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高三第一轮复习数学不等式同步和单元试题8套



第六章 不等式

§6.1
一. 选择题 1.如果-1<a<b<0,则有( ) A) C)
1 a
1 b ? 1 a

不等式的概念和性质

<b <a
2 2

2

2

B)

>
1 b

?

1 a

<a <b
1 b
2

2

2

?

1 b

<b <a

D)

1 a

?

<a <b

2

2.若 0<a<1,则下列不等式中正确的是( ) A)(1-a) >(1-a) C)(1-a) >(1+a)
3 2 1/3 1/2

B)log (1 ? a ) (1+a)>0 D)(1-a)1+a>1 (3) a+d<b+c 则有( )

3.若 a、b、c、d 四个数满足条件: (1)d>c (2) a+b=c+d A)b>c>a>d C)d>b>a>c B)a>d>c>b D)b>d>c>a

4.当 x>y>0 时,比较 p=x3+13xy2 与 q=5x2y+9y3 的大小关系是( )

A)p>q C)p=q

B)p<q D)不能确定

5.如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下不等式正确的个数是( ) ① A)2 二.填空题 6.设 a ? 0 , b ? 0 ,则下面两式的大小关系为
lg( 1 ? ab ) __________ 1 2 [lg( 1 ? a ) ? lg( 1 ? b )]
1 a ? 1 b

② B)3

1 a

?

1 b

③ a b ? ab
3

3

④ a ? ab
3

2

⑤a b ? b
2

3

C)4

D)5

7 .b 克糖水中有 a(b>a>0)克糖,若再加入 m(m>0)克糖,则糖水变甜了,试根据这个事实提 练一个不等式__________
* 8, 已知 A n (n,a n )为函数 y= x ? 1 上的点,B n (n,b n )为函数 y=x 上的点,其中 n ? N ,

2

设 c n =a n -b n ,则 c n 与 c n ? 1 的大小关系为___________ 三.解答题
? 9.设 a、b、m、n ? R 且 m+n=1,试比较 ma ? nb 与

m

a ? n b 的大小。

10.甲、乙两车从 A 地同一路线到达 B 地,甲车一半时间的速度为 a,另一半时间的速度为 b;乙车用速度为 a 行走一半路程,用速度为 b 行走另一半路程。若 a≠b,试判断哪辆车先 到达 B 地。

11.设绝对值小于 1 的全体实数的集合为 S,在 S 中定义一种运算*,使得 a*b= 若 a.b 属于 S,则 a*b 属于 S

a?b 1 ? ab

,求证;

12,.已知 a ? 0 , bc ? a , a ? 2 ab ? c ? 0 试比较 a 、 b 、 c 的大小。
2 2 2

§6.2 一.选择题 1.若 a、b ? R , ab ? ( a ? b ) ? 1 ,则 ? A) 2 2 ? 2 C) 2 2 ? 2 2.函数 y ?
cos 4 2 x ? sin 9 2 x

算术平均数与几何平均数

a ? b 的最小值是(



B) 5 ? 2 D) 2 2 的最小值是( )

A)24
2

B)13
2

C)25
2

D)26
2 2 2 2 2

3, 已知α =lga lgb ,β =[lg(ab)] ≠b 则α 、β 、γ 的大小顺序为 A) γ <β <α B) γ <α <β

,γ =[lg(a +b )] ,其中 a>0、b>0、a +b <1 且 a

C) α <β <γ

D) α <γ <β

4,某公司租地建仓库,每月士地占用费 y 1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物费 y 2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 公里处建仓库,这这两项费用 y 1 和 y 2 分别 为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 A) 5 公里处 B) 4 公里处 C) 3 公里处 D) 2 公里处 5,要制作一个面积为 1m 形状为直角三角形的铁框架,有下列四种长度的铁管供选择,较 经济的(够用,且材料最省)是 A) 4.6m B) 4.8m C) 5m D )5.2m
2

二.填空题 6,一批救灾物资随 17 列火车以 v 千米/小时的速度匀速直达 400 千米处的灾区,为了安全 起见,两辆火车的间距不得小于 ( 7. 知 x、y? R ,则使 x ? ? 8. 已知关于 x 的方程 9 ____________. 9. 已知 a ? 0 , b ? 0 且 a 三.解答题 10. 设实数 x , y , m , n 满足条件 m
2 ?n 2 ? 1,x
2 ? y 2 ? 9 ,求 mx ? ny 的最大值。
2 ? b 2 ? 1 ,求 a 1 ? b

v 20

) 千米,问这批物资全部运到灾区最少需要_____小时

2

y ?t
x

x ? y 恒成立的实数 t 的取值范围是____________.
? 4 ? 0 有实数根,则实数 a 的取值范围是

x

? (4 ? a ) ? 3

2

的最大值________.

2

11.
a 4


?b 4

a
?c 4



b



c

























2 2 2 2 2 2 ? a b ?b c ?c a ? a

ba ? b ? c) ( c

12.已知 a 、 b 、 c 是不全相等的正数,求证:
b?c?a a ? c?a?b b ? a?b?c c ? 3

13,已知 a、b、c∈R,求证 a ? b ?
2 2

b ?c
2

2

?

c ?a
2

2

?

2 (a ? b ? c)

§6.3
一.选择题 1.下列不等式中正确的是( 1. A) 5
x
10

不等式证明(一)

55

? 10

5

B) 5

44

? 4

C) 3 ? 7 ? 10 ( x ? 1)
x x

D) cos

n

x ? sin

n

x (0<x<

?
4

,n ? N ? )

? 2. 设 a 、 b 、 c ? R ,那么三个数 a ?

