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LDC数学教育江苏省东海县高考补习学校高三第一次调研测试数学试题2016.10



LDC 数学教育 ? 高品质教育

2016~2017 学年江苏省东海县高考补习学校第一次调研测试 数学 2016.10
参考公式: 圆锥侧面积公式: S = prl ,其中 r 是圆锥底面半径, l 是圆锥母线长.

数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应

位置上. 1. 设集合 A ? {x | x ? 1 ? 1} , B ? {x | x ? 3} ,则 A ? B ? ▲ . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 函数 f ( x) ? cos( ?x ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ? ? ▲ .
6

若命题“ ?x ? ? 0, ?? ? , m ? x ? 曲线 y ? x ? cos x 在点 ? 计算 e
ln3

1 ”为真命题,则实数 m 的取值范围为 ▲ . x
▲ .

?? ? ? , ? 处的切线方程为 ?2 2?
? 2 3

? log 5 25 ? (0.125)

的结果为 ▲ .

1 若函数 f(x)= x 3 ? ax 2 ? 1 在 x ? ?4 处取得极大值,则实数 a 的值为 ▲ . 3

( 2x ? 将函数 f ( x) ? 2 sin
x?

?
3

) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位,所得图象关于直线
▲ . ▲ .

?
6

对称,则实数 m 的最小值为

8. 9.

已知

sin ? ? m cos? ? ? tan ? ,且 α-β= ,则 m= cos? ? m sin ? 3

已知可导函数 f(x)(x?R)的导函数 f ?( x) 满足 f ?( x) ? f ( x) ,则不等式 f ( x) ? f (1) ? e x ?1 的解集是 ▲ .

10. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 已知 cos A ? 则△ ABC 的面积为 ▲ .

3 sin C ? 2cos B 且 a ? 4 , , 5

3 11. 已知关于 x 的方程|logmx—4|=a(m>0 且 m≠1)有两个不同的实根 x1,x2,且 x1 ? x2 ,则 a=

▲ . 12. 若关于 x 的不等式(ax—1)(lnx+ax)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则实数 a 的最大值为 ▲ .

第 1 页 共 1 页

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?1 ? x 2 , x ≤ 0, 13. 已知函数 f ( x ) ? ? 若函数 y ? f ( f ( x )) ? k 有 3 个不同的零点,则实数 k 的 ? ? x ? 1, x ? 0. 取值范围是 ▲ .

14. 已知函数 f ( x) ? ? ? 2

?ln(1 ? x), x ? 1 , x ?1 ? ? x ?1

k ,g(x)= 2(k?N*),对任意 p ? (1, ??) ,总存在实数 m, n x

满足 m ? 0 ? n ? p ,使得 f ( p) ? f (m) ? g (n) ,则 k 的最大值为





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 定义在实数集上的函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=x2+ax+a(a?R) (1)求 f(x)、g(x)的解析式; (2)命题 p: ?x ? [1, 2], f ( x ) ≥1 ,命题 q: ?x ? [?1,2], g ( x ) ≤ ?1 ,若 p 或 q 为真,求

a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 1 2 3 在△ABC 中,D 是边 AC 的中点,且 AB=1,cosA= ,BD= . 3 3 (1)求 AC 的值; (2)求 sinC 的值.

第 2 页 共 2 页

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17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0≤? ≤?) 为偶函数, 且其图象上相邻两对称轴之间的 距离为 ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式;
2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 f ?? ) ? (2)若 ( ,求 的值. 1 ? tan ? 4 3

?

?

18. (本小题满分 14 分) 如图,某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备, 该组合体总高度为 8 米,圆柱的底面半径为 4 米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知 制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元,制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元,设 制作该存储设备的总费用为 y 百元. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 OO1 = h (米),将 y 表示成 h 的函数关系式; ②设∠SDO1=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.

第 3 页 共 3 页 第 18 题图

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 , g ( x) ? 4x ? 4 ? 2x ? a ,其中 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的值域; (2)若对任意 x ? [0,2] ,均有 f ( x) ≤ 2 ,求 a 的取值范围;
? f ( x ) , x ? a, 7 (3)当 a ? 0 时,设 h( x) ? ? ,若 h( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值. 2 ? g ( x) , x ≤ a

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? cx ? c ( c 为常数, e 是自然对数的底). (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)当 c >1时,试证明: ①对任意的 x > 0 , f (ln c ? x) ? f (ln c ? x) 恒成立; ②函数 y ? f ( x) 有两个相异的零点.

