数 f ( x) 有两个极值点,证明 f ( x) 的极小值小于 - . 4

蒲江中学
【题目】已知函数 y =
k 的取值范围是

高国济

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 x ?1

.

答案: (0,1) ? (1,4) 【命题意图】 本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数 的交点,从而确定参数的取值范围.
4 2

D O

C
10 5

5

10

B
4

2

A

6

大邑中学

刘志和

8

10

【题目】已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? 2 且
12

a ? 2 cos C ? c sin B ,则 ?ABC 的面积的最大值为

.

【命题意图】考查三角形中正弦定理、余弦定理及内角和定理的应用;三角变换 中,常数的处理(本题中“2”);两角和的正弦公式,不等式中的基本不等式 的简单应用。

北师大成都实验中学
12

敖德兵

【题目 1】圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1) 2=9 的位置关系为( A.内切 C.外切 【答案】B 【题目 2】 B.相交 D.相离

)

已知圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0,

试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系. 命题说明:参考课本 129 页例题 3

十二中

周成会

【题目】(本小题共 14 分)已知函数 f ( x) ? e x 错误!未找到引用源。( e 为自 然对数的底), g ( x) ? ln( f ( x) ? a) 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用 源。为常数), g ( x) 错误!未找到引用源。是实数集 R 上的奇函数. (1)求证: f ( x) ? x ? 1( x ? R) ; (2)讨论关于 x 的方程: ln g ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2ex ? m)(m ? R) 错误!未找到引用 源。错误!未找到引用源。的根的个数. 【命题意图】利用导数证明不等式;2.利用导数求函数的最值及综合应用. 【试题分析】(1)利用导数证明不等式,可先将不等式整理,转化为证明

f ?x ? ? x ? 1 ? 0 恒成立,所以设函数 F ?x ? ? e x ? x ? 1 ,利用导数求其最小值,证
明最小值大于等于 0;(2)因为奇函数所以 a ? 0 ,那么 g ?x ? ? x ,然后代入方
ln x ln x ? x 2 ? 2ex ? m , 分别求函数 的最大值, 和函数 x 2 ? 2ex ? m 的 x x 最小值,然后进行比较, 得到实根的个数.

程, 整理为

高埂中学

张文峰

【题目】已知函数 f ( x) ? a ? 2 x ? b ? 3x ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0 . (1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义,通过导数求函数的最大值,判断函
13

数的单调法,在判断单调性和求函数的最大值时一定要注意函数的定义域.

14

成都市十七中

周珊

【题目】(12 分)四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,且 1 PA ? AB ? AD ? CD , AB // CD , ?ADC ? 90? . 2 (1) 在侧棱 PC 上是否存在一点 Q ,使 BQ // 平面 PAD ?证明你的结论; (2) 求证:平面 PBC ? 平面 PCD .

【命题思路】重视数学概念、性质、法则的考查,数学的本质是对数量关系和空 间位置关系的反映,而这些关系又是通过数学的概念、性质和法则来体现的;学 生学习数学、形成数学能力,也是通过对数学概念、性质和法则的理解、掌握、 应用来实现的。可以说,没有数学的概念、性质和法则,就没有数学。因此,对 数学的考试,就离不开对数学的概念、性质和法则的检测。 【命题意图】 (1)能从题目的条件中提取有用的信息;从题目的问题中确定需要的信息。 (2)能在记忆系统储存的数学信息中提取有关的信息,作为解决本题的依据, 从而推动(1)中信息的延伸。 (3)将(1)(2)中获得的信息联系起来,进行加工、组合——即通过分析和 综合,一方面从已知到未知,另一方面从未知到已知,寻找已知和未知之间的联 系,在两者之间架起一座“桥梁”,从而实现问题的解决。 (4) 将 (3) 中的思维过程整理和表述出来, 形成一个从条件到结论的行动序列.

成都市十九中(田家炳)

谢玉平

【题目】三棱锥 P ? ABC 中,顶点 P 和它在底面 ?ABC 上的投影间的距离为 3, 底面 ?ABC 满足 AB ? AC ? 6 3 ,?BAC ? 30? ,设 M 是三棱锥 P ? ABC 内的一点 ( 不 在 边 界 上 ) , 定 义 f ( M ) ? ( x, y, z, t ) , 其 中 x, y, z, t 分 别 表 示 三 棱 锥
M ? ABC, M ? PAB, M ? PAC, M ? PBC 的 体 积 , 若 f ( M ) ? ( x, y, 2 ,2) , 则
3

1 4 l o 3g ( ? ) 的最小值为 x y

.

15

成都市 37 中

屈直桂

【题目】在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A
B C 的面积为 (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ) 若 c ? 7 , c 2 ? a 2 ? b2 , 且 ?A

3 3 2

,

求 a ? b 的值. 【命题思路】由于有三角形这个前提条件,边与边、边与角、角与角之间就有了 很丰富的内容,也因为三角形这个前提条件,也给做题者埋下了一些陷阱,因此 三角形中的三角函数问题就成为了高考的热点问题.

成都市二十中

韦锡铭

? 3? 【题目】已知 A(3,0), B(0,3), C (cos ? , sin ? ), ? ? ( , ) . 2 2
(1) 若 AC ? BC ,求 ? 的值 (2) 若 AC ? BC ? ?1, 求
2 sin ? ? sin 2? 值. 1 ? tan ?

【命题依据】本题主要考查向量的运算、三角函数的化简,以用向量与三角函数 和知识交叉, 这是一个基础题,主要放在高考的的第十七、或十八题的位置.)

成都市通锦中学
【题目】 (文科) 已知函数 f ( x) ?

牟明斌

x , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f (an ) ? n ? N ? ? . 3x ? 1

?1? (1)求证:数列 ? ? 是等差数列; ? an ?
(2)记 Sn ? a1a2 ? a2a3 ???? ? an an?1 , 求Sn . 【命题思路】本题简单综合函数与数列内容,等差数列,数列求通项,数列求和 等内容。 【命题意图】 首先通过简单函数代入得到数列的递推关系。考察了等差数列的证 明, 并通过第一问的证明有效的搭好台阶降低难度,为第二问的解决数列裂项求 和做好了铺垫。是一个思维和运算难度适中的文科数学问题。
16

成都七中

徐海

?a ln( x ? 1), x ? 0 ? 【题目】函数 f ( x) ? ? 1 3 , g ( x) ? e x ?1 . x ? ax, x ? 0 ? ?3
(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? R 时,讨论方程 f ( x) ? g( x) 解得个数;

【命题意图】知识:导数,导数单调性,极值,方程有解问题处理; 能力: 考查函数方程思想、 转化与化规能思想, 综合解决问题能力。 难度较大。

成都经济技术开发区实验高级中学(原航天中学)张 弩
【题目】已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3x(a ? R, a ? 0) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 在区间 (1, 2) 上是增函数,求 a 的取值范围; (3)若函数 f ( x) 有极大值点 x0 ,且 x0 ? (1, 2) ,求 a 的取值范围. 【命题意图】考察用导数研究函数的单调性、极值.考察分类讨论,等价转换, 数形结合的数学思想.

龙泉一中
【题目】已知函数 f ( x) ? a ?
x

王朝伦

4 , ( a ? 0) , a ?1

(1) 试求函数 f ( x) 的单调性; (2) 若 f ( x) ? a x ,对 x ? R 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 【命题思路】将教材(人教 A 版必修 1 P83 第 3 题)改编;将原命题的常数替换 成参数 a ,并改写设问条件,使命题增加难度,考查的知识和技能要求更高 .更 具有综合性和思想性。 【命题意图】主要考查函数的基本性质,导数的应用,分数讨论和划归的数学思 想;设置两个问题,使命题具有一定的梯度,以达到考题的目的。

17

四川省金堂中学校

杨 聪

【题目】对任意平面向量 MN ? ,有如下定义:把 MN 绕其起点沿逆时针 (x,y)
(x cos ? ? y sin ?,x sin ? ? y cos ?) 方向旋转 ? 角得到向量 MN ' ? ,叫做把点 N 绕点

M 逆时针方向旋转 ? 角得到点 N ' . 已知点 P 绕点 O 逆时针方向旋转 ?、?1 角分别
1) , 得到点 Q、C ,其中 ? ? ?1 ? 0 , 已知 OD ? ? OQ , 其中 ? ? (0, 又 A、B 是线段 OP

1) ,若 ? ? 上的两点, AD ? AB ? 0 ,且 DC ? AB ? ? OP ,其中 ? ? (0,

?
3

, OP ? 1 ,

则四边形 ABCD 面积最大时, ? ? ? 的值为( A.
2 6 3

) D.
2 3 3

B.