1 b

、b ?

1 c

、c ?

1 a

( )

A)都不大于 2

B)都不小于 2 D)至少有一个不小于 2
x ? x ?1
2

C)至少有一个不大于 2 3. 在区间[
1 2

2 , 2 ]上,函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ( b 、 c ? R ) 与 g ( x ) ?

在同一点

x

取得相同的最小值,那么 f ( x ) 在区间[
A)

1 2 5 4

, 2 ]上的最大值是(



13 4

B) 4

C) 8

D)

4.设 a 、 b ? R ? , A ?
A) A ? B C) A ? B B) A ? B

a ?

b ,B ?

a ? b ,则 A 、 B 的大小关系为(



D) A ? B

5.设 a ? b ? c ? 0 , I 1 ?

(a ? c) ? b
2

2

,I2 ?

a

2

? (b ? c ) , I 3 ?
2

(a ? b) ? c
2

2



则下列各式中其值最小的是( )
A) I1I 3 B) I2I3 C ) I1
2

2

D) I2
2

2

6.已知 a 、 b ? R ,那么“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的( )
A ) 充要条件 C ) 充分不必要条件 B ) 必要不充分条件 D ) 既不充分也不必要条件
2 2

7.已知 p 、 q 是两个正数,且关于 x 的方程 x ? px ? 2 q ? 0 和 x ? 2 qx ? p ? 0 都有实 根,则 p ? q 的最小可能值是( )
A) 5 B) 6 C) 8 D ) 16

二.填空题 8.要建造一个容积为 8m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价应为 ________ 9.若 x 、 y 满足 y ? x ,则式 log
2
(2 ?2 ) 2
x y

3

元。 。

?

7 8

的符号是 ________

10.设 a ? b ? c ,若

1 a?b

?

1 b?c

?

m a?c

恒成立,则的取值范围为_______

三.解答题 9. 设 A=a+d,B=b+c,a>b>c>d>0 且 ad=bc,试比较 A,B 的大小。

10. 若 a 、 b 、 c ? R ? ,求证: lg

c a

? lg

c b

? lg

a b

? lg

b a

12.

已知 a、b、c ? R,求证: a ? b ? c ? 4 ? ab ? 3 b ? 2 c
2 2 2

12..设 a 、 b 为实数,求证:

1? a

2

? 4

1? b

2

?

1? (

a?b 2

)

2

13.已知正数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? 2 c ,求证: (1) c ? ab
2

(2) c ?

c ? ab ? a ? c ?
2

c ? ab
2

14, 已知 a 、 b 、 c 为正数,求证:
1 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1 b?c ? 1 c?a ? 1 a?b

§6.4

不等式证明(二)

一.选择题 1.若 x ? xy ? y ? 1 且 x 、 y ? R ,则 n ? x ? y 的取值范围是( )
2 2 2 2

A) 0 ? n ? 1

B) 2 ? n ? 3

C) n ? 2

D)

2 3

? n ? 2

2. 已知 a 、 b ? R ? ,则下列各式中成立的是( )
A)a
cos ?
2

b

sin ?
2

? a?b
2

B )a

cos ?
2

b

sin ?
2

? a?b
2

C ) cos ? lg a ? sin ? lg b ? lg( a ? b )
2

D ) cos ? lg a ? sin ? lg b ? l g (a ? b )
2

3, 设,y∈R,且 x +y =4,则

2

2

2 xy x? y?2

的最小值为
4 3

A) 2- 2 二.填空题 4, 若 f(n)= ____________

B )2+2 2

C) -2

D) ?

n ? 1 -n,g(n)=n2

n ? 1 ,φ (n)=
2

1 2n

,则 f(n),g(n),ф (n)的大小顺序为

5,设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1,其 中能推出:“a、b 中至少有一个实数大于 1”的条件是____________ 三.解答题 6,设 S ? 1 ?
1 2 ? 1 3 ? ??? ? 1 100

2

2

,求 S 的整数部分[ S ]。

| | 7,已知 f ( x ) ? x ? px ? q ,求证: | f (1) | , f ( 2 ) | , f ( 3 ) | 中至少有一个不少于
2

1 2



8,设二次函数 f ( x ) ? ax

2

? bx ? c ( a 、 b 、 c ? R 且 a ? 0 ) ,若函数 y ? f ( x ) 的图象与

直线 y ? x 和 y ? ? x 均无公共点。 (1)求证: 4 ac ? b ? 1
2

(2)求证:对于一切实数 x 恒有 | ax

2

? bx ? c | ?

1 4|a|

9, 知二次函数 f ( x ) ? ax
x ? f (x) ? 1 2
2

2

? bx ? c 有 f ( ? 1) ? 0 ,问是否存在实数 a 、 b 、 c 使不等式

(1 ? x ) 对一切实数都成立,并证明你的结论。

10 , 设 f(x)=|x -1| , 实 数 a 、 b 满 足 f(a)=f(b) 且 a<b, ① 求 证 :a+b<2 3f(a)=4f(
a?b 2

3

②若

),求 a、b 的值

11,已知 f(x)=

x ? 1 ,且 a≠b 求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|
2

12,设 y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件 f(-1)=f(1)=0,对任意的 u、v∈ [-1,1] 都 有 |f(u)-f(v)| ≤ |u-v| ① 证 明 : 对 任 意 的 x ∈ [-1,1] 都 有 x-1 ≤ f(x) ≤ 1-x ②证明:对任意的 u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1 否存在满足题设条件的奇函数 |f(u)-f(v)|<|u-v| |f(u)-f(v)|=|u-v| 当 u、v∈[0, 当 u、v∈[
1 2 1 2