第 4 页 共 4 页

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教师版
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1. 设集合 A ? {x | x ? 1 ? 1} , B ? {x | x ? 3} ,则 A ? B ? ▲ . (2,3) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 函数 f ( x) ? cos( ?x ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为

? ,则 ? ? ▲ .12 6

若命题“ ?x ? ? 0, ?? ? , m ? x ? 曲线 y ? x ? cos x 在点 ? 计算 eln3 ? log

1 ”为真命题,则实数 m 的取值范围为 ▲ . x
▲ . 4x ? 2 y ? ? ? 0

?? ? ? , ? 处的切线方程为 ?2 2?
? 2

25 ? (0.125) 3 的结果为 ▲ .11 5

1 若函数 f(x)= x 3 ? ax 2 ? 1 在 x ? ?4 处取得极大值,则实数 a 的值为 ▲ . -2 3

(2 x ? 将函数 f ( x) ? 2sin
x?

?
3

) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位,所得图象关于直线
▲ .

?
6

对称,则实数 m 的最小值为

8.

已知

sin ? ? m cos? ? ? tan ? ,且 α-β= ,则 m= ▲ . cos? ? m sin ? 3

【答案】

9.

x 已 知 可 导 函 数 f ( x) ( ?

R的 ) 导 函 数 f ?( x) 满 足 f ?( x) ? f ( x) , 则 不 等 式

f ( x)?

x ?1 f(? 1) e 的解集是



. (1, ??)

10. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 已知 cos A ? 则△ ABC 的面积为 ▲ .8

3 sin C ? 2cos B 且 a ? 4 , , 5

3 11. 已知关于 x 的方程|logmx—4|=a(m>0 且 m≠1)有两个不同的实根 x1,x2,且 x1 ? x2 ,则 a=

▲ .

【答案】2
第 5 页 共 5 页

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12. 若关于 x 的不等式(ax-1)(lnx+ax)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则实数 a 的最大值为

▲ .

【答案】e
?1 ? x 2 , x ≤ 0, 13. 已知函数 f ( x ) ? ? 若函数 y ? f ( f ( x )) ? k 有 3 个不同的零点,则实数 k 的 ? ? x ? 1, x ? 0. ? 1) 取值范围是 ▲ . [?2,

?ln(1 ? x), x ? 1 k ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? 2 , g ( x ) ? 2 ( k ? N *) ,对任意 p ? (1, ??) ,总存在 x , x ?1 ? ? x ?1
实数 m, n 满足 m ? 0 ? n ? p , 使得 f ( p) ? f (m) ? g (n) , 则 k 的最大值为 ▲ . 7

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f ? x? 是 奇 函 数 , g ? x? 是 偶 函 数 , 且

f ? x ? +g ? x ? ? x2 ? ax ? a ? a ? R? .
(1)求 f ? x ? 、 g ? x ? 的解析式; (2)命题 p:?x ? [1,2], f ( x ) ≥1 ,命题 q:?x ? [?1,2], g ( x ) ≤ ?1 ,若 p 或 q 为真,求 a 的取值范围. 解(Ⅰ)由 f ? x ? +g ? x ? ? x ? ax ? a ①,得 f ? -x ? +g ? -x ? ? x -ax ? a .
2 2

因为 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,所以 f ? - x ? =-f ? x ? , g ? -x ? =g ? x ? ,?2 分 所以 - f ? x ? +g ? x ? ? x -ax ? a ②,①②联立得 f ? x ? ? ax,g ? x ? ? x ? a .?6 分
2 2

(Ⅱ)若 p 真,则 f min ? x ? ? 1 ,得 a ? 1 ,????????????9 分 若 q 真,则 gmin ? x ? ? ?1 ,得 a ? -1 ,????????????12 分 因为 p ? q 为真,所以 a ? 1或a ? ?1 .????????????14 分
第 6 页 共 6 页

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16. (本小题满分 14 分) 1 2 3 在△ABC 中,D 是边 AC 的中点,且 AB=1,cosA= ,BD= . 3 3 (1)求 AC 的值; (2)求 sinC 的值. 【答案】(1)在△ABD 中,AB=1,BD=,∴cosA=,得 AD=1,故 AC=2AD=2.

(2)∵cosA=,且 0<A<π,∴sinA=, 又由(1)知,AC=2,∴在△ABC 中,cosA=,得 BC=, 结合正弦定理得,sinC=. 17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0≤? ≤?) 为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间 的距离为 ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式;
? 2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 f ?? ) ? (2)若 ( ,求 的值. 1 ? tan ? 4 3

?