2 3

C. 1

? 设计说明关键字 三角函数建模 ? 解析要点关键图 源于教材、高于教材 向量语言、工具

成都双流华阳中学
【题目】下列结论正确的有___________. ①已知 2 x ? 3 y ? 1 ,则 xy 的最大值为
1 ; 24

刘文清

1 1 ②已知 x ? y ? 1 ,则 ? 的最小值为 4; x y

③已知 t ? R ,则 t 2 ? 4 ?

1 t ?4
2

的最小值为 2;

18

④已知 x, y ? (0, ??) 且 2 x ? 3 y ? xy ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 5 ? 2 6 ; ⑤已知 x, y ? (0, ??) 且 2 x ? 3 y ? xy ? 0 ,则 xy 的最小值为 2 6 .

双流中学

邱建清

【题目】正四面体(即各条棱长均相等的三棱锥)的棱长为 6,某学生画出该正 四面体的三视图如图, 其中有一个视图是错误的,则该视图修改正确后对应图形 的面积为_______,该正四面体的体积为 .

【命题意图】 本题考查解三视图,属于中档题.

华阳职中

阚能昌

【题目】在数列 ?an ?中, Sn 为其前 n 项和, a2 ? 4 , S4 ? a1 ? 21 . (1)求 a1 和 d . (2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)如果 a2 , a5 ? k , a8 ? k 成等比数列,求 k 的值

郫县一中

杨吉平

【题目】给定抛物线 y 2 ? x ,过点 B(2,4) 能否作直线 l ,使 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 两点 Q1、Q2 ,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;
19

如果不存在,说明理由. 【命题意图】在抛物线中,直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点,也是高考 热点.其解法多种多样,点差法是简捷而巧妙的解题方法之一.

新都一中

肖宏

【题目 1】(理科)十字路口的信号灯计时器是由 7 根发光灯管构成(如图),每根 灯管的功率为 50 瓦,为节约能源,交管部门决定将其更换为节能发光管,每根 灯管的功率仅为 10 瓦,如果一天内这个计时器都是从 9 秒倒计时到 0 秒,并循 环往复, 那么, 经过更换, 这个计时器每天(24 小时)可以节约的电量约为( )

A.4.3 千 瓦 时 D.5.0 千瓦时
【答案】C

B.4.5 千 瓦 时

C.4.7 千 瓦 时

【命题意图】本题考查随机变量的期望,以及数学知识和方法的实际应用

【题目 2】(文科) 十字路口的信号灯计时器是由 7 根发光灯管构成(如图),且 这个计时器都是从 9 秒倒计时到 0 秒,并循环往复.如果显示的数字需要点亮的 灯管不少于 5 根,就称之为“高亮状态”,那么这个计时器工作时处于“高亮状 态”的概率为( )

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

【命题意图】本题考查古典概型,以及现实生活中的数学问题

新都区第二中学

周成勇

【题目】 已知数列 {an } 满足:a1 ? 10, a2 ? 2 ,an?2 ? (2 ? cosn? )(an ? 1) ? 3 ,n ? N ? , 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S7 ? 【命题意图】 n 取奇数和偶数,考查分类讨论的思想;对递推关系的化简和再认
20

识,转化成等差或等比数列,考查转化和化归的思想;奇数项成等差数列,偶数 项成等比数列,考查分段数列;可逐项求和,可分组求和,考查数列的求和.

新都区升庵中学

黄贵宾

【题目 1】已知 ?an ? 是等差数列,前 n 项和是 S n ,且 a2 ? a7 ? 9 , S 6 ? 7a3 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 b n = an ·2n,求数列 ?bn ?的前 n 项和 T n (12 分) 【命题意图】这是一道考查数列基础知识试题,主要考查等差数列通项公式,错 位相减法求和,而这两个考点是考的热点. 【命题分析】(1)等差数列的求解方法为待定系数法,利用已知两个条件,列

出关于首项及公差的方程组

2a1 ? 7d ? 9 ? ? ?6a1 ? 15d ? 7a1 ? 14d

?a1 ? 1 ? ,解出 ? d ? 1 ,从而可得数列

?an ? 的通项公式 an ? n ;(2)数列求和,要先分析通项特征,本题是等差乘等
1 2 n 比 型 , 因 此 应 用 错 位 相 减 法 求 和 . 设 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? n ? 2 , 则

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? n ? 2n?1 ,错位相减得 ? Tn ? 21 ? 22 ? ?? ? 2n ? n ? 2n?1 ,
再利用等比数列求和公式化简得 Tn ? -

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 1? 2

【题目 2】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 2an ? 2 , 数列 ?bn ? (n ? 1, 2,3 ???) ; 中, b1 ? 1, 点 P(bn , bn?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
1 1 1 ? b ? 1? (2)设数列 ? n ? 的前 n 和为 S n ,求 ? ? ? ? ;(12 分) S1 S2 Sn ? 2 ?

【命题意图】 这试题主要考查: 1 求数列的通向公式; 2 数列求和 (裂项相消法) . 这也是高考的热点,此题与前一个题是姊妹题。

?S (n ? 1) 【命题分析】(1)求数列 ?an ? 的通项公式用公式法即 an ? ? 1 可推 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
导数列 ?an ? 为等比数列,根据等比数列通项公式可求 an .求 ?bn ? 的通项公式也用 公式法,根据已知条件可知数列 ?bn ? 为等差数列,根据等差数列的通项公式可直
21

接求得 bn .(2)用列项相消法求和.

邛崃一中
【题目】 已知椭圆 E :

叶世春

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过其右焦点 F2 作与 x 2 a b 2

轴垂直的直线 l 与该椭圆交于 A, B 两点,与抛物线 y 2 ? 4x 交于 C , D 两点,且
AB ? 2 CD . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过点 M (2,0) 的直线与椭圆 E 相交于 G , H 两点,设 P 为椭圆 E 上一点, 且满足 OG ? OH ? tOP(t ? 0, O 为坐标原点),当 OG ? OH ? 取值范围. 【命题思路】解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑: (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值 范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个 参数之间的等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域, 从而确定参数的取值范围.
8 11 时,求实数 t 的 3

高埂中学
f (0) ? 1, f (1) ? 0 .

梁军

【题目】已知函数 f ( x) ? (ax2 ? bx ? c)e x 在 [0,1] 上单调递减且满足

(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ' ( x) ,求 g ( x) 在 [0,1] 上的最大值和最小值. 【命题意图】本题考查导数运算,二次函数、恒成立问题、导数应用等,考查分 类讨论数学思想,体现导数的工具作用.第(1)问中不要漏掉 a ? 0, a ? 1 .第(2) 问分类的依据是判定 g ( x) 在 [0,1] 上的单调性.
22

新津华润高级中学

蒋 君

【题目】(12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取 值范围. 【命题意图】考查学生的运算能力,以及利用导数求极值的基本应用,突出数学 思想在解决导数综合问题作用.

都江堰外国语学校
2

白东宁

【题目】已知圆 C:x 2 ? ? y ? 2? ? 4 , M ?x0 , y0 ? 为抛物线 x 2 ? 4 y 上的动点. (Ⅰ) 若 x0 ? 4 ,求过点 M 的圆的切线方程; (Ⅱ) 若 x0 ? 4 , 求过点 M 的圆的两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小 值.

y
M

C

x
A O B

大邑中学

白京军

【题目】 用不垂直于圆柱母线的平面截圆柱,截面是椭圆,将圆柱表面沿母线展开 后,椭圆展成了一条正(余)弦曲线,某厂要将钢管斜截开,焊接成夹角为 T ? (0 ? ? ? ? ) 的转向管道,设正弦曲线的周期为 T ,振幅为 A ,则 = . A

23

大邑县职高
【题目 1】(10 分)在数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,

且玉香
an ?1 1 ? an ?1 . ? an 1 ? an

?1? (1)证明数列 ? ? 成等差数列; ? an ? ?1? (2)求数列 ? ? 的通项公式; ? an ?
(3)求数列 ?an ? 的通项公式. 【题目 2】已知直线 l : 2 x ? y ? m ? 0 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点. (1)求 m 的值,并写出直线 l 的方程; (2)判断抛物线与直线 l 是否有交点,如果有,求出交点坐标.

