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陕西省西安市长安区第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题



长安一中 2015~2016 学年度第一学期期末考试 高一数学试题
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2. 选择题每小题选出答 案后, 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效. 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答 在试题卷上无效. 4. 考试结束,请将答题卡上交. 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1. 已知集合 A ? x x ? 3n ? 2, n ? N , B ? ?2,3, 4,5, 6? ,则集合 A ? B 的元素个数为 ( A.1 ). B.2 C.3 D.4

?

?

?2015 x ? 2, x ? 0 ? 2. 若 f ? x ? ? ? 2 ,则 f [ f (0)] 的值为( ). ? ? x ? 1, x ? 0
A.2 B.1 C.0 D.-1

3.设 a ? 2?3,b ? 30.5,c ? log2 5, 则 a,b,c 的大小关系是( ). A. a<c<b B. a<b<c C. b<a<c D. b<c<a

4.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( A.1 ). B. ?1 C. ?2

x ? log2 ( x ?1) ,则 f (?1) ?

D. 2

5.关于不重合的直线 m, n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题:

1

①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ;② 若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n ; 其中正确命题的序号是( ). A.①② B.③④ C.①④ D.②③

6. 若 A(1,3, m) 、 B(m,3, 2) ,则 AB 的最小值为( ). A.

3 2

B.

1 2

C. 2
x

D.

2 2

7. 已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) 的,则函数 y ? f (2 ) 定义域为( ). A. {x x ? 1} B. {x x ? 1} C. {x x ? 0} D. {x x ? 0}

8. 已知等腰直角三角形的斜边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为( ). A.

2? ??? 3

B.

4? ??? 3

C. 2? ???? D. 4 2? ?

9.在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是( ).

10. 三视图如图所示的几何体的全面积是( ). A.2+ 2 B.1+ 2 C.2+ 3 D.1+ 3

1 1.若直线 l 与直线 y ? 2, x ? 4 分别交于点 P, Q ,且线段 PQ 的中点 坐标为 (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为( A. 1 B. ?1 ). C. ?3 D. 3
2

12.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切于第一象限的直线方程是( A. x ? y ? 2 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 2 ? 0

).

D. x ? y ? 2 ? 0

13.已知两个正四面体的表面积之比为 1:4,则其外接球的体积之比为( ). A.1:2 B. 1: 3 C.1:4 D.1:8

14. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , x1 , x2 为函数 y ? f ( x) ? x 的两个零点,且 满足 0 ? x1 ? x2 ? A. f ( x) ? x ? x1

1 .当 x ? (0, x1 ) 时,则( ) . a
B. x ? x1 ? f ( x) C. x ? f ( x) ? x1 D. x ? x2 ? f ( x)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 15.直线 3x ? my ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? n ? 0 的交点 为 (2, ?1) ,则坐标原点到直线

mx ? ny ? 5 的距离为____________.
16.直线 y ? 3x ? 1 被圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长等于__________. 17. 已知偶函数 f ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减, f (1) ? 0 .若 f (lg x) ? 0 ,则 x 的取值范围是 __________.
x 18. 若函数 f ( x ) ? 2016 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(注 意:在试题卷上作答 无效 ) ....... .. 19.(本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? kx . (1)若 k ? 2 ,求函数 f ( x ) 在 ?0,3? 上的最小值; (2)若函数 f ( x ) 在 ?0,3? 上是单调函数,求 k 的取值范围. 20.(本小题 12 分)如图,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在的平面,M 、 N 分别为 AB 、PC

3

的中点, ?PDA ? 450 . (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证:平面 PMC ? 平面 PCD ; 21. (本小题 12 分) 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P (万 元)和 Q (万元) ,它们与投入资金 x (万元)的关系有经 验公式: P ?

x 3 ,Q ? x. 5 5

今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投 入分别应为多少?能获得最大利润是多少? 22.(本小题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在 圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值. 23.(本小题 14 分)已知指数函数 y ? g ? x ? 满足: g ( ) ?

1 2

2 ,定义域为 R 的函数

f ? x? ?

1? g ? x? 是奇函数. m ? 2g ? x ?

(1)确定 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的解析式; (2)判断函数 f ? x ? 的单调性,并用定义证明; (3)若对于任意 x ?? ?5,5? ,都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? 2x ? ? 0 成立,求 x 的取值范围.

4

长安一中 2015~2016 学年度第一学期期末考试 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 题 号 答 案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 D 7 C 8 A 9 D 10 A 11 B 12 A 13 D 14 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 15.

