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武汉市部分重点中学2011——2012高一上学期期中考试数学试卷



命题人:武汉开发区一中

郑志明

审题人:汉铁高中

魏红梅


在答题纸上。 )

I

一、选择题: (每小题5 分,共50 分,每小题的四个选项中,只有一项是正确的, 请将正确答案填
1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1

? 0} ,则下列式子表示正确的有( ①1 ? A A.1 个 ② {?1} ? A B.2 个 ③? ? A C.3 个 ) C.y= x ( ) D. a
2

) ④ {1,?1} ? A D.4 个

2.下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是( A. y ? ( x )
2

B.y= 3

x
3

3

x2 D.y= x

3.若 lg x ? lg y ? a, 则 lg( ) ? lg( ) ?
3

x 2

y 2

A. 3a

B.

3 a 2

C. 3a ? 2

4.如果函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上单调递减,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A、 a ≤ ?3 B、 a ≥ ?3
x

C、 a ≤ 5

D、 a ≥ 5 )

5.根据表格中的数据,可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是(

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2 B. (0,1)

1 2.72 3 C. (1,2) ,则

2 7.39 4

3 20.09 5 D. (2,3) ( )

A. (-1,0)

6.设 y1 ? 40.9 , y2 ? 80.48 , y3 ? ? ? A、 y3 ? y1 ? y2

?1? ? 2?

?1.5

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y2 ? y3

D、 y1 ? y3 ? y2

7.已知全集 U ? A ? B ? {x ? N x ? 7}, A ? (CU B) ? {2,3,5,7}.则元素 4 属于哪一个集合

判断正确的是( A. 4 ? A

) B. 4 ? B C. 4 ? B D. 不能确定

8.函数 f ( x) ? ?x? 例如, ?- 3.5? ? -4 , ?2.1? ? 2 ,当 的函数值表示不超过的最大整数, x

x ? ?3,4.5?时 , f ( x) ? x ,的解集为
A、 ?3,4? B、 ?4? C、 ?3?

( D、 (3,4.5]



9.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x)(实线表示),另一种是平 均价格曲线 y=g(x)(虚线表示)(如 f(2)=3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元 g(2)=3 表示 2 个小时内的平均价格为 3 元),下图给出四个图象:

其中可能正确的图象序号是_____ _____. A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.③

10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ,,若存在实数 t ,当 x ? [0, m] 时, f ( x ? t ) ? x 恒成立,则实数 m 的最大 值为 A. 1 . B.2 C.

2 2

D. 2

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.函数 y ? 12. f ( x ) ?

x?4 的定义域为 x?2
2 ,当 x ? [2,6]时 ,函数的最大值为 x ?1

.

13.已知 f(x)是偶函数,它在

?0,?? ? 上是减函数。若 f (lg x) ? f (1) 则 x 的取值范围是


4 14.已知函数 f ( x ? a) ? ( x ? 2) ? 16 ,且 f [ f (a)] ? 3 ,则 a ?

15. 函数 f ( x)取( x ? a) 2 , ( x ? a) 2 , ( x ? 2) 2 中的较大函数的值,其中 a 为非负实数, f (x) 的最 小值为 g (a ) ,则 g (a ) 的最小值为 .

三. 解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 )
16.已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,

(1)若 a ?

1 ,求 A ? B . 2

(2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

17.已知函数 f (x) ? log2 (2 ? 1) ,
x

(1)求 f(x)的定义域; (2)说明函数 f(x)的增减性,并用定义证明。

?4 ? x 2 ( x ? 0) ? 18.已知函数 f ? x ? ? ? 2( x ? 0) , ?1 ? 2 x( x ? 0) ?

(1)求 f ? a 2 ? 1? (a ? R), f ? f ? 3? ? 的值; (2)当 ?4 ? x ? 3 时,求 f ? x ? 取值的集合.

19.已知定义在 R 上的函数

y ? f ? x?

是偶函数,且 x ? 0 时, f (x) ? 2( x?1) .

(1)当 x ? 0 时,求 f ? x ? 解析式;
(2)当 x ? [?1, m](m ? ?1)时 ,求 f ? x ? 取值的集合.