③在区间[-1,1]上是

]

,1]

§6.5 绝对值不等式的解法及应用
1. 设 a,b∈R,ab<0,那么 A.|a+b|> |a-b| B.|a+b|<|a-b| ( ) D. |a-b|<|a|+|b| C. |a-b|<||a|-|b||

2. 下面四个式子中, (1)|a-b|=|b-a|, (2) |a+b|+|a-b|≥2|a| (3) 成立的有( )个

( ? a ) =a

2

(4)

1 2

(|a|+|b|)≥ | ab |

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

3. 若 不 等 式 |x-4|-|x-3| ≤ a 对 一 切 实 数 x ∈ R 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( A.a>1 ) B. a<1 C.a≤1 D. a≥1 ( )

4.若 2-m 与|m|-3 异号,则 m 的取值范围是 A. m>3 B.-3<m<3 C.2<m<3
2

D.-3<m<2 或 m>3

5.设|x-2|<a 时,不等式|x -4|<1,则正数 a 的取值范围是 6.不等式|
x 1? x

|>1 的解集为
2 2

7.已知|a|≤1,|b|≤1,那么|ab+ (1 ? a )( 1 ? b ) |与 1 的大小关系是 8. 已知|a|≠|b|,m=
|a |? |b | |a?b|
2

,n=

|a |? |b | |a?b|

,则 m,n 的大小关系是

9.若 a,b∈R,α ,β 是方程 x +ax+b=0 的两根且|a|+|b|<1,求证: |α |<1 且|β |<1

10.设 f(x)=x -x+b, |x-a| <1,求证:|f(x)-f(a)| <2(|a|+1)

2

11. 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [0, 1] 且 f(0)=f(1), 当 x1,x2 ∈ [0, 1] 时 , x1 ≠ x2 都 有 |f(x1)-f(x2 )|<|x1-x2|, 求证: |f(x1)-f(x2 )|<
1 2

§6.6 含参数的不等式

1. 已知函数 f(x)=x2+bx+c, 且 f(-1)= f(3).则:( A. f(1)>c> f(-1) C. f(1)< f(-1)<c B. D f(1)< c< f(-1) f(1)>f(-1)>c )
3 2

)

2. 在下列不等式中,一定成立的是:( A. 4 <8 .
8a 4b

B. a b >a b

a b

b a

C. a >a -a+1

D. ( 5 + 2 )m <

2

m

2

?1 3

2?

3. 若不等式 ax ? 2 ? 6 的解集为(-1, 2) . 则实数 a 等于: ( A. 8 B. 2 C. -4 D. -8

)

4. 设 a1, b1,c1, a2, b2, c2 均为非零实数, 不等式 a1x2+ b1x+c1>0 和 a2x2+ b2x+c2>0 的解集分别 为集合 M 和 N, 那么” A. 充要条件
a1 a2 ? b1 b2 ? c1 c2

”是”M=N”的: (

)

B. 必要非充分条件

C. 充分非必要条件 D. 既非充分也非必要条件

5. 已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数. 当 0<x<3 时. f(x)的图象如图所示, 那么不等 式 f(x)cosx<0 的解集点是: ( A. (-3, - B.( -
?
2

)
?
2

?
2

)∪(0,1)∪(

,3) ,3)
?
2

, -1) ∪(0,1)∪(

?
2

C. (-3,-1) ∪(0,1)∪(1,3) D. (-3, - 6. 不等式
ax x ?1

) ∪(0,1)∪(1,3)

? 1 的解集是 ?x x ? 1 或 x>1

? 则 a=

7. 设 f(x)=3ax-2a+1, 若存在 x0∈(-1,1). 使 f(x0)=0. 则实数 a 的取值范围是: 8. 若 (x) R 上的减函数, 且 (x) f 是 f 的图象过点 A(0,3), B(3,-1). 则不等式 f ( x ? ! ) ? 1 ? 2 的解集是: 9. a>0 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? 2 ? x ? 1

? 则 a:b:c=

10. 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-2, 1) .则不等式 ax2+(ax+b)x+c-a<0 的解集是: 11. 解关于 x 的不等式
c b? x

>a. (a>0. b>0 ,c≠0 )

12. 设 a≠b. 解关于 x 的不等式. a2x+b2(1-x) ≥ ?ax ? b (1 ? x ) ?

2

§6.7 不等式的应用
1. 下列函数中,最小值为 4 的函数是: ( A. y ? x ?
x

)
4

4 x

B. y ? sin x ?
?X
x

(0<x<л )
81 x

sin x

C. y ? e ? 4 e

D. y ? log 3 ? log
x
2

2. 点 P(x,y)在椭圆

?

y

2

? 1 上移动, 则 x+y 的最大值等于: (

)

9

4

A. 5

B.

3

C. 6.

D.

13

3. 某商场出售甲、 乙两种价格的笔记本电脑. 其中甲商品供不应求,连续两次提价 10%. 而乙 商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价 10%. 最后甲、乙两种电脑均以 9801 元售出, 若商场同时售出甲、乙两种电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是: ( A. 前后相同 C. 多赚 590.1 元 B. 少赚 598 元 D.多赚 490.5 元 ) )

4. 使乘积 ab 没有最大值的一个条件是:( A. a +b 为定值 C. a<0, b<0 且 a+b 为定值
2 2

B. a>0, b>0 且 a+b 为定值 D. a>0, b<0 且 a+b 为定值
2 2

5. a、b∈R+, 且 2a+b=1, 则 S= 2 ab ? 4 a ? b 的最大值是: (
2 ?1 2 2 ?1 2



A.

B.

2 ?1

C.

D.