大邑县安仁中学

吴振宇

【题目】 (12 分)已知在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边的长 a, b, c 成等比数列, 函数 f ( x) ? sin x cos( x ?

?
3

),

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( B ) 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查三角公式,周期,最值,等比数列等知识,还考查了 计算变形能力和综合运用知识的能力 .知识依托:熟知三角函数公式以及三角 函数的性质、数列等知识.

高埂中学
24

乔永泽

【题目】 设函数 f ( x) ? axn (1 ? x) ? b( x ? 0), n 为正整数,a , b 为常数. 函数 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 . (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值; (3)证明: f ( x ) ?
1 . ne

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义,通过导数求函数的最大值,判断函 数的单调法,在判断单调性和求函数的最大值时一定要注意函数的定义域. 【命题思路】(1)根据导数的几何意义及点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 1 上可求得 a , b . (2)通过求导判定 f ( x) 的单调性求其最大值. (3)借用第(2)问的结论 f ( x) 的最大值小于
1 ,构造新的函数关系. ne

广汉中学

方永明

【题目】已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、 13 后成为等比数列 {bn } 的 b3 、 b4 、 b5 . (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 {Sn ? } 是等比数列. 【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式、求和公式,同时 考察学生基本的运算能力,属于中档题.
5 4

德阳什邡市七一中学

钟成建

【题目】已知函数 f ( x) ? x(e x ? e ? x ) ? (2x ? 1)(e 2 x?1 ? e1?2 x ) ,则满足 f ( x) ? 0 的实 数 x 的取值范围为 【命题意图】 函数奇偶性、 函数单调性的判定, 奇偶函数的性质; 求函数的导数; 解不等式.

答案解析
25

成都市十七中学
【解答过程】(1)当 ? ? A 时,直线 l1 : x cos ? ?

黄海涛
1 ? y ? 1 ? 0; l2 : y ? x sin(? ? ) 的斜 2 6

? 率分别为 k1 ? ?2 cos A, k2 ? sin( A ? ) ,两直线相互垂直 6 ? 1 ? 所以 k1k2 ? (?2 cos A) sin( A ? ) ? ?1 即 cos A sin( A ? ) ? 6 2 6 ? ? 1 可得 cos A(sin A cos ? cos A sin ) ? 6 6 2
所以

3 1 1 3 1 1 ? cos 2 A 1 sin A cos A ? cos 2 A ? ,所以 sin 2 A ? ( )? 2 2 2 4 2 2 2



3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ?1 2 2

? 1 即 sin(2 A ? ) ? ????????????4 分 6 2 ? ? 13? 因为 0 ? A ? ? , 0 ? 2 A ? 2? ,所以 ? 2 A ? ? 6 6 6 ? 5? 所以只有 2 A ? ? 6 6
所以 A ?

?

3

????????????6 分

(2) a ? 2 3, c ? 4, A ?

?
3

,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

1 即 12 ? b 2 ? 16 ? ? 8b ,所以 (b ? 2)2 ? 0 2 即 b ? 2 ????????????9 分 1 1 ? 所以 ?ABC 的面积为 S?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? 2sin ? 2 3 2 2 3

???? 12 分.

成都 46 中

蒋昌林

c 2 ? ?e ? ? a 3. 【解答过程】1.解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c ,则由题意可知 ? ?bc ? 2 5 ?
又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以解得 a ? 3 , b ? 5 , c ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为
x2 y 2 ? ?1. 9 5

(Ⅱ)由题意可知直线 l 的斜率不能为 0 ,右焦点 F2 的坐标为 (2, 0) .
26

设直线 l 的方程为 x ? 2 ? my ,将其代入椭圆 C 的方程并整理得: (5m2 ? 9) y 2 ? 20my ? 25 ? 0 . 20m 25 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 . 5m ? 9 5m ? 9 ∴ y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 所以 S ?AOB ?

30 m 2 ? 1 . 5m 2 ? 9

1 30 m 2 ? 1 ? OF ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 5m 2 ? 9

30 5 m ?1 ?
2

4 m2 ? 1

.

4 令 t ? m2 ?1 ,则 t ? 1 ,令 f (t ) ? 5t ? . t

则 f ?(t ) ? 5 ?

4 5t 2 ? 4 ? ,所以当 t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 . t2 t2

∴ f (t ) 在 [1, ??) 上为增函数,故 f (t ) ? f (1) ? 9 ,即 5 m2 ? 1 ? 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 0 时,取“ ? ”.∴ 0 ? S ?AOB ? ∴ ?AOB 的面积的最大值为
10 . 3

4 m2 ? 1

? 9.

10 ,此时直线 l 的方程为 x ? 2 . 3

c ? 1 ,∴ b ? 3 . 2.解:(Ⅰ)由已知得: 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 4 ? a ? 2 .又

x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆 C 的标准方程为 4 3

(Ⅱ)∵ S ?MNF2 ?

1 ? 4a ? r内切圆 . 2

∴要求 ?MNF2 的内切圆面积的最大值,则只需求出 S ?MNF2 的最大值. 讨论:①当直线 l ? x 轴时,易求得 S ?MNF2 ? 又∵ S ?MNF2 ?
1 ? 4a ? r内切圆 2 1 MN ? F1 F2 ? 3 . 2 9? 3 ? 3 ,∴得 r内切圆 ? ,即 S内切圆 ? . 4 16

②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l :y ? k ( x ? 1) .M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y 2 ) .
? y ? k ( x ? 1) ? ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . 联立 ? x 2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?4

27



? 8k 2 x ? x2 ? ? ? ? 1 3 ? 4k 2 ? 2 ? x1 x2 ? 4k ? 12 ? 3 ? 4k 2 ?
12 ? 12k 2 . 3 ? 4k 2

.



MN ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

又点 F2 到直线 l 的距离 d ? ∴
S ?MNF2 ?

2k 1? k 2

.

1 12 1 ? k 2 ? k 2 16 k 4 ? 16 k 2 8k 2 ? 9 ? MN ? d ? ? 3 ? 3 1 ? ? 3. 2 3 ? 4k 2 (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2

综上, S ?MNF2 的最大值为 3 .所以 ?MNF2 的内切圆面积的最大值为

9? . 16

成都铁中

谭杨颖

【题目 1】(答案:52) 【题目 2】【试题解析】设圆的半径为 r ,扇形的圆心角为 ? ,则由已知得: 1 2 r? S1 2 ? ? 0.618 S 2 1 r 2 ?2? ? ? ? 2 解得 ? ? 0.764? ? 140? 课本必修四 P10.

成都十八中

郑学平
y P x O M A N

Q

【解析过程】解:(1)由已知, b ? 2 ,又 e ?

a2 ? 4 2 2 ? , 即 ,解得 a ? 2 2 , a 2 2

x2 y 2 ?1 所以椭圆方程为 ? 4 8 (2)假设存在点 N ( x0 , 0) 满足题设条件. 当 PQ ⊥ x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有 ?PNM ? ?QNM ,即 x0 ? R ;
28

当 PQ 与 x 轴不垂直时,设 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程化简得: (k 2 ? 2) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 . 2k 2 k2 ?8 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 2 ? k2 2 ? k2 y1 y2 k PN ? kQN ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) 2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ∵ ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ? 2 x1 x2 ? (1 ? x0 )( x1 ? x2 ) ? 2 x0 ? ? ? 2 x0 . 2 ? k2 2 ? k2 2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 若 ?PNM ? ?QNM , 则 k PN ? kQN ? 0 , 即 k[ ? ? 2 x0 ] ? 0 , 2 ? k2 2 ? k2 整理得 k ( x0 ? 4) ? 0 ,∵ k ? R ,∴ x0 ? 4 . 综上在 x 轴上存在定点 N (4, 0) ,使得 ?PNM ? ?QNM

西南交大附中
【答案】D

谢天荣 李勇刚

成都华西中学

【命题解析】 由于正三棱锥的侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,故以 PA,PB,PC 为棱补成 正方体如图,可知球心 O 为体对角线 PD 的中点,且 PO= 3,又 P 到平面 ABC 1 3 1 1 的距离为 h,则3× 4 ×(2 2)2· h=3×2×2×2×2. 2 3 ∴h= 3 . 2 3 3 ∴球心到截面距离为 3- 3 = 3 .
[答案]

3 3

玉林中学
【解答过程】

彭小夏

解:若不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,根据二次函数

的性质,应有 ? ? (?m)2 ? 4m ? 0 解得 m ? 0或m ? 4 .

