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2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)



2017 年镇海中学数学竞赛模拟试卷 (1 )
一、填空题

姓名_______
1 ) ? ____________. a

l n a) ? f ( l n 1、已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 1 (a ? 0) , 则 f(

2、A,B 两点分别在抛物线 y 2 ? 6 x 和 ⊙C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上,则 AB 的取值范围是 ____________.

3、若 tan? ? 3 tan β ? 0 ? ? ? ? ?

? ?

??

? ,则 ? ? ? 的最大值为____________. 2?

4、已知△ ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角,AC=BC=1,过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB,使得 DB=1,在 DA、DC 上分别取点 E、F,则△ BEF 周长的最小值为____________.

5、已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,对任意的 m ? ?? 2,2?, f (mx? 8) ? f (2 ) ? 0 恒成立,则正 .
3 x

实数 ..x 的取值范围为____________.

1/7

6、已知向量 a,b,c 满足 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3(k ? N * ) ,且 b ? a ? 2(c ? b) ,若 ? 为 a,c 的夹 角,则 cos? 的值为____________.

7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为 ____________.

8、将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无 论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题 9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 向 量 p ? ?sin A ? sin C, sin B? ,向量 q ? (a ? c, b ? a) ,且满足 p ? q . (Ⅰ)求△ ABC 的内角 C 的值; (Ⅱ)若 c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ ABC 的面积.

2/7

2 10.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ?满足: a1 ? 2,an?1 ? an ? 2an .

(1)求证:数列 ?lg( an ? 1)?是等比数列,并求 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ?

1 1 ,且数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . ? an an ? 2

11.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e x ? ax ? a .(e 是自然对数的底数) (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: (
? 2015 1008 ) ?e 2. 2016 1

3/7

12.(本小题满分 15 分)设正数 x,y 满足 x3 ? y3 ? x ? y ,求使 x 2 ? λ y2 ? 1 恒成立的实数 ? 的 最大值.

13.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C :

1 x2 ? y 2 ? 1及点 P (1, ) ,过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 2 2

A、B 两点,过 A、B 两点分别作 C 的切线交于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)求△ ABQ 的面积的最小值.

4/7

2017 年高中数学竞赛模拟试卷(1)答案
1.【解析】

f ( x) ? f (? x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 2 ? ln(1 ? a 2 x 2 ? a 2 x 2 ) ? 2 ? 2 . 2.【解析】由于 AB ? AC ?1 ,则只需要考虑 AC 的范围.
故 AB 的取值范围为 ?1 , ? ?? . 3.【解析】 tan?α ? ? ? ?

AC ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 6 x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3, 又x ? 0, 故 AC min ? 2,

2

tan? ? tan ? 2 tan ? ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? 3 tan2 ?

2 1 ? 3 tan ? tan ?

?

3 ? ? tan 3 6

π π ? ?0 ? β ? α ? , ?0 ? α ? ? ? . ? α ? β ? . 2 2 6
4.【解析】由题意可知, ?CDB ? 之和为

?

? . 如图,将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面 2 且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则△ BEF B1DA 和 B2 DC , 周长的最小值即面 AB1DB2C 上两点 B1 , B2 之间的线段长.
由 前 面 的 分 析 可 知 ,

4

,且∠BDA 与∠CDA

?B1 DB 2 ? ?B1 DA ? ?ADC ? ?CDB 2 ?

π π 3π ? ? , 2 4 4
? 2 ?

2? 由余弦定理可得, B B ? B D 2 ? B D 2 ? 2B D ? B D ? cos?B DB ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ?

