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求函数解析式的几种常用方法



求函数解析式的几种常用方法
解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系, 与所选取的字母无关, 是函数与自变量 之间建立联系的桥梁.由已知条件求函数的解析式,是函数这部分内容的一个基本问题,它 不仅能深化函数概念, 还常常联系着一些重要解题思维方法和技巧, 也是高考常考的题型之 一.因此,对这个问题进行探讨是很有必要的.本文介绍几种求函数解析式的常用方法,供 同学们学习时参考. 一、换元法 如果已知复合函数 f [g(x)]的表达式时,常用换元法求出函数 f (x)的解析式.其解题 基本思路是:先令 g(x) = t,从中求出 x,再代入 f [g(x)]中即得 f ( x)的解析式.

1 1 2 ) = x + 2 ,求函数 f (x)的解析式. x x 1 1 1 2 1 2 解:t = x + ,又 x + 2 = (x + ) -2,且| x + |≥2,即| t |≥2. x x x x
例 1 已知 f (x + ∴ f ( t) = t -2
2

(| t |≥2),即 f ( x) = x -2

2

(| x |≥2).

评注:在用换元法解题时,一定要注意定义域的变化,注意前边的 x 与后边的 x 的区别 与联系.所求的函数关系要注明定义域. 二、特殊值法 当所给函数含有两个不同的变量时,常用特殊值代入法求 f (x)的解析式,其解题基本 思路是:令变量取某些特殊值,从而减少未知元,求出 f (x)的解析式. 例2 已知 f (x)是定义在 R 上的函数,且 f (0) = 1, f ( y-x) = f (y)-xe
3x ? y



求函数 f (x)的解析式. 解:取 x = y,则由已知等式,有 f (0) = f (x)-xe ∵ f (0) = 1,∴ f (x) = 1 + xe 三、构建方程法 通过赋予不同变量构造一组方程,通过解新旧方程的方法求出 f (x)的解析式. 例3 设 f (x)满足 2x f (x)-3 f (
4x 4x





1 2 ) = x + 1 ①,求函数 f (x) 的解析式. x

解: 用 x ②,

1 1 1 1 1 1 替换①式中的 x, 得2 即 2 f ( )-3x f (x) = + f ( )-3 f (x) = 2 + 1, x x x x x x
1 3 2 2 3 )得: f (x) =- - x- - 2 . x 5 5 5 x 5x

①、②两个方程联立,消去 f ( 四、待定系数法

如果已知函数解析式的结构时,常用待定系数法求 f ( x)的解析式,其解题基本思路 是:先设出 f ( x)的一般表达式,再根据已知条件确定出表达式中的参数即得 f ( x)的解 析式. 例 4 设 f (x)是 x 的二次函数,g(x) = 2 · f (x),且 g(x + 1)-g(x) = 2 求函数 f (x)和 g(x)的解析式. 解:设 f (x) = ax + bx + c (a≠0),则 g(x) = 2 ·(ax + bx + c). 由 g(x + 1)-g(x) = 2 2
x ?1 2 x ?1 2 x 2 x x ?1

·x ,

2

·x 得:
x 2 x ?1

2

·[a (x + 1) + b(x + 1) + c]-2 ·(ax + bx + c) = 2
2 2

·x ,

2

即 ax + (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x .这是关于 x 的恒等式,比较系数,得

?a ? 2 , ? ? ? 4a ? b ? 0 , ? 2a ? 2b ? c ? 0 . ?
2

?a ? 2 , ? ?b ??8 , ? c ? 12 . ?
x ?1

∴ f (x) = 2x -8x + 12 ,g(x) = 2

·(x -4x + 6).

2



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