29

当 m ? 0 时, f ( x) ? x 2 在 (0,??) 上是增函数,不满足(2),故①错误 当 m ? 4 时, f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ,取 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,使得不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 m ? 4 ,故②正确.
由上 Sn ? f (n) ? (n ? 2)2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1, 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2)2 ? (n ? 3)2 ? 2n ? 5 .∴ an ? 2n ? 5 .故③错误 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ? 4 ? 0 , 而 b2 ? 1 ? (?4) ? 5 ? 0 , b1b2 ? 0 ,所以 i 可以为 1.
n ? 2 时, bn bn ?1 ? (1 ?

4 4 )(1 ? ) ? 0. 2n ? 5 2n ? 3

解得 n ? 2,4 .即 i ? 2,4 即数列 ?bn ?的异号数为 3.故④错误,⑤正确.故答案为:②⑤

华川中学

李建军
3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

【试题解析】解:设长方体的宽为 xm ,则长为 2 xm ,高
h? 18 ? 12 x ? 4.5 ? 3 x(m) 4

3 故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3 x) ? 9 x 2 ? 6 x 3 (m 3 )(0<x< ). 2 2 从而 V ?( x) ? 18 x ? 18 x ? 18 x(1 ? x). 令 V?(x) ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 . 3 当 0 ? x ? 1 时, V?(x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, V?(x) ? 0 , 2 故在 x ? 1 处 V ( x) 取得极大值,并且这 个极大值就是 V?(x) ? 0 的最大值. 从而最大体积 V ? 3(m3 ) ,此时长方体的长为 2 m ,高为 1.5m . 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 2 m ,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积 为 3m3 .

成都经开区实验高级中学

邓成兵
2π . 3

【解析过程】解 (1)∵n=(-1, 3),∴直线的倾斜角α =

30

2π ? ?x=-1+tcos 3 , ∴直线的参数方程 为? 2π y=2+tsin ? 3 ? 1 ? x=-1- t, ? 2 即? 3 y=2+ t ? 2 ?

(t 为参数),

(t 为参数).

?1 ? 3 (2)∵ρ =2? cosθ - sinθ ?=cosθ - 3sinθ , 2 ?2 ? ∴ρ 2=ρ cosθ - 3ρ sinθ . ∴x2+y2-x+ 3y=0,将直线的参数方程代入得 t2+(3+2 3)t+6+2 3 =0. ∴|t1t2|=6+2 3,即|PM|·|PN|=6+2 3.

大弯中学

包清

【试题解析】1.∵ FA ,∴ FA ,∵点 C为 ? FB ? 2 FC ? 0 ? FB ? ? 2 FC
2 的准线与 x 轴的交点,由向量的加法法则及抛物线的对称性可 y ? 2 px ( p ? 0 )

知,点 A, B 为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图,其中 AD 为点 A到
? FC ? p ? 2 FE ? ? 2 FC 准线的距离,四边形 AFBG为菱形,∴ FG ,∴ FE ,

? 2 ? ? AD ? 2 p ∴ AF ,∴ ? AFE ? ,∴ ? AFB ? ,∴向量 FA 与 FB 的夹角为 3 3 2? 。 3

31

2.

对于①,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F,在图(1)中, 由边 AB、BC 不相等可知点 E、F 不重合.在图(2)中,连结 CE,若直线 AC 与直 线 BD 垂直,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥CE,与点 E、F 不重合相矛 盾,故①错误. 对于②, 若 AB⊥CD, ∵AB⊥AD, AD∩CD=D, ∴AB⊥平面 ADC, ∴AB⊥AC, 由 AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,故②正确. 对于③,若 AD⊥BC,∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥平面 ADC,∴BC⊥AC.已知 BC= 2 ,AB=1,BC>AB,∴不存在这样的直角三角形.∴③错误. 由上可知④错误,故正确的说法只有②.

成都市川化中学 汪树林

【试题解析】如图,取 AC 中点为 G,结合已知得 GF / / AB,则线段 AB、EF 在平面 ? 上的射影所成角等于 GF 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角,在正四面体中, AB ? CD,又 GE / / CD,所以 GE ? GF,所以 EF 2 ? GE2 ? GF 2 ,当四面体绕 AB 转动 时,因为 GF / / 平面 ? ,GE 与 GF 的垂直性保持不变,显然,当 CD 与平面 ? 垂直
32

时,GE 在平面上的射影长最短为 0,此时 EF 在平面 ? 上的射影 E1 F1 的长取得最
1 1 小值 ,当 CD 与平面 ? 平行时,GE 在平面上的射影长最长为 , E1 F1 取得最大 2 2



1 2 2 ,所以射影 E1 F1 长的取值范围是 [ , ],而 GF 在平面 ? 上的射影长 2 2 2

1 2 为定值 ,所以 AB 与 EF 在平面 ? 上的射影所成角余弦值的范围是[ ,1].故 2 2

选B

双流县华阳中学

王代全

【试题解析】解:要使 ?APB 最大,须 ?OPB 最大 OB 1 ? ∵ sin ?OPB ? 最大, ? OP最小 ? OP OP 即当 OP 垂直于 3x ? 4 y ? 10 ? 0 时, OP ?

? 10 32 ? 42

?2?

此时设 ?APB ? ? ,则 sin
cos ? ? 1 ? 2 sin 2

?
2

?

OB OP

?

1 2

?
2

? 1?

1 1 1 ? .即 cos ?PAB ? .选 B. 2 2 2

温江中学

金忠

1 ( ? 2ax) x ? (ln x ? ax 2 ) 1 ? ln x ? ax 2 【试题解析】(Ⅰ) f ?( x) ? x ? x2 x2 由条件 f ?(1) ? 1 得 a ? 0
故 f(x)= ln x

x

, f′(x)=

1-ln x

x2

. ?????????????????1 分

33

函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 当 f′(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).????? 3分
f (2) ? ln 2 ln 4 ? ? f (4) ,又 e ? 3 ? 4 ,利用 f(x)在(e,+∞)递减知 2 4

f (3) ? f (4) ,综上可知 f (3) ? f (4) ? f (2) ????????????5 分

另:可作变形: f (2) ?

ln 2 ? ln 2 , f (3) ? ln 3 3 , f (4) ? ln 4 4 , 2

然后比较 2, 3 3, 4 4 的大小 (Ⅱ)若方程 ln x ? x3 ? 2ex 2 ? mx 可以化为
ln x ? x 2 ? ex ? m ????????6 分 x

根据(1)知 f(x)=

ln x

x

1 在 x ? e 处取得最大值 ,且单调递增区间为(0,e),单调递 e

减区间为(e,+ ∞).???????????????????????????7 分

g ( x) ? x2 ? ex ? m 在 x ? e 处取得最小值 m ,且单调递减区间为(0,e),单调递
增减区间为(e,+ ∞).???????????????????????????8 分 1 结合图象可以判断当 m ? , 方程 ln x ? x3 ? 2ex 2 ? mx ( e 为自然对数的底数) e 有且只有一个实 根???????????????????????????9 分

?ln x1 ? kx1 ? 0 (Ⅲ)解:不妨设 x1 ? x2 ? 0 ,由条件知 ? ?ln x2 ? kx2 ? 0

?ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) ln x1 ? ln x2 于是可得 ? ? ? a, x1 ? x2 ? ea ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 ?ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )
从而可知,若要证明 x1 ? x2 ? e2 ,即证明 a( x1 ? x2 ) ? 2

34

x1 ?1 ln x1 ? ln x2 x1 x1 ? x2 x2 ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ln ? 2 ?2 从而需证明 ???11 分 x1 x2 ? x1 x2 x1 ? x2 ?1 x2

令t ?