16.解: (1)因为 f ( x) 是偶函数,所以 sin(?? x ? ? ) ? sin(? x ? ? ) , 即 2sin ? x cos ? ? 0 对 x ? R 恒成立,所以 cos ? ? 0 , 又因为 0≤? ≤ ? ,所以 ? ?
? . 2

?????????3 分

因为 f ( x) 图象上相邻两对称轴之间的距离为 ? , 所以 f ( x) 的周期 T ? 2? ,故 ? ? 1 . 故所求函数的解析式为 f ( x) ? cos x . ( 2 ) ?????????7 分 原 式

第 7 页 共 7 页

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? 2 2 2 sin(2? ? ) ? 1 2( sin 2? ? cos 2? ) ? 1 (sin 2? ? cos 2? ? 1) cos ? 4 2 2 ? ? ? sin ? 1 ? tan ? sin ? ? cos ? 1? cos ?

?

2sin ? cos2 ? ? 2sin 2 ? cos ? ? 2sin ? cos ? , ????????11 分 sin ? ? cos?

f ?? 因为 (

?
4

) ?

2 2 ,即 sin ? ? cos? ? , 3 3
4 5 ,即 2sin ? cos ? ? ? , 9 9
?????????13 分

所以 1 ? 2sin ? cos ? ?

? 2 sin(2? ? ) ? 1 5 4 ?? . 所以 1 ? tan ? 9

???????14 分

18. (本小题满分 14 分) 如图,某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设 备,该组合体总高度为 8 米,圆柱的底面半径为 4 米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已 知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元,制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元, 设制作该存储设备的总费用为 y 百元. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 OO1 = h (米),将 y 表示成 h 的函数关系式; ②设∠SDO1 =q (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.

17.解: (1)① S 圆柱侧 = 2?rh = 8?h,S 圆锥侧 = ?rl = 4p 16+(8 ? h)2 , y = 2S 底面+2S 圆柱侧+4S 圆锥侧=32?+16?h+ 16p 16+(8 ? h)2 =32?+ 16p(h ? 16+(8 ? h)2 ) , ( 4 ≤h ? 8 ) ; (注:定义域不写扣 1 分)
第 8 页 共 8 页

第 17 题图

?????2 分

?????????4 分

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② SD =

4 , h =8 ? 4tan? . cos ?
4 ?4 cos?

y = 2S 底面+2S 圆柱侧 + 4S 圆锥侧=32?+ 2p ? 4 ? (8 ? 4 tan ? ) ? 2 + p ? 4 ?

= 32?+ 64p(2 ? tan ? ) +

64p 1 ? sin ? p =160?+64? ( 0 ?? ≤ ).??????8 分 cos? cos? 4

(注:定义域不写扣 1 分) (2)选方案① 由(1)知 y ? 32?+ 16p(h ? 16+(8 ? h)2 ) , ( 4 ≤h ? 8 ). 设 8 ? h ? t ,则 y = 32?+ 16p(8 ? t ? 16+t 2 ) =32?+ 16p(8 ?

16 t ? 16+t 2

) , ?10 分

y = 32?+ 16p(8 ?

16 t ? 16+t 2

) 在 (0, 4] 上单调递减,

????????12 分 ?????????14 分

所以,当 t ? 4 时,y 取到最小值 (96 ? 64 2)p . 选方案② 由(1)知 y=160?+64? 设 ? (? ) ?

1 ? sin ? p ( 0 ?? ≤ ), cos? 4
?????????10 分

1 ? sin ? sin ? ? 1 , ? '(? ) ? , cos? cos2 ?
p ,所以, ? '(? ) ? 0 , 4

因为, 0 ?? ≤

所以, ? (? ) 在 (0, 所以,当 ? ?

p ] 上单调递减, 4

?????????12 分

p 时,y 取到最小值 (96 ? 64 2)p . 4

?????????14 分 ????16 分

答:制作该存储设备总费用的最小值为 (96 ? 64 2)p 百元.

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 , g ( x) ? 4x ? 4 ? 2x ? a ,其中 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的值域;
第 9 页 共 9 页

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(2)若对任意 x ? [0,2] ,均有 f ( x) ≤ 2 ,求 a 的取值范围;
? f ( x ) , x ? a, 7 (3)当 a ? 0 时,设 h( x) ? ? ,若 h( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值. g ( x ) , x ≤ a 2 ?

