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2012-2013年海淀区高三年级第一学期期中数学试题(理科)解析版



海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 (理科) 2012.11

一、 选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.
1.已知全集 U =R ,集合 A ? {x | x 2 ? 1} ,则 ? A ? ( B U A. ( ??,1) B. ( ?1,1) ) D. ( ??,

?1) ? (1, ??)

C. (1, ??) C )

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是( A. f ( x ) ? ?

1 1 B. f ( x ) ? x C. f ( x ) ? x D. f ( x) ? tan x x 2 ??? ??? ? ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 O(0,0), A(0,1), B(1, 3) ,则 OA ? AB 的值为( B )
A. 1 B. 3 ? 1 C.

3

D. 3 ? 1

4. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? 2n ?1 ,则 a3 = ( D ) A. ?1 B. ?2 C ) C. ?4 D. ?8

5. sin15? ? cos15? 的值为( A.

1 6 6 3 2 B. C. D. 2 4 2 2 2 6.“ t ? 0 ”是“函数 f ( x ) ? x ? tx ? t 在 ( ??, ??) 内存在零点”的( A )
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? ?1, x ? 0, 7. 已知函数 f ( x ) ? ? 则不等式 xf ( x ? 1) ? 1 的解集为( D ) ? 1, x ? 0, A. [?1, ??) B. ( ??,1] C. [1,2] D. [?1,1]
8. 已知集合 M ? {( x, y ) | y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“好集合 ”. 给出下列 4 个集合:

1 ① M ? {( x, y ) | y ? } x ③ M ? {( x, y ) | y ? cos x}

x ② M ? {( x, y ) | y ? e ? 2}

④ M ? {( x, y ) | y ? ln x}

其中所有“好集合”的序号是( B ) A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. ? e x dx =___ e ? 1 _____.
1 0

高三数学(理科)试题第 1 页

10.设 a ? π0.5 , b ? log3 2, c ? cos2 ,则 a, b, c 从大到小的顺序为_____ a ? b ? c ________. ....

5 x2 ? 1 1 ( ? x ? 2 )的值域为_______ [2, ] ________. 2 x 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? ? 12.在 ?OAB 中,点 M 为边 AB 中点,若 OP / /OM ,且 OP ? xOA ? yOB( x ? 0) ,
11.函数 f ( x ) ? 则

y ? __1__ . x

y

13.已知函数 y ? g ( x ) 的图象可以由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右 平移 ? (0 ? ? ? π) 个单位得到,这两个函数的部分图象如图 所示,则 ? ? ____
π ____. 3
O
π 8
17π 24

x

14.数列 {an } 中,如果存在 ak ,使得“ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ”成立(其中 k ? 2, k ? N? ),则称

ak 为 {an } 的一个峰值.
(Ⅰ) 若 an ? ?3n 2 ? 11n ,则 {an } 的峰值为________10___________; ( Ⅱ ) 若 an ? t ln n ? n , 且 {an } 不 存 在 峰 值 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是

____

{t | t ?

1 1 或t ? , n ? N*且n ? 2} n ?1 ____. ln 2 ln( ) n

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? ?5, S5 ? ?20 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值. 解: (I)设 {an } 的公差为 d , 依题意,有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 联立得 ? ??????2 分

? a1 ? d ? ?5 ?5a1 ? 10d ? ?20

高三数学(理科)试题第 2 页

解得 ?

? a1 ? ?6 ?d ? 1

??????5 分

所以 an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7

??????7 分

(II)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ?

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

??????9 分



n(n ? 13) ? n ? 7 ,即 n 2 ? 15 n ?14 ?0 2

??????11 分

解得 n ? 1 或 n ? 14 又 n ? N* ,所以 n ? 14 所以 n 的最小值为 15 16. (本小题满分 13 分) ??????13 分

π 已知函数 f ( x ) ? 2cos2 x ? cos(2 x ? ) . 2 π (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 8
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间. 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2cos x ? cos(2 x ?
2

π ) 2
??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ??????7 分

? 2cos2 x ? sin 2 x

? 1 ? cos2 x ? sin 2 x
π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 π π π 所以 f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 ? 1 8 4 4 π (Ⅱ)因为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2π ?π 所以 T ? 2 π 3π ( ), (k ? Z) 又 y ? sin x 的单调递减区间为 2kπ ? , 2kπ ? 2 2 π π 3π 所以令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 4 2 π 5π 解得 kπ ? ? x ? kπ ? 8 8
高三数学(理科)试题第 3 页