2(t ? 1) x1 , (t ? 1) 成立 , t ? 1 于是只需证明 ln t ? t ?1 x2

设函数 ? (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1)2 2t ? 2 (t ? 1) ,求导数得 ? ?(t ) ? ? ? ?0 t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

故函数 ? (t ) 在 (1, ??) 上是增函数,所以 ? (t ) ? ? (1) ? 0, ????????13 分 即 ln t ?
2(t ? 1) , (t ? 1) 成立,所证明不等式 x1 ? x2 ? e2 成立 t ?1

???????14 分

郫县四中
an ?1 ? ?

夏智勇

【解析过程】已知

, 4 sn ?1 则 sn ?1 ? sn ? ? 4s
2

sn

2

sn

2

,就有

n ?1

4

2

? 4sn sn ?1

?s ? s 1 s ?s ? ? ?s ,即 4 ? n ?1 ? ? 4 n ?1 ? 1 ? 0 , n ?1 ? ,所以 ? n?1 ? n sn sn 2 ? sn ? ? sn ?
2

1 ?1? 是首项为-1,公比为 的等比数列.故 sn ? ? ? ? 2 ?2?
新都升庵中学 【题目 1】 1或 7 【题目 2】

? n ?1?

, n ? N*

李业洪

? ? ? T ?? , 解: (Ⅰ)f ( x) ? sin(2 x ? ) , 递增区间是 [? ? k? , ? k? ] (k ?Z ) ; 6 3 6
( Ⅱ ) f(
B?C ?

B?C ? ) 2

sBi? C n? (

?
6

?

3

) : ) 由 B ? C ? ( 0? , 得 , 2

?
6

?(

? 7?
6 ,

) , 6

∴B?C ? ① 当 A?

?

?

6

?

?
3

,或

5? 2? ? ,则 A ? ,或 . 6 3 2

2

时, c ? 3 ;

35

② 当A?

5? 15 ? 3 时, c ? . 6 2

彭州中学

范辂

y
A

L D B N E M

F

C

x

【试题解析】由已知,直线 AB : bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 AC : bx ? ay ? ab ? 0 , 设直线 ED 斜率为 k ,则直线 EF 斜率为 ? k , ∴直线 ED : y ? k ( x ? e) ,直线 EF : y ? ?k ( x ? e)
aek ? ab abk ? bek , ), ak ? b ak ? b aek ? ab abk ? bek , ), 联立直线 AC, EF 方程解得 F ( ak ? b ak ? b ek aek ? ab abk ? bek )? ∴直线 DF 的方程为: y ? ( x ? ) a ak ? b ak ? b

联立直线 AB, ED 方程解得 D(

∵ DN ? ? NF ,∴点 D, N , F 共线, 又 N 在 LM 上,∴ N 是 DF 与 LM 的交点, e b ∵ L( , ) , M (0,0) , 2 2 b ∴直线 LM 方程为: y ? x a aek abk , ) 联立直线 DF , LM 方程,解得 N ( ak ? b ak ? b ∴点 N 是 DF 的中点, ∴? ?1

四川省新津中学
x

杨学忠

8 【试题解析】解 (1)因为 f′(x)=2x- ,所以切线的斜率 k=f′(1)=-6.

36

又 f(1)=1,故所求的切线方程为 y-1=-6(x-1).即 y=-6x+7. 2?x+2??x-2? (2)因为 f′(x)= ,

x

又 x>0,所以当 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0. 即 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减. 又 g(x)=-(x-7)2+49,所以 g(x)在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞) 上单调递减, ?a≥2 欲使函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则? ,解 ?a+1≤7 得 2≤a≤6. (3)原方程等价于 2x2-8lnx-14x=m, 令 h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为 h(x)=m. 因为当 x>0 时原方程有唯一解,所以函数 y=h(x)与 y=m 的图象在 y 轴右 侧有唯一的交点. 8 2?x-4??2x+1? 又 h′(x)=4x- -14= ,且 x>0,

x x 所以当 x>4 时,h′(x)>0;当 0<x<4 时,h′(x)<0. 即 h(x)在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故 h(x)在 x=4 处取 得最小值,从而当 x>0 时原方程有唯一解的充要条件是 m=h(4)=-16ln2-24.

新津华润高中

龚华鸥
1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) ??? , x x

【试题解析】 解: (1) 当 b ? 0, c ? 1时 f ' ( x) ? 2ax ? 1分

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 很成立,? f ( x) 在 (0,??) 上是增函数;???2 分 当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? ?

1 1 或x ?? ? (舍)???3 分 2a 2a

令 f ' ( x) ? 0 得 0 ? x ? ?

1 1 ;令 f ' ( x) ? 0 得 x ? ? 2a 2a

? f ( x) 在上 (0, ?

1 1 ) 是增函数,在 ( ? ,??) 上是减函数???4 分 2a 2a
? f (1) ? 0 c 由题得 ? , x ? f ' (1) ? 3

(2) (i) f ' ( x ) ? 2ax ? b ?

?a ? b ? 0 ?b ? ?a ?? 即? . ?2a ? b ? c ? 3 ?c ? 3 ? a

37

则 f ( x) ? ax2 ? ax ? (3 ? a) ln x , f ' ( x) ? 2ax ? a ?

3 ? a 2ax2 ? ax ? 3 ? a ? (ⅰ) x x

由 f ( x) 无极值点且 f ' ( x) 存在零点,得 a 2 ? 8a(3 ? a) ? 0 (a ? 0)

8 8 1 解得 a ? ,于是 b ? ? , c ? ? . 3 3 3
(ⅱ)由(i)知 f ' ( x) ?
2ax2 ? ax ? 3 ? a ( x ? 0) ,要使函数 f ( x) 有两个极值点, x

只要方程 2ax2 ? ax ? 3 ? a ? 0 有两个不等正根, 设两正根为 x1 , x 2 ,且 x 1 ? x 2 ,可知当 x ? x2 时有极小值 f ( x2 ) .其中这里
0 ? x1 ? 1 1 1 1 , 由于对称轴为 x ? ,所以 ? x 2 ? , 4 4 2 4

且 2ax2 2 ? ax2 ? 3 ? a ? 0 ,得 a ?

?3 2 x2 ? x2 ? 1
2

2ax2 ? ax ? 3 ? a ( x ? 0) , 【也可用以下解法: 由(Ⅱ)知 f ' ( x) ? 要使函数 f ( x) 有 x

两个极值点,只要方程 2ax2 ? ax ? 3 ? a ? 0 有两个不等正根,
? ?a 2 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 8 ? 那么实数 a 应满足 ?3 ? a ? 0 ,解得 ? a ? 3 , 3 ? a ? ?0 ? ? 2(2a)

a ? a 2 ? 8a(3 ? a) 1 1 24 x2 ? ? ? 9? 4a 4 4 a
?
8 1 1 24 ? a ? 3?0 ? 9 ? ? 1即 ? x 2 ? 】 3 4 2 a

所以有 f ( x2 ) ? ax2 2 ? ax2 ? (3 ? a) ln x2
? a ( x 2 ? x 2 ? ln x 2 ) ? 3 ln x 2 ? 3 ln x 2 ?
1 1 ( ? x2 ? ) 4 2
2

3( x 2 ? x 2 ? ln x 2 ) 2 x2 ? x2 ? 1
2

2

而 f ' ( x2 ) ?

3(4 x2 ? 1)(x2 ? x2 ? ln x2 ) (2 x2 ? x2 ? 1) 2
2

2


38

1 记 g ( x) ? x 2 ? x ? ln x , ( ? x ? 1) , 4 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 对 x ? ( ,1] 恒成立, 有 g ' ( x) ? 4 x 1 1 又 g (1) ? 0 ,故对 x ? ( , ) 恒有 g ( x) ? g (1) ,即 g ( x) ? 0 . 4 2

? f ' ( x2 ) ? 0 对于

1 1 ?1 1? ? x 2 ? 恒成立即 f ( x2 ) 在 ? , ? 上单调递增, 4 2 ?4 2?