2 ?1

6. 偶函数 y= f ( x ) , 奇函数 y= g ( x ) 的定义域均为 ?? 4 , 4 ? , f ( x ) 在 ?? 4 , 0 ? , g ( x ) 在 ?0 , 4 ? 上 的 图 象 如 图 , 则 不 等 式 -4 -2 o 4
f (x) g (x)

<0

的 解 集 为 :

(

)

A. ?2 , 4 ? C.

B. ? ? 2 , 0 ? ? ( 2 , 4 ) D. ? ? 2 , 0 ? ? ( 0 , 2 )

?? 4 , ? 2 ? ? ( 2 , 4 )

7.若 p=a+

1 a

+2 (a>0)

q=arccost (-1≤t≤1) 则下列不等式恒成立的是:( C. 4>p≥q
2

)

A.p≥л >q

B. p>q≥0

D. p≥q>0

8. 平面上的点 p(x,y),使关于 t 的二次方程 t ? xt ? y ? 0 的根都是绝对不超过 1 的实数, 那么这样的点的集合在平面区域的形状是: ( )

A.

B.

C.
2a ? 3 a ?1

D .则 a 的取值范

9. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f (1) >1. f ( 2 ) ? 围是 10. 已知定义域为 ?0 ,1? 的函数 f ( x ) 同时满足: ② f (1) ? 1 ③若 x1≥0

①对于任意 x∈ ?0 ,1? ,总有 f ( x ) ≥0

x2≥0. x1 + x2≤0 则有 f( x1 + x2)≥f( x1)+f( x2)

(1) 求 f ( 0 ) 的值. (2)求 f ( x ) 的最大值 (3)证明:满足上述条件的函数 f ( x ) 对一切实数 x,都有 f ( x ) ≤2x

§6.8 不 等 式 单 元 测 试 题
一. 选择题
1 2 (lg a ? lg b ) , R ? lg a?b 2

⒈若a﹥b﹥1,P= lg a lg b ,Q= A.R < P < Q B. P< Q < R 2.若 log
1
2

,则(



C. Q < P < R
1 1

D. P < R < Q
1

x ? log
1

3

y ? log
1

5

z ? 0 ,则 x 2 , y 3 , z 5 之间的大小关系是(
1 1 1 1 1 1 1 1



1

A. y 3 ? x 2 ? z 5

B. x 2 ? y 3 ? z 5 C. z 5 ? y 3 ? x 2 D. x 2 ? z 5 ? y 3

3.已知 ab ? 0 ,那么

a b

?1是

b a

? 1 的(



A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 B. C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.不等式 x ? 2 ? x 的解集为( )

A. ?x ? 2 ? x ? 2 ? B. ?x ? 1 ? x ? 2 ? C. ?x 0 ? x ? 2 ? 5.若 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 4 , 则有(
1 x? y 1 4 1 x 1 xy 1 y

D. ?x x ? 2 ?



A.

?

B.

?

?1

C.

xy ? 2

D.

?1

6.不等式 x ? log

3

x ? x ? log

3

x 的解集为(



A. ( 0 ,1) B. (1, ?? )

C. ( 0 , ?? )

D. ( 3 , ?? ) ) B. a ? b , ab ? 0 ?
1 a ? 1 b

7.下列命题中,不成立的是( A. a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ,

C. a ? b , ? c ? a ? c ? b , 8.在 ? ABC 中,三边为 a , b , c , 若 A.是锐角 B.是直角

D. a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , ?

a d

?

b c

1 1 1 , , 成等差数列,则边 b 所对的角( a b c



C.是钝角

D.不能确定 )
a
2

9.已知 a , b ? R , a ? b 且 a ? b ? 2 则(
a
2

A ab ?

?b 2 a
2

2

?1

B. 1 ? ab ?

?b 2

2

C.

ab ? 1 ?

a

2

?b 2

2

D. ab ? 1 ?

?b 2

2

10. 已知 f ( x ) ?
a?b

x 1? 1? x

a , , b 为两个不相等的正实数, 则下列不等式正确的是 (



) ? f ( ab ) a?b 2 ab a?b )? f( ) D. f ( ab ) ? f ( a?b 2 x 2 x 3 11.设函数 f ( x ) ? sin x , g ( x ) ? ? 9 ( ) ? 9 ( ) ? , x ? ( 0 , 2? ) 则使 g ( x ) ? f ( x ) 的 x 值 ? ? 4

Af(

a?b a?b ) ? f ( ab ) ? f ( ) C. f ( a?b 2 2 2 ab

) ? f ( ab ) ? f (

2 ab

)

B. f (

a?b 2

)? f(

2 ab

的范围是( A. ?0 , ?


? ? 3? ? B. ? , ? ?2 2 ?

?

C.

? ? 2? ? ?3 , 3 ? ? ?
2

D. ?

??

5? ? ? ?6 6 ? ,
2

12. 若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ( ? 2 ,1) 则不等式 ax 为( ) B. ( ? 3 ,1)

? ( a ? b ) x ? c ? a ? 0 的解集

A. ( ?? , ? 3 ) ? ( 3 , ?? ) C. 题号 答案
( ? 1, 3 )

D. ( ?? , ? 3 ) ? (1, ?? ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

二.

