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导学案034一元二次不等式及其解法



济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 032

班级:高三(



姓名:

一元二次不等式及其解法
考纲要求 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式.

考情分析 1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题热点. 2.考查题型多为客观题,有时会在解答中出现交汇命题,着重考查二次不等式的 解法,属中、低档题. 教学过程 基础梳理 一元二次不等式的解集: “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx +c<0 的解集,可归纳为: 判别式 Δ =b2-4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0

二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象

一元二次方程 ax2+bx+c= 有两相异实根 (a≠0)的根 x=x1 或 x=x2

有两相同实根 x=x1

无实根

ax2+bx+c>0(a>0) 一元二 次不等 式的解 集 ax2+bx+c<0(a>0)

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济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 032

班级:高三(



姓名:

若 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 双基自测 1.(教材习题改编)不等式 x2-3x+2<0 的解集为 ( ) A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)
? 1? 2.设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为?x|-1<x<3?,则 ab 的值为 ? ?

( ) A.-3 C.6 B.-5 D.5

3.(2011· 福建高考)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实 数 m 的取值范围是 ( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

4.若 a<0,则关于 x 的不等式 x -4ax-5 a >0 的解是____________.

2

2

5.(教材习题改编)不等式 x2-2x+a>0 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 ________.

典例分析 考点一、一元二次不等式的解法 [ 例 1] (2011· 西 高 考 ) 若 f(x) = x2 - 2x - 4lnx , 则 f ′ (x)>0 的 解 集 为 江 ( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0)

变式 1.在本例中,若 f(x)变为:f(x)=x2-2x+ln(x+1),则 f′(x)>0 的解集 ________.

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济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 032

班级:高三(



姓名:

1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0), ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论; 若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 考点二、一元二次不等式恒成立问题 [例 2] (2012· 湖州模拟)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立, a 则 的取值范围为 A.(-∞,2] C.(-∞,2]∪[2,+∞)
3 3 3 3

( ) B.[2,+∞) D.[2,2] ( )
3 3

变式 2.(2012· 南宁模拟)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式

(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则 A.-1<a<1 C.-2<a<2
1 3

B.0<a<2 D.-2<a<2
3 1

变式 3.(2012· 九江模拟)若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解 集为(-∞,+∞),则实数 a 的取值范围是________;若关于 x 的不等式 x2-ax -a≤-3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________________.

1.对于二次不等式恒成立问题.恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的 区间上全部在 x 轴上方. 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在 x 轴下方. 2.解决恒成立问题还可以利用分离参数法. 考点三、一元二次不等式的应用 [例 3 ]。(2011· 淮南期末)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售 出 100 件.若售价降低 x 成(1 成=10%),售出商品数量就增加5x 成.要求售价不 能低于成本价.
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济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 032

班级:高三(



姓名:

(1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y= f(x),并写出 定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围.

解不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题.

一个技巧

一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号、 2-4ac 的符号 b 的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数 y =ax2+bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经 过不等式的同解变形后,化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0)的形式,其对 应的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1, 2, x1<x2)(此时 Δ =b2-4ac>0), x ( 则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集. 两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项 系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨 论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.

本节检测

2 ?x -1<0, 1.不等式组? 2 的解集为( ?x -3x<0

) B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}

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济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 032

班级:高三(



姓名:

2.(2012· 湘潭月考)不等式 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4)

4 ≤x-2 的解集是( x-2

)

B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范 围是 ( A.m>1 13 C.m<-11 B.m<-1 13 D.m>1 或 m<-11 )

4.已知二次函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数 f(x)在(-2,-1)上恰有一 个零点,则不等式 f(x)>1 的解集为( A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) ) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

5.(2012· 衡阳模拟)若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值集合是 ________.

1 1 6.若关于 x 的不等式 x2+2x-(2)n≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ]上恒成立, 则实常数 λ 的取值范围是________.

自我反思

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