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湖南省株洲市第二中学2015届高三数学下学期第11次月考试题 文



株洲市二中 2015 届高三第十一次月考数学试卷 数 学(文史类)

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页,时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 设 全 集 ( A. )

U ? ?1,2,3,

4,5,6,7?

,集合

A ? ?1, 2 , 3 , 5? , B ? ?2 , 4 , 6?

,则

?CU A? ? B?

?2?

B.

?4 , 6?

C.

?1, 3 , 5?

D.

?4 , 6 , 7 , 8?

2. 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从 该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( )

A.100
3. 已知向量

B.150

? a ? ? x,2?



? b ? ? 2, x ?

C.200
,则“ x ? 2 ”是“ a //b ”的(

D.250

? ?



A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 实数 m 是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?0,6? 上的随机数,则关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 4 ? 0 有实根的概率是(
1 B. 3 1 C. 2 1 D. 4

2 A. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 5. 已知双曲线 a 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为(
y?? 2 x 2
1 y?? x 2 B.



A.

C . y ? ?2 x

D . y ? ? 2x


6.三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 BD 的长为( A. 2 11 B. 4 2 C. 38 D. 16 3

4

2 3
正视图 侧视图

-1-

7. 执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值是 11 ,则输入 n 的值是( A. 7 B. 6 C. 5
开始



D. 4

输入n i ? 1, S ? 1
i ? n?



输出S
结束

是 S ? S ? ( i ? 1)

8. 在 ?ABC 中

| AC |? 1,| AB |? 2, ?BAC ?
i ? i ?1

?

???? ??? ? 3 , BC ? 3DC ,则 AD ? BC =(



A . ?1

?
B.

2 3

2 C. 3

D.1

1 f ( x ) ? ln x , x1 , x2 ? (0, ) e ,且 x1 ? x2 ,则下列结论正确的是( 9.已知函数



A.( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 C . x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 D. x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x1 ) B. f (

2 2 10. 已 知 圆 O : x ? y ? 1 和 定 点 A( 2,1) , 由 圆 O 外 一 点 P 向 圆 引 切 线 PQ , 且 满 足

| PQ |?| PA | ,若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,则圆 P 半径的最小值为(



A.

3 5 ?1 5

B.1

C .2

D.

3 5 5

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上)

11.复数

z?

25 3 ? 4i 的虚部为

; ;

2 12.已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 x ,则 f ( ?1) =

? x ? ?2 t ?x ? 2? s l1 : ? l2 : ? ? y ? 2 ? kt (t 为参数)与直线 ? y ? 1 ? 2s ( s 为参数)垂直,则实数 13.已知直线
k=

-2-

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?8 x ? y ? 4 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 14. 设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为
8,则 ab 的最大值为 ;

15. 记

Sk ? 1k ? 2k ? 3k ? ? ? nk ,当 k ? 1, 2 , 3 , ? 时,观察下列等式:
1 1 1 S2 ? n3 ? n 2 ? n 3 2 6 S3 ? 1 4 1 3 1 2 n ? n ? n 4 2 4

S1 ?

1 2 1 n ? n 2 2







1 1 1 1 1 5 S 4 ? n5 ? n 4 ? n3 ? n S5 ? An 6 ? n5 ? n3 ? Bn 2 5 2 3 30 , 2 12 , ? , 可 以 推 测
A? B ?


三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. (本小题满分 12 分)已知数列 两根. (1)求数列

{an } 是递增等比数列,且 a1 , a3 是方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的

{an } 的通项公式;
{

2 5 } Sn ? b ? 2 log a ? 1 S bb 6 成立的最小 2 n (2)若数列 n ,记数列 n n?1 的前 n 项和为 n ,求使
正整数 n 的值。

17. (本小题满分 12 分)已知某保险公司每辆车的投保金额均为 2800 元,公司利用简单随机 抽样的方法,对投保车辆进行抽样,样本中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数 0 500 1000 150 2000 200 3000 100 4000 50

(1)试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)保险公司在赔付金额为 2000 元、3000 元和 4000 元的样本车辆中,发现车主是新司机的 比例分别为 1%、2%和 4%,现从新司机中任取两人,则这两人的赔付金额之和不小于投保金 额之和的概率是多少?

-3-

BC / / AD, BC ? CD ?
18. (本小题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中, 为 AD 中点,现将 ? ABE 沿 BE 折起,使平面 ABE ? 平面 BCDE . (1)求证: BE ? AD (2)若 F 为 AD 的中点,求三棱锥 B ? ACF E 的体积.

1 AD ? 2 2 ,E

A
A

D
E

F D

B
图(一)

C
B

图(二)

C

? 19. (本小题满分 13 分)如图,在半径为 3 ,圆心角为 3 的扇形的弧上任取一点 P,作扇形
?POF ? ? 的内接矩形 PNMQ, 使点 Q 在 EO 上, 点 N, M 在 OF 上, 设矩形 PNMQ 的面积为 y,
(1)将 y 表示成 ? 的函数关系式,并写出定义域;

(2)在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 y 取最大值时

A?? ?

?
12 ,且

E
Q

a ? 10 ,cos B ?

2 5 5 ,D 为 AC 中点,求 BD 的值。

P

?
F

N

M

O

-4-

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 F b 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : a (a ? b ? 0) 的右焦点 2 是抛物线 y ? 4 x
的焦点,过点

F2 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 所截得的线段长度为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 2 相交于点 Q . 请

???? ???? ? MP ? MQ 问:在 x 轴上是否存在定点 M ,使得 为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存
在,请说明理由.

f ( x ) ? mx ? a ln x ? m , g ( x ) ?
21. (本小题满分 13 分)已知函数 数. (1)求 g ( x ) 的极值;

ex e x ,其中 m,a 均为实

(2) 设 m ? 1, a ? 0 , 若对任意的 恒成立,求实数 a 的最小值;

x1 , x2 ? [3, 4]( x1 ? x2 ),| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?|

1 1 ? | g( x2 ) g( x1 )

x ? (0, e] ,在区间 (0 , e ]上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 ( 3 )设 a ? 2 ,若对任意给定的 0 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g( x0 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

-5-



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