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2016奉贤区高三数学一模试卷和答案


2016 奉贤区高三数学一模试卷和答案
2016.1 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 56 分本大题,共有 14 题) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1-14 题每个空格填对得 4 分 1、复数 i ?1 ? i ? ( i 是虚数单位)的虚部是__________. 2、已知点 A ? ?1,5? 和向量 a ? ? 2,3? ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为__________. 3、方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为__________.
x x
2 4、已知集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x y ? lg x ,则 M ? N =__________.

?

?

?

?

?

1? ? 2 5、若 ? x ? ? 展开式中含 x 的项的系数是__________. x? ?
6、若圆 x? ? y ? ? ?x ? ? y ? ? 被直线 ?x ? y ? a ? ? 平分,则 a 的值为__________. 7、若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,则 p ? _________. 8、数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015 项的
2

8

和为__________. 9、函数 y ? 3 cos x ? sin x , x ? ? ?

? ? ? , ? 的值域是__________. ? 3 ? ?

10、已知 a , b 是常数, ab ? 0 ,若函数 f ( x) ? ax3 ? b arcsin x ? 3 的最大值为 10,则 f ( x) 的最小值 为__________.

?? ? ? 在 ? , ? ? 上单调递减,则正实数 ? 的取值范围是_________. 4? ?2 ? 1 5 3 12、设 ?、? 都是锐角, cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ,请问 cos ? 是否可以求解,若能求解,求出 7 14
11、函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

??

答 案 , 若 不 能 求 解 简 述 ________________________________________________________________________ _________________________________________________.





2 13、不等式 ? x ? 1? x ? 4 x ? 3 ? 0 有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系中作出

?

?

y1 ? x ? 1和 y2 ? x ? 4x ? 3 的图像然后进行求解,请类比求解以下问题:
2

设 a , b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 ( ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ,则 a ? b ? __________.
2

14、线段 AB 的长度为 2,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动,以线 段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD (顺时针排序), BC ? 1 ,设 O 为坐 标原点,则 OC ? OD 的取值范围是__________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、下面四个条件中,使 a b 成立的必要而不充分的条件是????() .

A. a ? 1 ? b

B. 2a ? 2b

C. a2 ? b2

D. lg a ? lg b

16、已知数列 an ? n ? sin

n? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ????() . 2 A. ?48 ; B. ?50 ; C. ?52 ; D. ?49

17、已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等,那么这样的直角三角形有? () . A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 18、设函数

f ( x) ? min{x 2 ? 1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中的最小者.

若 f ( a ? 2) ? f ( a ) ,则实数 a 的取值范围为????() .

A. ? ?1,0? ; B. ? ?2,0? ; C. ? ??, ?2? ? ? ?1,0? ; D. ? ?2, ?? ?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19、如图,已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1 , BC ? 2 , PD ? 平面 ABCD ,且 PD ? 3 , PB 的中点 E ,求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小.(用反三角表示)

P

E

D

C

A

B

20、设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1) 、求 ?ABC 的面积; (2) 、求 a 的最小值.

A 2 5 , AB ? AC ? 3 ? 2 5

21、设三个数

? x ? 1?

2

? y 2 ,2,

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列,其中 ? x, y ? 对应点的曲线方程是 C .

(1)、求 C 的标准方程; (2)、直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N ,且满足 ?MON 为钝角,其中 O 为 直角坐标原点,求出 m 的取值范围.

22、已知函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,其反函数是 y ? f ?1 ? x ? . (1) 、若 y ? x 2 ? 1? x ?

1? ?1 ? ,求 y ? f ? x ? 并写出定义域 M ; 2? ?1 (2)、对于(1)的 y ? f ? x ? 和 M ,设任意 x1 ? M , x2 ? M , x1 ? x2 ,
求证: f

? ?

(3) 、若 y ?

?x 2 ? ? x1 ? x 2 ; f ?x ?和 y ? f ?1 ? x ? 有交点,那么交点一定在 y ? x 上.
?1

?x1 ? ?

f

?1

23、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn ? am , 则称 ?an ? 是“H 数列” . (1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ,判断 ?an ? 是否为“H 数列” ;

(2) 、等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,求证: ?an ? 是“H 数列” ; (3) 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 . 若 ?an ? 是“H 数列” ,求 q , r 满足的条件.