??????9 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????12 分

所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 (kπ+ 17. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, ?A ? (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

π 5π , kπ ? ) , (k ? Z) 8 8

??????13 分

π , tan( A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 . 4

解: (I)在 ?ABC 中,因为 A ? B ? C ? π 所以 tan C ? tan[π ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) 因为 tan( A ? B) ? 7 , 所以 tan C ? ?7

??????1 分 ??????3 分 ??????4 分

sin C ? ? ?7 ? tan C ? cos C 又? ?sin 2 C ? cos2 C ? 1 ?
解得 | sin C |?

7 2 10

??????5 分

因为 C ? (0, π),

所以 sin C ?

7 2 10

??????6 分

(II)因为 A ?

π 1 ? tan B ?7 ,所以 tan( A ? B ) ? 1 ? tan B 4 3 4 3 5
??????8 分

解得 tan B ?

因为 C ? (0, π), 所以 sin B ?

??????9 分

由正弦定理

b c ? ,代入得到 c ? 7 sin B sin C

??????11 分

所以 S?ABC ?

1 bc sin A 2 1 π 21 ? ? 3 2 ? 7 ? sin ? 2 4 2

??????13 分

18.(本小题满分 13 分)
A M E P F D

高三数学(理科)试题第 4 页

B

N

C

如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. (Ⅰ)设 MP ? x 米, PN ? y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数 的解析式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解: (I)作 PQ ? AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y, EQ ? x ? 4 在 ?EDF 中, ??????2 分

EQ EF ? PQ FD
??????4 分

所以

x?4 4 ? 8? y 2

所以 y ? ? x ? 10 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8} (II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则

1 2

??????6 分

x 1 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 2 2
所以 S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? (4,8) , S ( x ) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

??????9 分

??????11 分 ??????13 分

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值.求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1, 求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值. 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a)
? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)]

??????2 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a 所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
高三数学(理科)试题第 5 页

x
f '( x) f ( x)

( ??, a )

a
0 极大值

(a, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?
?

?
?
??????4 分

?

所以 a ? 1

??????5 分

(II)因为 f ?( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

??????6 分

因为 ?m ?R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线 所以 f ?( x) ? ( x ?
2a ? 1 2 1 ) ? ? k 对 x ? R 成立 2 4

??????7 分

只要 f ?( x ) 的最小值大于 k 所以 k ? ?
1 4

??????8 分

(III) 因为 a ? ?1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立
2 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ?

1 6

??????9 分

当 0 ? a ? 1 时, 在 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 在 x ? (a,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减
1 3 1 2 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2

??????10 分

当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ?1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增
1 2 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ? , 6

??????11 分

当 ?1 ? a ? ? 当?

1 6 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6
高三数学(理科)试题第 6 页

当a ? ?

6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 . 6

??????14 分

综上所述,
1 6 2 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6 1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2

当 a ? 1 或 ?1 ? a ? ?

当a ? ? 当?

6 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

20.(本小题满分 14 分) 已知数集 A={a1 ,a2 , ???,an } ( 1 ? a1 <a2 < ???<an , n ? 2 )具有性质 P:对任意 的 k (2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak =ai +a j 成立. (Ⅰ) 分别判断数集 {1,3,4} 与 {1,2,3,6} 是否具有性质 P,并说明理由; (Ⅱ)求证: an ? 2a1 +a2 + ??? +an -1 (n ? 2) ; (Ⅲ)若 an =72, 求数集 A 中所有元素的和的最小值. 解:(Ⅰ)因为 3 ? 1 ? 1 , 所以 {1,3, 4} 不具有性质 P. 因为 2=1 ? 2, 3=1+2, 6=3 ? 3 ,所以 {1, 2,3, 6} 具有性质 P (Ⅱ) 因为集合 A={a1 ,a2 , ???,an } 具有性质 P: 即对任意的 k (2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak =ai +a j 成立, 又因为 1 ? a1 <a2 < ???<an , n ? 2 ,所以 ai ? ak ,a j ? ak 所以 ai ? ak ?1 ,a j ? ak ?1 ,所以 ak =ai +a j ? 2ak ?1 即 an ? 2an ?1 , an ?1 ? 2an ?2 , an ?2 ? 2an ?3 ,..., a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1 将上述不等式相加得 ??????6 分 ??????4 分

a2 + ??? +an ?1 +an ? 2(a1 +a2 + ??? +an ?1 )
所以 an ? 2a1 +a2 + ??? +an ?1 (Ⅲ)最小值为 147. 首先注意到 a1 =1,根据性质 P,得到 a2 =2a1 =2
高三数学(理科)试题第 7 页