1 3 故 f ( x2 ) ? f ( ) ? ? . 2 4

蒲江中学

高国济

【 解 析 过 程 】 ∵ 函 数 y =kx ? 2 的 图 像 直 线 恒 过 定 点 B( 0,? 2 ) , 且 A(1,? 2),
C ( ? 1,0) , D(1,2) ,∴ k AB =
?2+2 0+2 2+2 =0 , k BC = = ? 2 , k BD = =4 ,由图像可 1? 0 ?1 ? 0 1? 0

知 k ? (0,1) ? (1,4) .
4

2

D O

C
10 5

5

10

B
4

2

A

6

大邑中学 刘志和
8

【试题解析】

a ? 2 cosC ? c sin B

10

12

? b cos C ? c sin B ∴ sin A ? sin B cos C ? sin C sin B

∴ sin(B ? C ) ? sin B cosC ? sin C sin B
? cos B sin C ? sin C sin B

? tan B ? 1, B ?

?
4

由余弦定理 a 2 ? c 2 ? 4 ? 2ac cos

?
4

? 2ac

? 2ac ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2ac ? 4
? ac ? 4 ? 2(2 ? 2 ) 2? 2
39

? S? ?

1 2 2 ac sin B ? ac ? ? 2(2 ? 2 ) ? 1 ? 2 . 2 4 4

北师大成都实验中学 敖德兵
【题目 1】【答案】B 【题目 2】命题说明:参考课本 129 页例题 3

十二中

周成会

【试题解析】解:(1)证明:设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用 源。, ∵当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用 源。时,错误!未找到引用源。,∴F(x)min=F(0)=0 ∴F(x)? 0,即错误!未找到引用源。; (2)解:∵错误!未找到引用源。是实数集错误!未找到引用源。上的奇函数, ∴错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, ∴方程为错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。. 设错误!未找到引用源。,则由错误!未找到引用源。得,x=e, 又∵当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用 源。时,错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。, ∴① 当错误!未找到引用源。时,原方程无解; ② 当错误!未找到引用源。时,方程有且只有一根错误!未找到引用源。; ③ 当错误!未找到引用源。时,方程有两根;

高埂中学

张文峰

【试题解析】(1)设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(a·2x1+b·3x1)-(a·2x2+b·3x2) =a·(2x1-2x2)+b·(3x1-3x2), 由 x1<x2 得,2x1-2x2<0,3x1-3x2<0,因为 a·b>0, 当 a>0,b>0 时,f(x1)-f(x2)<0,f(x)为增函数; 当 a<0,b<0 时,f(x1)-f(x2)>0,f(x)为减函数. (2)由 f(x+1)>f(x)得,a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x,即 a·2x>-2b·3x, 因为 a·b<0,所以 a、b 异号. 当 a>0,b<0 时,-

a 3 x a >( ) ,得 x<log3 (- ); 2b 2 2b 2

40

当 a<0,b>0 时,-

a
2b

3 x <( ) ,得 x>log3 2 2

(-

a
2b

).

周珊

成都市十七中

【试题解析】(1) 解:当 Q 为侧棱 PC 中点时,有 BQ // 平面 PAD . 证明如下:如图,取 PD 的中点 E ,连 AE 、 EQ .

? Q 为 PC 中点,则 EQ 为 ?PCD 的中位线, 1 ∴ EQ // CD 且 EQ ? CD . 2 1 ? AB // CD 且 AB ? CD ,∴ EQ // AB 且 EQ ? AB , 2 ∴四边形 ABQE 为平行四边形,则 BQ // AE . ∵ BQ ? 平面 PAD , AE ? 平面 PAD , ∴ BQ // 平面 PAD ????6 分 (2) 证:∵ PA ? 底面 ABCD ,∴ PA ? CD . ∵ AD ? CD , PA ? AD ? A ,∴ CD ? 平面 PAD . ∵ AE ? 平面 PAD ,∴ CD ? AE . ∵ PA ? AD , E 为 PD 中点,∴ AE ? PD . ∵ CD ? PD ? D ,∴ AE ? 平面 PCD . ∵ BQ // AE ,∴ BQ ? 平面 PCD . ∵ BQ ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PCD . ????12 分

成都市 37 中

屈直桂
a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

【试题解析】(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,
3 又? C为三角形内角 2

? sin A ? 0,? sin C ?
?C ?

?
3



2? 3

?C ? (2)解法 1:? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? C为锐角,

?
3

又 ? c ? 7 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
41

由余弦定理得
a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

2 由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5

解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a 4 ? 13a 2 ? 36 ? 0 解得 a2 ? 4或a 2 ? 9

?a ? 2 ?a ? 3 所以 ? 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

成都市二十中
【试题解析】

韦锡铭

成都七中(高新)
42

徐海

【试题解析】 (Ⅰ)当 x≥0 时, a ? 0 , f ?( x) ? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x2 ? a ,
x ? (? a , 0),f ?( x) ? 0 ,f (x)递减, x ? (??, ? a ),f ?( x) ? 0 ,f (x)递增;
? ?) 递增, (? a , 故 f ( x) 在 (??, ? a ) , [0, 0) 递减,(不必说明连续性)

a ? ?) 递增 ? 0 , f ( x) 在 [0, x ?1

2 故 [ f ( x)]极小值 ? f (0) ? 0, [ f ( x)]极大值 ? f (? a ) ? a a . 3

(Ⅱ)即讨论 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数, h(0) ? 0 ,故必有一个零点为 x ? 0 . ①当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? a ln( x ? 1) , h?( x) ? ex ? (ⅰ)若 a≤1,则
a x ?1

a ? 1 ? e x , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,故此 x ?1 (0, ??) 无零点; 时 h( x ) 在 a (ⅱ)若 a > 1, h?( x) ? ex ? 在 (0, ??) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a , 1 ? a ? 0 x ?1 ? ?) 使 h?( x0 ) ? 0 且 x ? ?? 时, h?( x) ? ?? ,则 ?x0 ? (0,

? ?) 递增, 进而 h( x) 在 (0,x0 ) 递减,在 ( x0 , h( x0 ) ? h(0) ? 0 ,由指数、对数函数的增长率知, x ? ?? 时 h( x) ? ?? , ? ?) 有一个零点 h ? x ? 在 ( x0 , ??) 上有一个零点,在 (0,x0 ] 无零点,故 h( x) 在 (0,

②当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? x3 ? ax h?( x) ? e x ? x2 ? a , 设 ? ( x) ? h?( x) , ? ?( x) ? ex ? 2x ? 0 对 x ? 0 恒成立, 故 h?( x) ? e x ? x2 ? a 在 (??,0) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a ,且 x ? ?? 时, h?( x) ? ?? ; (ⅰ)若 1 ? a ≤ 0 ,即 a ≤ ?1 ,则 h?(x) ? h ?(0) ?1 ? a ≤0 ,故 h( x) 在 (??,0) 递减,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , h( x) 在 ( ??, 0) 无零点; 0) 使 h?( x0 ) ? 0 , (ⅱ)若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ? 1 ,则 ?x0 ? (??, 0) 递增, h( x0 ) ? h(0) ? 0 进而 h( x) 在 (??,x0 ) 递减,在 ( x0 , 且 x ? ?? 时, h( x) ? (ex ? 1) ? x (x2 ? 3a ) ? ??, h( x) 在 (??,x0 ) 上有一个零点,在 综合①②,当 a ≤ ?1 时有一个公共点;当 ?1 ? a ≤ 1 时有两个公共点;当 a ? 1 时有 三个公共点.
1 3 [ x0 , 0) 无零点,故 h( x) 在 (??,0) 有一个零点

1 3

成都经济技术开发区实验高级中学(原航天中学)张 弩
【试题解析】(1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 6x ? 3, f ' ( x) ? 0 的判别式 ? ? 36(1 ? a) . ①若 a ? 1 ,则 f ' ( x) ? 0 ,此时, f ( x) 在 R 上是增函数.

43

②若 a ? 1(a ? 0), f '( x) ? 0 的两个根为 x1 ?

?1? 1? a ?1? 1? a . , x2 ? a a

当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (??, x2 ), ( x1 ,??) 上为增函数,在 ( x 2 , x1 ) 上为减函数; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, x1 ), ( x2 ,??) 上为减函数,在 ( x1 , x 2 ) 上为增函数 f ( x) (2)依题, 3ax2 ? 6 x ? 3 ? 0 在 x ? (1,2) 上恒成立,
1 1 即 a ? ?( ) 2 ? 2 ? 在 x ? (1,2) 上恒成立. x x 5 1 1 1 5 而 x ? (1,2) 时, ? ( ) 2 ? 2 ? ? ?( ? 1) 2 ? 1 ? ? . ? a ? ? 且 a ? 0 . 4 x x x 4 (3)由导函数图像分析可知, a ? 0. 5 由 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 ,解得 ?3 ? a ? ? . 4

龙泉一中
【试题解析】解:(1) f ' ( x) ?