2016 年奉贤区高三数学一模参考答案
一、填空题(每题 4 分,56 分) 1、 1 ; 3、 log3 2 5、 56 ; 7、 2 2 ; 9、 ? ? 3, 2 ? ; 2、 B ? 5,14? ; 4、 ? 0,3? ; 6、 a ? 1 ; 8、 1209 ; 10、 ?4 ;

?

?

?1 5? ? ? 12、 ? ,? ? ? ? ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? ,? y ? cos x 在 ? 0, ? ? 上递减,而 cos ?? ? ? ? ? cos ? ,所以条件
11、 ? , ? 2 4 错误,不可解 13、 ?1 14、 ?1,3?

二、选择题(每题 5 分,20 分) 15、 A ; 16、 B ; 17、 C ; 三、解答题(12+14+14+16+18=74 分) 19、取 BC 的中点 F ,连接 EF , AF 、 AE

18、 C ;

? E 、 F 是中点,? EF 是 ?PBD 的中位线

? EF ∥ PB ? ?AEF (或者其补角)为异面直线 AE 与 PC 所成角 3 分
在 Rt ?PAB 中, PB ? 14, AE ?

14 2

5分

PC ? 10, EF ?

10 6分 2 5 14 AF ? 2 , AE ? , AE ? 7分 2 2

P

由余弦定理可知

D

E

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 cos ?AEF ? 2 AE ? EF
? 14 ? ? 10 ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?? 14 10 2? ? 2 2 4 35 ??AEF ? arccos 35
2 2

C
F

? ?

2

A

B

?

4 35 35

10 分

11 分

异面直线 AE 与 PC 所成角的大小 arccos

4 35 . 35

12 分

20、解: (1)因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ,所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5
3分

2分

sin A ?

4 5
又因为 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3

??? ? ??? ?

4分 5分 7分

bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
(2)? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
5 时 a 最小值是 2
14 分

当且仅当 b ? c ?

21、 (1) 、依题意:

? x ?1?

2

? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4
2分 3分

1分

所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆

2a ? 4,? a ? 2 . c ?1 4 分 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3 5 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

6分

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 (2) 、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
? ? 64m 2 ? 28 ? 4m 2 ? 12 ? ? 336 ? 48m 2 ? 0

7分

8分 9分

? m2 ? 7

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 得 x1 x2 ? 方法一

4m 2 ? 12 7

10 分

3m 2 ? 12 可计算 y1 y2 ? 7
由 ?MON 为钝角,则 OM ? ON ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

11 分

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? 7 7
2

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m 11 分

?

2 4m2 ?12 7
所以 m ?
2

?

? ? m 8m ? m
7

2

7m2 ? 24 ? ?0 7
13 分

12 分

24 7

??

2 42 2 42 ?m? , 7 7
?1

14 分

22、解: (1) 、f (2) 、 f
?1

?x ? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?
x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

3+2=5 分 7分 9分 10 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? , x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 (3) 、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ,? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ?b ? f ?a ?
当 a ? b ,显然在 y ? x 上 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 因此,若 y ? f ?x ? 和 y ? f
?1

12 分 13 分 15 分 16 分 16 分

? x? 的交点一定在 y ? x 上

23、解析:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ? 2n ? 1 是奇数, 2m 是偶数 ? 2n ? 1 ? 2m
当 n ≥ 2 时, Sn ? ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) (2) Sn ? na1 ? d ? 2dn ? d 2 2 对任意 n ? N? ,存在 m ? N? 使 Sn ? am ,即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

n(n ? 1) 2 n, n ? 1 是一奇一偶,?m 一定是自然数 10 分 (3) n ? 2 时 ?1? q? Sn ? an?1 ? r , ?1? q? Sn?1 ? an ? r m ? 2n ? 1 ?

8分

?1? q? an ? an?1 ? an ? 0
? an?1 ? qan
12 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t ? p
13 分

? ?2t ? n ? 1? ? an ? ? 14 分 n?2 ? ? p ? q ? n ? 2? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时, an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时

15 分

S n ? 2t ?

p 1 ? q n ?1 1? q

?

? ? 2t ?

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

,所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * 成立 ?an ? 是“H 数列”

n ? 1, S1 ? a1

p pq n?1 ? Sn ? 2t ? ? ? pq m?2 1? q 1? q ? q ? 2 , p ? 2t ,? r ? 4t ? 2t ? 2t , r ? 0 ? q ? 2, r ? 0, t ? 0 的正实数

18 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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