2 2

16. 4

17. (

1 ,10) 10

18. (0, 2)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 19.(本小题 10 分) 解: (1)∵ k ? 2 , ∴ f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? ?( x ? 1)2 ? 1 ∵ x ??0,3? ∴由二次函数图像性质可知,当 x ? 3 时, f ( x ) 取得最小值 ?3 . ……5 分 (2)∵ 函数 f ( x) ? ? x2 ? kx 在区间 ?0,3? 上是单调函数 ∴ 函数 f ( x) ? ? x2 ? kx 的对称轴 x ? 即 …… 3 分

k 不在区间 ? 0,3? 内 2

……7 分

k k ?0 或 ?3 2 2 ∴k ? 0 或 k ? 6

……9 分 ……10 分

故 k 的取值范围为 ? ??,0? ??6, ??? 20.(本小题 12 分) (1)证明:取 PD 的中点 E,连接 AE,EN, ∵N 为 PC 中点,

5

∴EN 为△PDC 的中位线, 1 ∴EN// CD,又∵CD ? // AB,M 为中点, 2 ∴EN ? // AM.∴四边形 AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE. 又∵MN?平面 PAD,AE? 平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. ……6 分 ……3 分

(2)证明 ∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD. ∴PA⊥CD,PA⊥AD. ∵CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD. 又∵AE? 平面 PAD,∴CD⊥AE. ∵∠PDA=45°,E 为 PD 中点, ∴AE⊥PD.又∵PD∩CD=D, ∴AE⊥平面 PCD. ∵MN∥AE, ∴MN⊥平面 PCD, 又∵MN? 平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PCD. ……12 分 ……10 分 ……8 分

21.解:设对乙种商品投资 x 万元,则对甲种商品投资 (3 ? x) 万元,总利润为 y 万 元, 根据题意得 y ? 令t ? ……2 分

1 3 (3 ? x) ? x ( 0 ? x ? 3) 5 5

……5 分

x ,则 x ? t 2 , 0 ? t ? 3 .
……9 分 ……11 分

1 3 1 3 21 (3 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? ,( 0 ? t ? 3) 5 5 5 2 20 3 21 9 3 当 t ? 时, y min ? ,此时 x ? ,3 ? x ? 2 20 4 4
所以 y ?

由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品投资分别为 0.75 万元和 2.25 万元,获得 的最大利润为 1.05 万元. 22.(本小题 12 分)
6

……12 分

解: (1)易知曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为 (0,1),(3 ? 2 2,0) ,……2 分 故可设圆的圆心坐标为 C (3, t ) ,则有 32 ? (t ?1)2 ? (2 2)2 ? t 2
2 2 解得 t ? 1 ,则圆的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3 .

……4 分 ……6 分

所以圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 . ……7 分 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足方程组

?x ? y ? a ? 0 ? 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
消去 y 得到方程 2 x2 ? (2a ? 8) x ? a2 ? 2a ? 1 ? 0 ,
2 由已知可得判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0 ,

……8 分

? x1 ? x2 ? 4 ? a ? 由韦达定理可得 ? a 2 ? 2a ? 1 , x x ? ? 1 2 ? 2



……10 分

由 OA ? OB 可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,又 y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a , 所以 2x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 0 ,
2



由①②可得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0 . 故

a ? ?1 .

……12 分

23.(本小题 14 分)
1 1 解: (1)设 g ? x ? ? a ,? g ( ) ? a 2 ? 2 ,? a ? 2 2

x

? g ? x ? ? 2x

……2 分

? f ? x? ?

1 ? 2x , m ? 2 ? 2x

? f ? x ? 是奇函数,

7

? f ? ?1? ? f ?1? ? 0 ,


1 ? 2?1 1 ? 2 ? ?0, m ?1 m ? 4

解得 m ? 2

? f ? x? ?

1 ? 2x . 2 ? 2 ? 2x

1 ? 2x 经检验 f ? x ? ? 为奇函数 2 ? 2 ? 2x
(注:如果用 f (? x) ? ? f ( x) 推出解析式可不需验证)

? f ? x? ?

1 ? 2x 2 ? 2 ? 2x

……4 分

(2)任取 x1 , x2 ? R , x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2 x2 ? 2 x1 ? ? 2 ?1 ? 2 x1 ? 2 ?1 ? 2 x2 ? ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ?

……6 分

? x1 ? x2 ,? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 ,又? 1 ? 2x1 ? 0 , 1 ? 2x2 ? 0 ,

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
所以 f ? x ? 是定义在 R 上的减函数. (3)? f ?1 ? x ? ? f ?1 ? 2x ? ? 0 且 f ( x ) 为奇函数

……8 分 ……9 分

? f ?1? x ? ? f ? 2x ?1?
?由(2)可知 1 ? x ? 2 x ? 1

……11 分

?x ?

2 3

……12 分

又? x ?? ?5,5?

? ? x?5
8

2 3

所以 x 的取值范围是 ?

?2 ? ,5 . ?3 ? ?

……14 分

9



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