填空题
x? y 1? x ? y ,b ? x 1? x ? y 1? y , 则 a , b 的大小是

13.设 x ? 0 , y ? 0 , a ?
1 2

14.不等式 ?

x ? 2 x ? mx 的解集为 ?x 0 ? x ? 2 ? ,则实数 m 的值为
2

15 . 设 函 数 f ( x ) ?

x ? 1 , 在 f ( x ) 的 定 义 域 内 任 取 x1 ? x 2 则 有 : ①

( x1 ? x 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ② ( x1 ? x 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x 2 ? x1

? 0④

f(

x1 ? x 2 2

) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

中结论正确的是

16.某人要买房,则随楼层的升高,上下楼耗费精力增多,因此不满意度升高,当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n,但高处空气新鲜,噪杂音较小,环境较为安静,因此 随楼层升高, 环境不满意度降低, 设住第 n 层楼时, 环境不满意度为 三. 解答题
2 2 2

8 n

则此人应选



17.已知 ? ABC 三边为 a , b , c , 面积为 S,求证: c ? a ? b ? 4 ab ? 4 3 S

18.设 f ( x ) ? lg x , a , b 满足 f ( a ) ? f ( b ) ? 2 f ( ⑴
a ? 1 ? b,

a?b 2

) 其中 0 ? a ? b , 求证:



a ? 4b ? b

2

? 3

19.已知: f ( x ) ? lg( 1 ? x ) ? x 在 ?0 , ?? ? 上是减函数,解关于 x 的不等式:
1 x 1 x

lg( 1 ?

x?

)?

x?

? lg 2 ? 1

20 . 已 知 a ? 0 , 函 数 f ( x ) ? x ? a , x ? ?0 , ?? ?, 设 x 1 ? 0 , 记 曲 线 y ? f ( x ) 在 点
3

M ( x 1 , f ( x 1 )) 处的切线为 l , ⑴求 l 的方程;
1 3 1 3 1

⑵设 l 与 x 轴交点为 ( x 2 , 0 ) 证明:① x 2 ? a ,②若 x 1 ? a , 则 a 3 ? x 2 ? x 1

21 从边长 2 a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为 x 的正方形,然后折成一个无盖的长方 体盒子,要求长方体的高度 x 与底面正方形边长的比不超过正常数 t ,①把铁盒的容积 V 表 示为 x 的函数,并指出定义域;② x 为何值时,容积 V 有最大值。
x

22.已知 f ( x ) ? ax

2

? 2 bx ? 4 c , ( a , b , c , R ) ?
2 3 1 2

2 ⑴若 a ? c ? 0 , f ( x ) 在 ?? 2,? 上的最大值为
3 4

,最小值为 ?

,求证:

b a

? 2

⑵当 b ? 4 , c ?

时,对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 M (a ) 使得 x ? ?0 , M ( a ) ? 时,

都有 f ( x ) ? 5 问 a 为何值时, M ( a ) 最大,并求出最大值 M ( a ) ,证明你的结论

不等式答案

§6.1 1) A 2) A 3)D 4)A 5)B 6) ≤ 9)∵
2 2 2 ma+nb-(m a +n b ) =ma+nb-m a-n b-2mn ab =m(1-m)a+n(1-n)b-2mn ab =mn( a -

7)

a b

<

a ? m b? m

8) c n ? 1 < c n

b ) ≥0

2

∴当 a=b 时, ma ? nb =m a +n b 10)设甲乙的距离为 s,则 t 甲= ∴t 甲<t 乙 甲先到 11)∵ (
a?b 1 ? ab ) -1=
2

当 a≠b 时, ma ? nb >m a +n b
s 1 1 ( ? ) 2 a b

2s a?b

,t 乙=

∵t 甲-t 乙=-

s 2 ( a ? b ) ab

(a-b)

2

<0

( a ? b ) ? (1 ? ab )
2

2

(1 ? ab )

2

=-

(1 ? a )( 1 ? b )
2 2

(1 ? ab )

2

<0

∴|

a?b 1 ? ab

|<1

∴a*b∈s
a
2

12)∵bc>a >0∴b,c 同号∵a>0∴b=

2

?c 2a

2

>0 且 c>0 若 a=c,则 b=a=c,与 bc>a 矛盾

2

所以 a≠c,从而 b=

a

2

?c 2a

2

>

2 ac 2a

=c,再由 a <bc<b ,得 a<b,再由

2

2

a ? c =2ab>2 a
2 2

2

? c >a ? c>a
2 2

∴b>c>a

§6.2 答案: 1), A 2), C 3) ,B 4), A 5), C 6), 8 7), [2,+∞] 8 ,a≤-8
x 2 ?( ) 3 2

9,

3 2 4

13.
2

解:由 x
y 3 2 )
2

2

? y

2

x 2 y 2 x ? 9 ,得 ( ) ? ( ) ? 1 ,∵ m? ( ) ≤ 3 3 3

m

2

,

n? ( ) ≤
3

y

n ?(

以上上两式相加,∴

1 3

m

2

?n

2

?

1 9 2

(x

2

? y )
2

( mx+ny)≤

?1

即:mx+ny≤3 11. 证: ∵a +b ≥2a b ,b +c ≥2b c ,c +a ≥2a c 又 a , b , c 是互不相等的正数 ,以上三式相加 ∴a +b +c >a b +b c +c a , 同理可得:a b +b c +c a >ab?bc+bc?ca+ca?ab=abc(a+b+c) 12. 证明:左边= (
b a a b b a
2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2

b a

?

a b

)?(

c b

?
c b

b c

)?(
b c

a c

?

c a

)?3
a c c a



?

? 2

?

a b

? 2 ,同理

?

? 2,

?

? 2

又 ∵ a 、 b 、 c 是不全相等的正数 ∴上面三式的等号不能同时成立 从而左边 ? 6 ? 3 ? 3
2 2

故原不等式成立。
2 2 2

13, 证:∵a +b ≥2ab ∴2(a +b )≥(a+b) 同理: 2 ( c ? b ) ≥(b+c)
2 2

, ∴ 2 ( a ? b ) ≥(a+b) ,
2 2

2(a
2

2

? c ) ≥(c+a)
2

∴ a ?b ?
2 2

b ?c
2

2

?

c ?a

2

?