(3)当 x ? [a, b]时 ,函数的值域为 [ , 2 ] ,求 a, b 满足的条件。

1 2

20.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,要继续向前滑行一段距离后才会停下, 这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能,对这种型号的汽车在国道公 路上进行测试,测试所得数据如下表。根据表中的数据作散点图,模拟函数可以选用 x 二次函数或函数 y ? ab ? c (其中 a, b, c 为常数) .某人用(0,0)(10,1.1)(30,6.9) , , 求出相关系数,用(60,24.8)验证,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明 理由.在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中,测得刹车距离为 14.4m,问汽车 在刹车时的速度大概是多少? ( 其 中 用 函 数 y ? ab ? c 拟 合 , 经 运 算 得 到 函 数 式 为 y ? 1.3 ? 1.85 ? 1.3 , 且 1.856 ? 40.1 )
x
x 10

刹车时车速 v/km/h 10 1.1 刹车距离 s/m

15 2.1

30 6.9

50 17.5

60 24.8

80 42.5

21.设函数 f ( x) ? x x ? a ? b . (1)当 a ? 1 , b ? 1 时,求所有使 f ( x) ? x 成立的 x 的值。 (2)若 f ( x) 为奇函数,求证: a 2 ? b 2 ? 0 ; (3)设常数 b < 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? ?0,1? , f ( x) <0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度高一上学期 期中考试数学答案
一、选择题:
题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 D 10 A

二、填空题:
11、 {x | x ? ?4且x ? ?2} 13、 ( 15、1 12、2 14、 ? 2 ? 4 19

1 ,10) 10

三、解答题:

17、解:(1) 依题意: 2 ? 1 ? 0
x

2 x ? 1 ? 20 ?x ? 0
f(x)的定义域为 {x | x ? 0} (2)f(x)的在定义域内为增函数。下面予以证明: 设任意 x1 ? x2 ? 0
2 x1 ?1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log
? x1 ? x2 ? 0
? 2 x1 ? 2 x2 ? 1

( 2 x1 ?1) 2

? log

( 2 x2 ?1) 2

2 ? log2 2 ?1
x

? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? 0

?

2 x1 ? 1 ?1 2 x2 ? 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
即函数 f(x)为定义域内增函数

19、解: (1)函数 y ? f ? x ? 是偶函数, ? f ( x) ? f ( ? x) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ? f ( x) ? f (? x) ? 2( ? x?1) 当 x ? 0 时 f ( x) ? 2( ? x?1) (2)当 ? 1 ? m ? 0时 , x ? [?1, m] , f (x) ? 2( ? x?1) 为减函数 f ? x ? 取值的集合为 [2 ?m?1 ,1]
当 0 ? m ? 1时 , x ? [?1, m] , f ( x ) 在区间 [?1,0] 为减函数,在区间 [0, m] 为增函数

且 f (?1) ? f (m) , f (?1) ? 1, f (0) ? 2 ( 0?1) ?

1 2

1 f ? x ? 取值的集合为 [ ,1] 2 当 1 ? m时 , x ? [?1, m] , f ( x ) 在区间 [?1,0] 为减函数,在区间 [0, m] 为增函数 1 且 f (?1) ? f (m) , f (0) ? 2 ( 0?1) ? , f (m) ? 2 ( m?1) 2

1 f ? x ? 取值的集合为 [ ,2 ( m ?1) ] 2 ? 1 ? m ? 0时 , f ? x ? 取值的集合为 [2 ?m?1 ,1] 综上:当 1 当 0 ? m ? 1时 , f ? x ? 取值的集合为 [ ,1] 2 1 ( m ?1) ] 当 1 ? m时 , f ? x ? 取值的集合为 [ ,2 2 1 (3)当 x ? [a, b]时 ,函数的值域为 [ , 2] , 2 1 由 f ? x ? 的单调性和对称性知, f ? x ? 的最小值为 , 2 ? 0 ? [a, b] , f (?2) ? f (2) ? 2 0 当a ? ?2时, ? b ? 2 ? 当b ? 2时, 2 ? a ? 0

21、解: (1)当 a ? 1 , b ? 1 时,函数 f ( x) ? x | x ? 1 | ?1 .

x | x ? 1 | ?1 ? x
x ? 1 或 x ? ?1 (2) 若 f ( x) 为奇函数,则对任意的 x ? R 都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,
即 ? x ? x ? a ? b ? x x ? a ? b ? 0, 令 x=0 得 b=0,令 x=a 得 a=0,∴ a 2 ? b 2 ? 0 (3)由 b < 2 2 ? 3 <0, 当 x=0 时 a 取任意实数不等式恒成立. 当 0<x≤1 时, f ( x) <0 恒成立,也即 x ? 令 g ( x) ? x ?

b b < a < x ? 恒成立. x x

b 在 0<x≤1 上单调递增,∴ a > gmax ( x) ? g (1) ? 1 ? b . x b 令 h( x) ? x ? ,则 h( x) 在 (0, ?b ] 上单调递减, [ ?b , ??) 单调递增 x b ? 1 当 b < ? 1 时, h( x) ? x ? 在 0<x≤1 上单调递减; x

∴ a < hmin ( x) ? h(1) ? 1 ? b ,∴ 1 ? b < a < 1 ? b .

2? 当 ?1 ≤ b < 2 2 ? 3 时

h( x) ? x ?

∴ a < hmin ( x) ? 2 ?b .∴ 1 ? b < a < 2 ? b .

b ≥2 ?b . x



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