王朝伦

4a x ln a ; (a x ? 1) 2

当 0 ? a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??,??) 为减函数; 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,原函数为常函数,不具有单调性; 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 R 上为增函数。 (2) f ( x) ? a x ,对 x ? R 恒成立,即 a ? 等价于 a 2 x ? (?a) ? a x ? a ? 4 ? 0 令 F ( x) ? a 2 x ? (1 ? a) ? a x ? a ? 4 ,
4 ? ax . a ?1
x

F ' ( x) ? a x ln a(2a x ? 1 ? a).
? 当 0 ? a ? 1 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (??,??) 为减函数, 此时 F ( x) ? 0 恒成立; ? 当 a ? 1 时, F ( x) ? 4 ,满足 F ( x) ? 0 ; ? 当 a ? 1 时,令 F ' ( x) ? 0 得 x ? log a
a ?1 2

44

则 x ? (?? , log a
x ? (log a

a ?1 ) 时, F ' ( x) ? 0 ; 2

a ?1 ,?? ) 时, F ' ( x) ? 0 ; 2

? F ( x) min ? F (loga

a ?1 a 2 ? 2a ? 15 )?? 2 4

要使 F ( x) ? 0 恒成立,即 a 2 ? 2a ? 15 ? 0
? ?5 ? a ? 3 ,又 a ? 1 ,?1 ? a ? 3

综上, a ? (0,3] 为所求。

成都双流华阳中学

刘文清

【试题解析】解:①易知当 x ? 0, y ? 0 时, xy 才可能取得最大值,
1 ? x? ? 1 2x ? 3y 2 1 ? 4 时,等号成立. ,当且仅当 2 x ? 3 y ,即 ? ? xy ? ( ) ? 6 2 24 ?y ? 1 ? 6 ?

②u ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? x y x 1 ? x x(1 ? x)

1 ? 0( x ? ??) 1 2 1 ?( x ? ) ? 2 4
1 ? f (t ) ? t ? 在 [2, ??) ? , t t ?4
2

③令 t ? t 2 ? 4(t ? 2) ,则 u ? t 2 ? 4 ?
f min ? f (2) ? 5 2

1

④由已知可得 y ?

2x 2x 6 ? 0 ? x ? 3;u ? x ? y ? x ? ? ( x ? 3) ? ?5 x?3 x ?3 x ?3

? 2 ( x ? 3)

6 6 即 x ? 3 ? 6 时取等号; ? 5 ? 5 ? 2 6 ,当且仅当 x ? 3 ? x?3 x ?3

⑤由已知可得 xy ? 2x ? 3y ? 2 2x ? 3y ? 2 6xy ? xy ? 24 ,

?x ? 6 时取等号. ?umin ? 24 ,当且仅当 2 x ? 3 y 即 ? ?y ? 4
答案:①④

双流中学

邱建清

45

【试题解析】正视图 是错误图形,正视图底边长为 6 ,高为 6 ?
6 ? 2 6 ,所以 3

1 1 . S ? ? 6 ? 2 6 ? 6 6 , V ? ?? 9 3 2 6 ? 1 8 2 2 3
答案: 6 6 ,1 82

郫县一中

杨吉平

2 【试题解析】 设 Q1( x 1,y1 ) ,Q 2( x 2,y 2 ) , 代入抛物线方程得 y1 ? x 1,y 2 2 ? x2 .

两式相减并分解因式,得:
( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? x 1 ? x 2

∵B(2,4)是 Q1Q 2 的中点,
? y1 ? y 2 ? 8 ,代入上式得,即 k l ?

1 . 8

若直线 l 存在,则方程为 y ? 4 ? (x ? 2) ,即 x ? 8y ? 30 ? 0 .

1 8

新都一中 【题目 1】【答案】C

肖宏

【试题解析】 当计时器依次从 9 显示到 0 的过程中,需要点亮的灯管根数依次为 6,7,3,6,5,4,5,5,2,6,均值为 4.9

46

所以更换灯管前的平均功率为 4.9×50=245(瓦), 更换后的平均功率为 4.9×10=49(瓦) 每天能节约的电量为(245-49)×24÷1000=4.704(千瓦时). 【题目 2】【答案】C 【试题解析】在一次循环显示的 10 个数字中,只有数字 1,4,7 需要点亮的灯 管根数少于 5 根,所以高亮状态的概率为 1-0.3=0.7.

新都区第二中学
【试题解析】

周成勇

an?2 ? {

an ? 2

( n为正奇数) ( n为正偶数)

3 an

由 a1 ? 10, a2 ? 2 得数列的前 7 项分别为,10,2,8,6,6,18,4,故 S7 ? 54

新都区升庵中学

黄贵宾
?a1 ? 1 ? ,解出 ? d ? 1 ,从而可得数列

【试题分析】(1)等差数列的求解方法为待定系数法,利用已知两个条件,列

出关于首项及公差的方程组

2a1 ? 7d ? 9 ? ? ?6a1 ? 15d ? 7a1 ? 14d

?an ? 的通项公式 an ? n ;(2)数列求和,要先分析通项特征,本题是等差乘等
1 2 n 比 型 , 因 此 应 用 错 位 相 减 法 求 和 . 设 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? n ? 2 , 则

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? n ? 2n?1 ,错位相减得 ? Tn ? 21 ? 22 ? ?? ? 2n ? n ? 2n?1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 再利用等比数列求和公式化简得 Tn ? 1? 2
2a1 ? 7d ? 9 ?a 2 ? a7 ? 9 ? ? ? ? S 6 ? 7a3 ? ?6a1 ? 15d ? 7a1 ? 14d 【试题解析】 解: (1)
解得 an ? n (2) bn ? n ? 2 n

?

?a1 ? 1 ? ?d ?1
4分

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? ? n ? 2n 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? n ? 2n?1

① ② 6分

47

① -② 所以: Tn ? -

? Tn ? 21 ? 22 ? ?? ? 2n ? n ? 2n?1
12 分

8分

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 1? 2
,(2) Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 2

【答案】(1) an ? n

【题目 2】【试题解析】解:(1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 所以 an ? 2an?1 ,即
an ?2 an ?1

?2 分

∴数列 ?an ? 是等比数列. ∵ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,∴ a1 ? 2 ∴ an ? 2n . 4分

∵点 P (bn , bn?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, ∴ bn?1 ? bn ? 2 , 即数列 ?bn ? 是等差数列, 又 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1.?6 分 (2)由题意可得 ∴
bn ? 1 n ( n ? 1) ? n ,∴ S n ? , 2 2

8分

1 1 1 ? 2( ? ) ,?10 分 Sn n n ?1



1 1 1 1 1 1 1 1 2n . ? ? ... ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n n ?1

12 分

【答案】(1) an ? 2n , bn ? 2n ? 1(2)

邛崃一中
2b2

叶世春

【试题解析】 (1)∵直线 l 过右焦点 F2 且与 x 轴垂直, ∴|AB|=

a

,|CD|=4 c.
48

又∵椭圆 E 的离心率为

2 2 ,且→ AB= → CD, 2 2

c 2 = ? ?a 2 ?a =32 ∴?b ,解得? . = 2c ?b =16 a ? ?a =b +c
2 2 2 2 2 2

故椭圆 E 的方程为

x2
32



y2
16

=1.

(2)由题意知直线 GH 的斜率不为零. 设直线 GH 的方程为:x=my+2. 联立

x2
32



y2
16

=1 与 x=my+2,消去 x 得:(m2+2)y2+4my-28=0.