??????9 分

所以易知数集 A 的元素都是整数. 构造 A={1, 2, 3, 6, 9,18, 36, 72} A={1, 2, 4, 5, 9,18, 36, 72} 或者 ,这两个集合具有性质 P, 此时元素和为 147. 下面,我们证明 147 是最小的和 假设数集 A={a1 ,a2 , ???,an }(a1 <a 2 < ??? <an ,n ? 2) ,满足 S ?
n
n

?a
i =1

i

? 147 最小(存在性

显然,因为满足

?a
i =1

i

? 147 的数集 A 只有有限个).

第一步:首先说明集合 A={a1 ,a2 , ???,an }(a1 <a2 < ???<an ,n ? 2) 中至少有8个元素: 由(Ⅱ)可知 a2 ? 2a1 , a3 ? 2a2....... 又 a1 =1 ,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 , 所以 n ? 8 第二步:证明 an ?1 ? 3 6 ,an ?2 ? 1 8a,n ?3 ? :9 若 36 ? A ,设 at =36 ,因为 an ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得 S ? 中一定不含有元素 a k ,使得 36<ak ? 72 ,从而 an ?1 ? 36 ; 假设 36 ? A ,根据性质 P,对 an ? 72 ,有 ai , a j ,使得 an ? 72 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 an , ai , a j 的元素, 从而 S ? (an ? ai ? a j ) ? 5a1 ? 149 ,矛盾, 所以 36 ? A ,进而 at =36 ,且 an ?1 ? 36 ; 同理可证: an ?2 ? 18, an ?3 ? 9 (同理可以证明:若 18 ? A ,则 an ?2 ? 18 假设 18 ? A . 因为 an ?1 ? 36, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an ?1 ? 36 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an ?1 ? ai ? a j ? 144 ,

?a
i =1

n

i

最小,在集合 A

高三数学(理科)试题第 8 页

而此时集合 A 中至少还有4个不同于 an , an ?1 , ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an ?1 ? ai ? a j ? 4a1 ? 148 ,矛盾, 所以 18 ? A ,且 an ?2 ? 18 同理可以证明:若 9 ? A ,则 an ?3 ? 9 假设 9 ? A 因为 an ?2 ? 18, 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 an ?2 ? 18 ? ai ? a j 显然 ai ? a j , 所以 an ? an ?1 ? an ?2 ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有3个不同于 an , an ?1 , an ?2 , ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an ?1 ? an ?2 ? ai ? a j ? 3a1 ? 147 ,矛盾, 所以 9 ? A ,且 an ?3 ? 9 ) 至此,我们得到了 an ?1 ? 36, an ?2 ? 18, an ?3 ? 9 . 根据性质 P,有 ai , a j ,使得 9 ? ai ? a j 我们需要考虑如下几种情形: ① ai ? 8, a j ? 1 , 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 a k ,才能得到元素 8, 则 S ? 148 ; ② ai ? 7, a j ? 2 ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 a k ,才能得到元素 7, 则 S ? 148 ; ③ ai ? 6, a j ? 3 ,此时集合 A={1,2,3,6,9,18,36,72} 的和最小,为 147; ④ ai ? 5, a j ? 4 ,此时集合 A={1,2,4,5,9,18,36,72} 的和最小,为 147. ???14 分

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 (理) 2012.11

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
高三数学(理科)试题第 9 页

题号 答案

1 B

2 C

3 B

4 D

5 C

6 A

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)

16.(本小题满分 13 分)

17. (本小题满分 13 分)

18.(本小题满分 13 分)

19.(本小题满分 14 分) 20.(本小题满分 14 分)

高三数学(理科)试题第 10 页



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