2 (a ? b ? c)

§6.3 答案: 1) C 2) D 3) B 4 ) C 5)D
bc d

6) C 7) B 8) 1760 9) + -b)+d-c >0

10,(-∞,4]

11. 解:∵ A-B= =
b (c ? d ) d

+d-(b+c)=(

bc

+ (d-c)=

d ( c ? d )( b ? d ) d

∴A>B 12. 证:∵ 左边-右边=(lgc-lga)(lgc-lgb)+ = (lgc) =(lgc) =(lgc2 2

1 4

(lga-lgb)
2

2

-(lga+lgb)lgc+lga·lgb+
lg a ? lg b 2

1 4

(lga-lgb)
2

-(lga+lgb)lgc+( ) ≥0
2

)

lg a ? lg b 2

∴左边≥右边 11. 证明:左边-右边= a ? b ? c ? 4 ? ab ? 3 b ? 2 c
2 2 2

?

1 4

(4a

2

? 4 b ? 4 c ? 16 ? 4 ab ? 12 b ? 8 c )
2 2

?
2 2

1 4

[( 2 a ? b ) ? 3 ( b ? 2 ) ? 4 ( c ? 1) ] ? 0
2 2 2

∴ a ? b ? c ? 4 ? ab ? 3 b ? 2 c
2

12.
1? a


2


2

:


2




2


?1?


a
2


2







,









:

? 1 ? b ? 2 (1 ? a )( 1 ? b ) 2

? b ? 2 ab 4

只要证:

(1 ? a )( 1 ? b ) ? 1 ? ab
2 2

若 1 ? ab ? 0 ,上式显然成立,从而原不等式成立; 若 1+ab>0,则只要证: 1 ? a ? b ? a b ? 1 ? 2 ab ? a b
2 2 2 2 2 2

只要证: ( a ? b ) ? 0
2

上式显然成立,从而原不等式成立 13.已知正数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? 2 c ,求证: (1) c ? ab
2

(2) c ?
2

c ? ab ? a ? c ?
2

c ? ab
2

证明: (1)由已知得 c ?

a

2

? b ? 2 ab
2

?

2 ab ? 2 ab 4

? ab

4

(2)要证 c ? 只需证 ? 只需证 只需证 只需证 ∵ a ?0
2

c ? ab ? a ? c ?
2 2

c ? ab
2

c ? ab ? a ? c ?
c ? ab
2
2

c ? ab

| a ? c |?
2

a ? 2 ac ? c

? c ? ab
2

a ( a ? b ) ? 2 ac

∴ 只需证

a ? b ? 2c

由于这是已知条件且以上各步都可逆,从而原不等式成立。 14, 证明:∵
1 2a ? 1 2b ? 2 a?b ? b ( a ? b ) ? a ( a ? b ) ? 4 ab 2 ab ( a ? b ) ? (a ? b)
2

2 ab ( a ? b )

? 0

2b a?b 2b 2c 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 三式相加,化简得 2a 2b 2c b?c c?a a?b 2a 1



1

?

1

?

2

同理可证

1

?

1

?

2 b?c



1 2c

?

1 2a

?

2 c?a

§6.4 答案:1)D 2) C 3) B 4) g(n)>φ (n)>f(n)
n ?
2 n ? 1 n 1 2 1 3 1 100 n ?1

5) ③

6,解:∵当 n≥2 时,
2 n ? n ?1

n ? 1 <2

n <

n ?

n ?1

<

1 n

<

即: 2 ( n ? 1 ?

n)<

< 2( n ?

n ? 1)

从而, 2 ( 3 ?

2) <

< 2( 2 ? 1)

2( 4 ?

3) <

< 2( 3 ?

2)

2 ( 101 ?

100 ) <

< 2 ( 100 ?

99 )

? ? ? ? ? ? 1+ 2 ( 101 ?
2 ) <1 ?
1 2 ? 1 3 ? ??? ? 1 100
2)

<1+ 2 ( 100 ? 1 )

1+ 2 ( 100 ? 1 ) <19, 18<1+ 2 ( 101 ? 所求整数部分为 18 7,

证明:假设结论不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都少于 ∵f(x)=x+px+q∴ |1+p+q|<
1 2 1 2 1 2

1 2

|4+2p+q|< |9+3p+q|<

∴ 2=|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|< 故假设不成立,从而原不等式成立

1 2

+

1 2

+2?

1 2

=2 矛盾

8, 解:①由 ax +(b-1)x+c=0 无实根,得Δ 1 =(b-1) 由 ax +(b+1)x+c=0 无实根,得Δ
2

2

2

-4ac<0

2

=(b+1)

2

-4ac<0,

两式相加得:4ac-b >1,
b 2a b 2a

2

②∵4ac-b >1>0,∴a(x+

2

) 与

2

4 ac ? b 4a

2

同号,
4 ac ? b 4a 4 ac ? b 4a

∴|ax+bx+c|=|a(x+
1 2

) +

2

4 ac ? b 4a

2

|=|a|(x+

b 2a

2

2

) +

2



>

1 4a

9,解: ∵x≤f(x)≤ 令 x=1,

(1+x )对 x∈R 恒成立, a+c= b=
1 2 1 2 1 2 a?c 2
2

2

f(1)=1 又由 f(-1)=0 得

再由 f(x)≧x ? ax 2

x+c≧0

上式恒成立,则Δ = ∴ac=
1 16

1 4

-4ac≦0,即 ac≧
1 4
3

1 16

,又 ac≤(
1 2

) =

2

1 16

从而 a=c=

f(x)=

1 4
3

x +

x+

1 4

10,解:①∵f(a)=f(b),即|a -1|=|b -1|, ∴a -1=b -1 或 a -1=1-b ,即 a=b 或 a +b =2 ∵a<b,∴a +b =2, 假设 a+b≥2,即 a≥2-b,∴a ≥8-12b+6b -b 即 6b -12b+8-(a +b )≤0,即(b-1)
3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