19. (1)当 a ? 0 时, g ( x) ? (2 x ? 2) 2 ? 4 ,?????????????????2 分 因为 2 x ? 0 , 所以 g ( x) ≥ g (2) ? ?4 , g ( x) 的值域为 [ ?4, ?? ) (2)若 x ? 0 , a ? R 若 x ? (0,2] 时, f ( x) ≤ 2 可化为 ?2 ≤ x2 ? ax ? 1 ≤ 2

??????????4 分

??????????6 分 ????7 分

1 3 即 x 2 ? 1 ≤ ax ≤ x 2 ? 3 ,所以 x ? ≤ a ≤ x ? x x
因为 y ? x ?

1 1 3 在 (0, 2] 为递增函数,所以函数 y ? x ? 的最大值为 ,????8 分 2 x x
????9 分

3 3 3 因为 x ? ≥ 2 x? ? 2 3 (当且仅当 x ? ,即 x ? 3 取“=” ) x x x 3 所以 a 的取值范围是 a ?[ , 2 3] . 2
? f ( x), x ? a, (3)因为 h( x) ? ? ? g ( x), x ≤ a

??????????10 分

当 x ≤ a 时, h( x) ? 4x ? 4 ? 2 x ?a , 令 t ? 2 x , t ? (0,2 a ] ,则 p (t ) ? t ?
2
a 当 x ≤ a 时,即 2 ≤

????11 分

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4
????12 分

2 , p(t ) ? [4 a ? 4,0) ; 2a

a a2 当 x ? a 时, h( x) ? x2 ? ax ? 1 ,即 h( x) ? ( x ? )2 ? 1 ? , 2 4

a a2 ? a , h( x) ?[1 ? , ??) . 4 2 1 7 a 2 15 7 a ? ?? , 若 4 ? 4 ? ? , a ? ? ,此时 1 ? 4 16 2 2 2
因为 a ? 0 ,所以 若1?

????14 分

a2 7 a ?3 ? ? ,即 a ? ?3 2 ,此时 4 ? 4 ? 4 4 2

2

7 ?4?? , 2
????16 分

所以实数 a ? ?

1 . 2
第 10 页 共 10 页

20. (本小题满分 16 分)

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已知函数 f ( x) ? e x ? cx ? c ( c 为常数, e 是自然对数的底). (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)当 c >1时,试证明: ①对任意的 x > 0 , f (ln c ? x) ? f (ln c ? x) 恒成立; ②函数 y ? f ( x) 有两个相异的零点.

20.解: (1) f ?( x) ? e x ? c , 若 c≤0 ,则 f ?( x) ? e x ? c ? 0 恒成立,此时函数 f ( x) 的增区间为 ( - ? , ? ) ;??2 分 若 c > 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln c ,
x

??3 分

(??, ln c)

ln c
0

(ln c, ??)

f ?( x)





极小值 ?c ln c 增 减 所以函数 y ? f ( x) 的单调减区间为 (??,ln c) ,单调增区间为 (ln c, ??) .???5 分
f ( x)

(2)①令 g ( x) ? f (ln c ? x) ? f (ln c ? x) ? c(e x ? e? x ) ? 2cx .……6 分 则 g ?( x) ? c(ex ? e? x ) ? 2c≥2c ? 2c ? 0 ,且 g ?( x) ? 0 仅在 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 R 上单调递增.……8 分 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f (ln c ? x) ? f (ln c ? x) . …………9 分 ②因为 c ?1 ,所以 f (ln c) ? ? c ln c ? 0 . ……………………………11 分

而 f (?1) ? e?1 ? 0 ,所以 f (ln c) ? f ( ?1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1,ln c) 内存在一个零点, ……………………………13 分 取 f (2ln c ? 1) ? ec2 ? 2c ln c ? 2c ? c(e c ? 2ln c ? 2) ( c ? 1), 设 ? (c) ? ec ? 2 ln c ? 2 ( c ?1 ), ? ?(c) ? e ?

2 ?0 , c

所以 ? (c) 在 (1, ??) 上单调递增,所以 ? (c) ? ? (1) ? e ? 2 ? 0 . 从而 f (2ln c ? 1) ? c ? ?( c) ? 0 , 所以 f (ln c) ? f (2ln c ? 1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (ln c, 2ln c ? 1) 内存在一个零点.…16 分 (注:也可以取 f (2c ) 等. )
第 11 页 共 11 页



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