所以,△ BEF 周长的最小值为 2 ? 2 .

f (mx? 8) ? ? f (2 x ) ? f (?2x ) 即 m x ? 8 ? ?2 x 即 mx? 2 x ? 8 ? 0 对任意的 m ? ?? 2,2? 成
x ? ?0 ? x ? 2 ?2 x ? 2 ? 8 ? 0 ,所以 ? ,即 0<x<2 x ?? 2 x ? 2 ? 8 ? 0 ?0 ? x ? 4 ? 2 1 2 1 2 4 2 4 6.【解析】由 b ? a ? 2(c ? b) 得 b ? a ? c 所以 b ? a ? c ? a ? c , 3 3 9 9 9 40 24 16 64 2 ? cos ? ? [ , ] ,又 k ? N * ,所以 k=2,所以 又 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3 ,所以 k ? 9 9 9 9 1 cosα 的值为 ? . 6

5.【 解 析 】 f ( x) ? x ? 3x 为 奇 函 数 且 为 增 函 数 f (mx? 8) ? f (2 ) ? 0 等 价 于
3 x

立即 ?

7.【解析】这 10 个小球成棱锥形来放,第一层 1 个,第 2 层 3 个,第 3 层 6 个,即每一条 棱是 3 个小球, 于是正四面体的一条棱长就应该是 4 倍的小球的半径加上 2 倍的球心到四面 体顶点的距离到棱长上的射影的长度,又球心到顶点的距离为 3,正四面体的高和棱所成角 的余弦值为

6 6 ? 4?2 6 . ,故容器棱长的最小值为 4 ? 2 ? 3 ? 3 3

8.【解析】法 1:如果只有 2 个小球(1 黑 1 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率 为

1 1 ;如果只有 4 个小球(2 黑 2 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ;如果 2 3
5/7

只有 6 个小球(3 黑 3 白),则黑球的个数总不少于白球个数的概率为

1 ;以此类推,可知 4

将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球.无论数 几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为

1 ; 6

法 2:直接从 10 个小球入手分类讨论. 9.【解析】(Ⅰ)由题意 p ? q ,所以, ?a ? c??sin A ? sin C ? ? ?b ? a ?sin B ? 0 . 由正弦定理,可得 ?a ? c ??a ? c ? ? ?b ? a ?b ? 0 .整理得 a ? c ? b ? ab .
2 2 2

π a 2 ? b2 ? c2 1 ? ,又 C ? ?0, ? ? ,所以, C ? ……6 分 3 2ab 2 (Ⅱ)由 2 sin 2 A ? sin?2B ? C ? ? sin C 可得, 4 sin A cos A ? sin ?B ? π ? A? ? sin ?B ? A?. 整理得, 4 sin A cos A ? sin?B ? A? ? sin?B ? A? ? 2 sin B cos A .
由余弦定理可得, cosC ? 当 cos A ? 0 时 , A ?

π π 2 3 , 此 时 , b ? 2 cot ? . 所 以 △ ABC 的 面 积 为 2 3 3

1 2 3 当 cos A ? 0 时,上式即为 sin B ? 2 sin A ,有正弦定理可得 b=2a,又 S△ABC ? bc ? 2 3 2 3 4 3 a 2 ? b 2 ? ab ? 4 , 解 之 得 , a ? , b? , 所 以 △ ABC 的 面 积 为 3 3 1 2 3 . S△ABC ? absin C ? 2 3 1 2 3 综上所述,△ ABC 的面积为 S△ABC ? absin C ? . ……14 分 2 3 2 2 10.【解析】(1)由已知得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ?1 ? ?an ?1? , 因为 a1 ? 2 ,所以 an ? 1 ? 1 ,两边取对数得 lg?1 ? an?1 ? ? 2 lg?1 ? an ?, lg?1 ? an?1 ? 即 ? 2 ,故 ?lg?an ? 1??为以 lg3 为首项,2 为公比的等比数列, lg?1 ? an ?
即 lg?an ? 1? ? 2n?1 lg 3 ,即 an ? 32
n?1

?1 .