设 P(x,y)、G(x1,y1)、H(x2,y2), 则 y1+y2=- 4m 28 8 ,y1y2=- 2 ,x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +2 m +2 m +2
2

→, ∵→ OG+→ OH=tOP 8 ? tx =x +x = ? m +2 ∴? , 4m ? ?ty=y +y =-m +2
1 2 2 1 2 2

∴P(

8 4m ,- ). t(m +2) t(m2+2)
2

∵P 点在椭圆上,∴将 P 点坐标代入椭圆方程得 t2= 8 11 ∵|→ OG-→ OH|< , 3

1 . m +2
2

∴|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]=(1+m2)[( 4×28 ] m2+2

-4m 2 )+ m2+2

49

32(1+m )(4m +7) 64×11 = < . (m2+2)2 9 整理得 14m4+11m2-25<0,∴0≤m2<1, ∴t2= 1 1 1 ∈( , ], m +2 3 2
2

2

2

∴t∈[-

2 3 3 2 ,- )∪( , ]. 2 3 3 2 2 3 3 2 ,- )∪( , ]. 2 3 3 2

∴实数 t 的取值范围为[-

高埂中学
则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,

梁军

【命题解析】(1)由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+b=-1,

f ′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex
依题意须对于任意 x∈(0,1),有 f ′(x)<0. 当 a>0 时, 因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上,而 f ′(0) =-a<0,所以须

f ′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1;
当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f ′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈(0,1),f ′(x)=-xex<0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因 f ′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex,g′(x)=(-2ax+1-a)ex, (ⅰ)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x =1 处取得最大值 g(1)=e. (ⅱ)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处 取得最大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. (ⅲ)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= ①若 1-a >0. 2a

1-a 1 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得 2a 3

50

最小值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. ②若 1-a 1 1-a 1-a 1-a <1, 即 <a<1 时, g(x)在 x= 处取得最大值 g( )=2ae , 2a 3 2a 2a 2a

在 x=0 或 x=1 处取得最小值,而 g(0)=1+a, g(1)=(1-a)e, 1 e-1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 当 e-1 <a<1 时,g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. e+1

新津华润高级中学
【参考答案】

蒋 君

(Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? e x ? a .

??????2 分

① 当 a ? 0 时, f ( x) ? ex ,故 f ( x) 在 R 上单调递增. 从而 f ( x) 没有极大值,也没有极小值. ??????4 分

② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) .
f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x ) f ( x)
(??, ln(?a))
ln(?a)
(ln(?a), ? ?)

?

0

?





故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ln(?a)) ;单调增区间为 (ln(?a), ? ?) . 从而 f ( x) 的极小值为 f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ;没有极大值.??6 分 (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x) ? a ? 分 ③ 当 a ? 0 时, f ( x) 在 R 上单调递增, g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题 意.?9 分 ④ 当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 当 ?1 ? a ? 0 时, ln(?a ) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (ln(?a), ? ?) 上单调递增,由于
51

1 ax ? 1 ? . x x

????8

g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.

??????11 分

当 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (??, ln(?a)) 上单调递减,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?1) . ??????12 分

白东宁

都江堰外国语学校
y
M

C

x
A O B

【试题解析】(Ⅰ) x0 ? 4, y0 ? 4 . 当点 M (4,4) 时,设切线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4 ? 4k ? 0 . 圆心到切线的距离为 d ?

2 ? 4k k ?1
2

? 2 ,即 2 ? 4k ? 2 k 2 ? 1 .
4 . 3

所以 3k 2 ? 4k ? 0 ,得 k ? 0 或 k ?

所以切线方程为 y ? 4 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . (Ⅱ)设切线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0 ,

? 2 ? y0 ? kx0 y ? ? 切线与 x 轴交点为 ? x0 ? 0 ,0 ? ,圆心到切线的距离为 d ? ? 2. 2 k ? ? k ?1
2 2 即 4 ? y0 ? k 2 x0 ? 4 y0 ? 4kx0 ? 2x0 y0 k ? 0 , 2 2 化简得 x0 ? 4 k 2 ? 2x0 ?2 ? y0 ?k ? y0 ? 4 y0 ? 0

?

?

52

2 x 0 ?2 ? y 0 ? ? ? k1 ? k 2 ? ? x 2 ? 4 ? 0 设两切线斜率分别为 k1 , k 2 ,则 ? , 2 ?k k ? y 0 ? 4 y 0 1 2 2 ? x0 ?4 ?

1 S? 2

2 2 2y2 2 y 0 x0 ? y0 ? 4 y0 ? y0 ? ? y0 ? 1 k1 ? k 2 2 0 ? ? ? x0 ? k ? ??? ? x0 ? k ? ? ? y0 ? 2 k k ? y 0 ? y ? 4 y ? 4 1 ? 2 ? 1 2 0 0 ? ?

? 16 ? ? 2? ? ? y0 ? 4? ? 8? ? 32 ? y0 ? 4 ? ,
当且仅当 y0 ? 8 时取等号.所以两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小值为 32.

大邑县安仁中学

吴振宇

1 3 1 3 【试题解析】(Ⅰ) f ( x) ? sin x( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? (1 ? cos2 x) 2 2 4 4
? 1 ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 3 4

所以函数 f ( x) 最小正周期为 ? , (Ⅱ) f ( B) ?
1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 2 3 4

? cos B ?
?0 ? B ? ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? (当 a ? c 时取等号) 2ac 2ac 2ac 2

?
3

?
3

? 2B ?

?
3

??

? f ( B) 的取值范围为 [?

3 1 3 , ? ] 4 2 4

高埂中学

乔永泽

【试题解析】(1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在直线 x+y=1 上,可得 1+b=1, 即 b=0, 因为 f ′(x)=anxn-1-a(n+1)xn, 所以 f ′(1)=-a.
53

又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1, 故 a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,

f ′(x)=(n+1)xn-1(

n n+1

-x).

令 f ′(x)=0,解得 x=

n n+1



即 f ′(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x= 在(0, 而在(

n n+1

.

n n+1 n

)上,f ′(x)>0,故 f(x)单调递增;

n+1

,+∞)上,f ′(x)<0,故 f(x)单调递减.

故 f(x) 在 (0 , + ∞ ) 上 的 最 大 值 为 f(

n n+1

)=(

n n+1

)n(1 -

n n+1

)=

nn
?n+1?n+1

.

1 (3)令φ (t)=lnt-1+ (t>0),则

t

1 1 t-1 φ ′(t)= - 2= 2 (t>0).

t t

t

在(0,1)上,φ ′(t)<0,故φ (t)单调递减; 而在(1,+∞)上φ ′(t)>0,φ (t)单调递增. 故φ (t)在(0,+∞)上的最小值为φ (1)=0. 所以φ (t)>0(t>1), 1 即 lnt>1- (t>1).

t

1 n+1 1 令 t=1+ ,得 ln > , n n n+1 即 ln(

n+1 n+1 ) >lne, n

n+1 n+1 nn 1 所以( ) >e,即 . n+1< n ?n+1? ne
54

由(2)知,f(x)≤

1 < , ?n+1?n+1 ne

nn

故所证不等式成立.

广汉中学

方永明

【试题解析】(Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d , 10, 18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 ,解得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍去). 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2. 由 b3 ? b1 ? 22 ,即 5 ? b1 ? 22 ,解得 b1 ? 所以 {bn } 是以
bn ?
5 . 4

5 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4

5 n ?1 ? 2 ? 5 ? 2 n ?3 . 4

5 (1 ? 2n ) 5 5 (Ⅱ) 数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 4 即 S n ? ? 5 ? 2n ? 2 . ? 5 ? 2n ? 2 ? , 4 1? 2 4 5 S n ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5? 2 ? 2 . 所以 S1 ? ? , 5 5 ? 2n ? 2 4 2 Sn ? 4 5 5 因此数列 {S n ? } 是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 4

德阳什邡市七一中学

钟成建

【试题解析】 f ( x) ? 0 ? x(e x ? e ? x ) ? (2x ? 1)(e 2 x?1 ? e1?2 x ) 记函数 F ( x) ? x(e x ? e ? x ) ,易知函数 F ( x) 为偶函数,则 F ( x) ? F (?x) ? F ( x ) , 又 F ( x) ? (e x ? e ? x ) ? x(e x ? e ? x ) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 F ( x) 为 (0,??) 上的增函 数. 所以 f ( x) ? 0 ? x(e x ? e ? x ) ? (2x ? 1)(e 2 x?1 ? e1?2 x ) 化为 F ( x) ? F (2 x ? 1)

55

x ? 2 x ? 1 ? x 2 ? (2 x ? 1) 2 ?
1 故实数 x 的取值范围为 ( ,1) 3

1 ? x ?1 3

56



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