≦0

∴b=1,再由 a +b =2 知 a=1,这与 a<b 矛盾 ∴a+b<2 ②由已知得: a +b =2 及 a<b 知 a<1 3f(a)=4f(
3 2 3 3


a?b 2
2

a?b 2 a?b 2 b 2

<1,
3


)
3

) ? 3|a -1|=4| (
3

)

3

-1| ? 3(1-a )=4[1- ( a=0
3 3

a?b 2

] ? a=0 或

2a =a b+ab ? a=0 或 a=b(舍去)或 a=-





a=0 b= 3 2

a +b =2



a +b =2

3

3

a=-

1 2

3

16 7

a=-

b 2

b= 3

16 7

11 , 证 明 :|
(a ? b)a ?b a ? b

1? a

2

?

1? b

2

|=

a?b a?b 1? a
2

<
2

a?b a?b a ? b



?

1? b

=|a-b|

12, 证明:①由题意知,当 x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x 即 x-1≤f(x)≤ 1-x ②证明:对任意的 u、v∈[-1,1],当|u-v|≤1 时,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1 当|u-v|>1 时,不妨设 u<v 则 v-u>1,所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤ |u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1 综上可知,对任意的 u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1 ③ 满足条件的函数不存在,理由如下:假设存在函数满足条件:则由|f(u)-f(v)|=|u-v| u、 v ∈[
1 2

,1],
1 2

得|f(

)-f(1)|=|

1 2

-1|=

1 2

, 又 f(1)=0,所以|f(

1 2

)|=

1 2

① u、v∈[0,
1 2

又因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=0,由条件|f(u)-f(v|<|u-v| |f( §6.5 1) D 2) C 3) D 4) D 5. 0<a≤ 5 -2 ≤n 9.证明:∵ ?
?? ? ? ? ? a ??? ? b
1 2

],



)|=|f(

1 2

)-f(0)|<

1 2

②①与②矛盾,所以假设不成立即这样的函数不存在。

6. {x|x<-1,或-1<x<-

1 2

7. |ab+ (1 ? a )( 1 ? b ) |≤1
2 2

8. m

由|a|+|b|=|α +β |+|α β |<1 又∵|α +β |≥|α |-|β | ∴ |α |(|β |+1)-(|β |+1)<0, ∵ 1+|β |>0

∴|α +β |+||α +β |<1-|α β | ∴|α |-|β |<1-|α ||β | ∴(|α |-1)(|β |+1)<0 ∴|α |-1<0,|α |<1,

同理可证 |β |<1

10. 证明:∵|x-a| <1, |f(x)-f(a)|= |x -x+b-( a -a+b)|=|(x-a)(x+a)-(x-a)| =|x-a||x-a-1| <|x-a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+2|a|+1=2(|a|+1) 11.证明:不妨设 0≤x1<x2≤1, 若 x2-x1≤ ,则 |f(x2)-f( x1)|<| x2- x1|≤
2 1

2

2

1 2

∴|f(x2)-f( x1)|<

1 2

若 x2-x1>

1 2

,∵ ∴

f(0)=f(1) |f(x2)-f( x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)| ≤ |f(x2)-f(1)|+| f(x1)-f(0) | ≤(1- x2)+( x1-0)=1-( x2-x1)<11 2

=

1 2

§6.6 1) B 2) D
x ? 2?

3) C

4) D

5)

B

6. a=

1/2

7.

a< - 1

或 a>1/5

8.

?x ? 1 ?
9. 2:1:3 11 解:

10. ? ? ? , ? 3 ? ? ?1, ?? ?
c b? x

-a>0 .
c a b? x )

ax ? ( ab ? c ) b? x

>0

x ? (b ?

∵a > 0.

<0

∴a > 0, b>0 ,c≠0 若 c>0, b-
c a c a

<b , 不等式的解集是 ? x b ?
? ? ?

?

? ? x ? b? a ? c c? ? a?

若 c>0,

b-

>b , 不等式的解集是 ? x b ? x ? b ?

12.解: a2x+b2(1-x) ≥a2x2+b2(1-x)2+2abx(1-x) a2x(1-x)+ b2(1-x)x-2abx(1-x) ≥0 x(1-x)(a-b) ≥0 ∵a ≠b. ∴x(1-x) ≥0 ∴0≤x≤1 §6.7 (a-b) >0
2 2

1) C

2) D 3) B 4) D 5) A 6) B 7) B

8) A

9.. -1<a<2/3 10. 解: (1)令 x1=x2=0, 由条件③ f ( 0 ? 0 ) ≥ f ( 0 ) + f ( 0 ) . 又由条件① f ( 0 ) ≥0. (2). 任取 0≤x1< x2≤1
f ( x 2) = f ( x 2 ?

即 f ( 0 ) ≤0

∴ f ( 0 ) =0 x2-x1∈ ?0 ,1?
f (x2 ? f (x2 ?

x ) ≥0
1

?

x ) ? x ??
1 1

x)?
1

f ( x !) ? f ( x 1)

即 f ( x 2 ) ≥ f ( x 1) ∴ f ( x ) 在 ?0 ,1? 上为增函数. ∴X=1 时, f ( x ) 有最大值 f (1) =1 (3). ①x=0,
f ( 0 ) =0.