……5 分

1 1? 1 1 ? ?, ? ? ? ? an ?1 2 ? an an ? 2 ? ? ?1 1 1 2 1 ? ? 所以 ,即 bn ? 2? ……10 分 ? ? ? ? ?, an ? 2 an an ?1 ? an an ?1 ? 1 ? ?1 故 S n ? 2? ? n ……14 分 ? ,故 Sn ? 1 . 2 ? 2 3 ?1 ? n?1 1 1 2 ? 32 1 1 1 ? ?1 法 2: bn ? n ? 2n ? 2n ? 2( 2n?1 ? 2n ) ,则 S n ? 2? ? 2n ? ?1. 2 3 ?1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? 2 3 ?1 ? ex ?x ? ?1? , 11.【解析】(Ⅰ) f ( x) ? 0 ? ?x ? 1?a ? e ? a ? x ?1 ex xex xex ? 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? ,由 h ( x ) ? ? 0 得 x>0. x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 所以 h(x)在 ?0, h(x)在(-1,0)单调递减.所以 h( x) ? h(0) ? 1?x ? ?1? , 由此得: ? ??上单调递增,
2 (2)法 1:由 an?1 ? an ? 2an 两边取倒数得

6/7

a ? 1 .又 x=-1 时, ?x ? 1?a ? e x 即为 0 ? a ? e ?1 ,此时 a 取任意值都成立. 综上得: a ? 1 . ……8 分 1 1 1 ? ? ? 2015 1008 2015 1 ) ?e 2 ? ? e 2016 ? 1 ? ? e 2016 . (Ⅱ) ( 2016 2016 2016 x 由(Ⅰ)知,当 a=1 时 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,即 e ? x ? 1 (x=0 时取等号).
取x??
? ? 1 1 2015 1008 ? e 2016 .即证得: ( ) ?e 2. ,得 1 ? 2016 2016 2016 1 1

……14 分

12【解析】由正数 x,y 满足 x3 ? y 3 ? x ? y ,知 x ? y ? 0 .令 t ? 不 等 式

x ? 1. y
, 等 价 于

x 2 ? λ y2 ? 1







x 2 ? λ y2 ?

x3 ? y 3 x? y

x3 ? y 3 x2 y ? y3 x2 y ? y3 ,等价于 ? x2 ? λ? ?x ? y ? y 2 x? y x? y x2 ? y2 t 2 ?1 2 等价于 .因为 f (t ) ? t ? 1 ? 2 ? (t ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 (t ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 2 , λ? ? 2 xy ? y t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 2 等号仅当 t ? 1 ? ,即 t ? 1 ? 2 时成立, t ?1 所以,实数 ? 的最大值为 2 ? 2 2 . ……15 分 13.【解析】(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ) , xx xx x x 则 QA : 1 ? y1 y ? 1 过 Q , 有 1 0 ? y1 y0 ? 1 ; … … ① QB : 2 ? y2 y ? 1 , 有 2 2 2 x2 x0 x0 x 1 ? y2 y0 ? 1 ,……②故直线 AB : ? y0 y ? 1 过点 P (1, ) ,则有 2 2 2 x0 y0 ? ? 1 ? x0 ? y0 ? 2 ……③故 Q 的轨迹方程为 x+y=2. ……5 分 2 2 2 2 (2)对直线 AB,当斜率不存在时,即为 x=1,此时 A(1, ), B(1,? ), Q(2,0) 2 2 1 2 S△ABQ ? ? 2 ?1 ? 2 2 1 1 斜率存在时,设直线 AB : y ? ? k ( x ? 1) ? y ? kx ? ? k . 2 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2 3 ? 2 2 2 联立,消掉 y 得 (2k ? 1) x ? 2k (1 ? 2k ) x ? (2k ? 2k ? ) ? 0 . ? 1 2 ? y ? kx ? ? k 2 ? 2k (2k ? 1) ? ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 ? 于是有 ? 3 2k 2 ? 2k ? ? 2 ? x1 x2 ? 2 2k ? 1 ? x0 4k 2 ? ky 0 ? 0 与③式联立,可解得 Q( , ). 又①-②,得到 ……10 分 2 2k ? 1 1 ? 2k λ y2 ?
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