∴ f ( x ) <2x



?1 ? x ? ? ,1 ? ?2 ? ? ? 1? ?

∵ f ( x ) ≤1.

2x>1.

∴ f ( x ) <2x

③x∈ ? 0 , ? 2 ∴ f (x) ≤
1 2

2x∈ ? 0 ,1 ?

f ( 2 x ) ≥ f ( x ) + f ( x ) =2 f ( x )

f (2 x)

§6.8 不 等 式 单 元 测 试 题 1) B 2) C 3) A 4) A 5) B 6) B 7) C 14. 1 15. 8) A 9) D 10 )A 11) D 12) D 16. 3 楼

13. a ? b

(2),(3),(4)

17.证明: (比较法) 由余弦定理: c ? a ? b ? ? 2 ab cos C
2 2 2

三角形面积公式: S ?
2 2 2

1 2

ab sin C
3 sin C )

c ? a ? b ? 4 ab ? 4 3 S ? ? 2 ab cos C ? 4 ab ? 2 3 ab sin C ? 2 ab ( 2 ? cos C ?
? ?

= 4 ab ?1 ? sin( C ?

? ?

) ? 0 6 ? ?

? c ? a ? b ? 4 ab ? 4 3 S
2 2 2

18. ⑴由 f ( a ) ? f ( b ), lg a ? lg b
? lg a ? lg b ? 0 , lg( ab ) ? 0 , ab ? 1

? 0 ? a ? b ,? lg a ? lg b 故 lg a ? ? lg b
0 ? a ? b ,? 0 ? a ? 1 ? b

⑵由 f ( b ) ? 2 f (

a?b 2

), 即 lg b ? 2 lg

a?b 2

0 ? a ? 1 ? b,

a?b

?

ab ? 1

? lg b ? 0 , lg

a?b 2

? 0
a ? ( 0 ,1)

? lg b ? 2 lg
? 2 ? 4b ? b

2 a?b

,? b ? (

a?b 2

)

2

? 4b ? b

2

? a ?2
2

2
2

? 3

19. 解:由 lg( 1 ?

x?

1 x

)?

x?

1 x

? lg 2 ? 1 得 f (

x?

1 x

) ? f (1)

由 f ( x ) 在 ?0 , ?? ?上是减函数, ?

x?

1 x

? 1,即 0 ? x ?

1 x

?1

? ? 1? 5 ? 1? 5 ? ? ? ?1, ? ? ? 1, ? ? 不等式的解集为 ? 2 2 ? ? ?

2 3 20. 解:⑴ f ?( x ) ? 3 x ,? y ? f ( x ) 在点 M ( x 1 , x 1 ? a ) 处的切线斜率为

3x

2

l 的方程为:

y ? ( x 1 ? a ) ? 3 x 1 ( x ? x 1 ), 即 y ? 3 x 1 x ? 2 x 1 ? a
3 2 2 3

⑵令 y ? 0 , x 2 ?

2 x1 ? a
3

3 x1
a ?

2

( x1 ? 0 )

① x2 ?

2 x1 3
1

?

x1 3

3 x1

2

?

x1 3
1

?

a 3 x1
2

? 33

a 27

1

? a 3 且仅

x1 3

?

a 3 x1
2

1

, x 1 ? a 3 上式取等号

②当 x 1 ? a 3 时,有 x 2 ? a 3 (由1知) 又 x1 ? x 2 ? x1 ?
1

2 x1 ? a
3

3 x1

2

?

x1 ? a
3

1
3 ,? x 1 ? a 3 ? 0 ? x 1 ? a ,? x 1 ? x 2

3 x1

2

综上, a 3 ? x 2 ? x 1 21 解:长方体的底面边长为 2 a ? 2 x , 高为 x ,则
V ? (2a ? 2 x) ? x ? 4 x(a ? x)
2 2

0? x? a

0? x? a

x

2a ? 2 x 1 ? 2t 2 at a 2 at ?a? ? ? 0 , ,? 0 ? x ? 1 ? 2t 1 ? 2t 1 ? 2t

? t

0? x ?

2 at

⑵ V ? 4 x ( a ? x ) ? 4 x ? 8 ax
2 3

2

? 4a x
2

2 2 V ? ? 12 x ? 16 ax ? 4 a , 令 V ? ? 0 , 则 x ?

a 3

或 x ? a ( 舍)



a 3

?

2 at 1 ? 2t

,即 t ?

1 4



? x ?

a 27 a 2 at 1 , 即 0 ? t ? 时, 若 ? 3 1 ? 2t 4 3
2 at ? ? V ?在 ? 0 , ? 上是增函数 ? 1 ? 2t ?

a

, 时, V 最大 ?

16

3

所以当 x ?

2 at 1 ? 2t

时, V 最大 ?

8a t (1 ? 2 t )
3

3

22. 解:⑴若 a ? 0 , 则 c ? 0 , f ( x ) ? 2 bx 当 ? 2 ? x ? 2时, f ( x ) max ? 4 b ? 这是不可能的? a ? 0 当 a ? 0时,假设
b a
2 3 , , f ( x ) min ? ? 4 b ? ? 1 2

2 ? 2 ,? 区间 ?? 2, ?在对称轴 x ? ?

b a

的左侧或右侧

? f ( x ) 在 ?? 2 , 2 ?上是单调函数

f ( x ) max ? 4 b ?

2 3

, f ( x ) min ? ? 4 b ? ?

1 2

,这也是不可能的,?

b a

? 2



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