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湖南省株洲市第二中学2015届高三数学下学期第11次月考试题 理



株洲市第二中学 2015 届高三第十一次月考数学试题卷 (理工农医类)
时量:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. (1)错误!未找到引用源。为虚数单位 ,则错误!未找到引用源。 ( ) (A) 错误!未找到引用源。 (B) 4 (C) 2 (D) 错 误!

未找到引用源。 (2)某种树的分枝生长规律如图所示,则预计到第 6 年树的分枝数为( )

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(3)设随机变量错误!未找到引用源。服从正态分布错误!未找到引用源。 ,若错误!未找 到引用源。 ,则错误!未找到引用源。=( ) (A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1 (4)已知错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。=( (A) 3 (B) 2 (C) 4 ) (D) 5

(5) 《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽· 泉组合给一位歌手给出的 评分分别是:错误!未找到引用源。 ,现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出 的错误!未找到引用源。值及其统计意义分别是( ) (A) 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。个数据的方差为错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。个数据的标准差为错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。个数据的方差为错误!未找到引用源。 (D) 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。个数据的标准差为错误!未找到引用源。

i ? i ?1
开始

S ?0

i ?1

S ? S ?5

输出 S

(6)下列命题中,是假命题的是( ) (A) 错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。 (D) 错误!未找到引用源。 (7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是( ) (A) 2 (B)4 (C) 6 (D)错误!未找到引用 源。 (8)已知抛物线错误!未找到引用源。的准线错误!未找到引用源。与

i ?1

输入 xi

S ? S ? ( xi ? 20)


2

i?5
是 主视图 左视图

结束

(第 5 题图)

2 2
俯视图

2

4
(第 7 题图)

-1-

坐标轴交于点 M, P 为抛物线第一象限上一点, F 为抛物线焦点,N 为错误!未找到引用源。 轴上一点,若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。=( ) (A)错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。 (C)2 (D)错误!未找到引用源。 (9)将 4 名新来的学生分到高三两个班,每班至少一人,不同的分配方法数为( ) (A) 12 (B) 16 (C)14 (D)18 (10)如图,错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。 ABC 的外心,错误!未 找到引用源。为钝 角, M 是边 BC 的中点,则错误!未找到引用源。=( (A) 错误! 未找到引用源。 (B) 36 (C) 16 ) (D) 13

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(11-13 题,请从中选做两题,若三题都做,只计前两题分数) (11)如图,错误!未找到引用源。是圆错误!未找到引用源。的直径,过错误!未找到引 用源。 、错误!未找到引用源。的两条弦错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。相交 于点错误!未找到引用源。 , 若圆错误!未找到引用源。的半径是 3,则错误!未找到引用源。的值 。 (12)以坐标原点为极点,x 的正半轴为极轴建立极坐标系,极坐标方程为 错误!未找到引用源。的曲线与参数方程错误!未找到引用源。 (t 为参数)的直线交 第 11 题图 于 A、B,则错误!未找到引用源。 。 (13)若函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。 ,则实数错误!未找到 引用源。的取值范围为 . (二)必做题 (14)已知全集错误!未找到引用源。 ,集合错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 . (15)已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数,对错误!未找到 引用源。恒有错误!未找到引用源。 ,且当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 则错误!未找到引用源。 ; (16)满足条件 AB=2,错误!未找到引用源。的三角形 ABC 的面积的最大值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (12 分)设错误!未找到引用源。的内角错误!未找到引用源。的对边分别为错误!未 找到引用源。, 错误!未找到引用源。. (I)求证:错误!未找到引用源。 ; (II)若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的值。 (18) (12 分)某校高二上期月考语文试题的连线题如下: 将中国四大名著与它们的作者连线,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本 名著连 线.其得分标准是:每连对一个得 3 分,连错得错误!未找到引用源。分。
-2-

一名考生由于考前没复习本知识点,所以对此考点一无所知,考试时只得随意连线,现将该 考生的 得分记作 ξ. (Ⅰ)求这名考生所有连线方法总数; (Ⅱ)求 ξ 的分布列及数学期望.

(19) (12 分)如图,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC=错误!未找到引用源。 =2, D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD。 (Ⅰ) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (Ⅱ) 求面 GEF 与面 EFD 所成锐二面角的大小。

(20) (13 分) 在数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。为其前错误!未找到引用源。项和, 向量错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。其中错误!未找 到引用源。 . (1)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)若错误!未找到引用源。 ,数列错误!未找到引用源。满足对任意错误!未找到引用源。 , 都有错误!未找到引用源。 求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。 . 21.(13 分)已知椭圆错误!未找到引用源。的一个焦点与抛物线错误!未找到引用源。的焦
-3-

点重合,且椭圆错误!未找到引用源。经过点错误!未找到引用源。 (1)求椭圆错误!未找到引用源。的方程; (2)求椭圆错误!未找到引用源。的任意两条互相垂直的切线的交点错误!未找到引用源。 的轨迹方程; (3)设(2)中的两切点分别为错误!未找到引用源。 ,求点错误!未找到引用源。到直线错 误!未找到引用源。的距离的最大值和最小值.

22.(13 分)已知函数错误!未找到引用源。 . (1)求错误!未找到引用源。的单调区间和极值; (2)若错误!未找到引用源。 ,求证:错误!未找到引用源。

-4-

参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1-5 A D A B A 6-10 C B B C D 10 提示:如图建立直角坐标系,设 B 错误!未找到引用源。 ,C 错误!未找到引用源。 ,A 错 误!未找到引用源。 ,圆的半径为 R。 则错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。 二、填空题:本大题共 5 小 题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 36 12. 错误!未找到引用源。 13. 错误!未找到引 用源。 14. 错误! 未找到引用源。 15. 错误! 未找到引用源。 16. 错误! 未找到引用源。 13 方法一:从三角函数角度思考,如图, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 方法二:从解析几何思考,如图建直角坐标系,设动点错误!未找到引 用源。 A(-1,0) ,B(1,0) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,所以动点 C 的轨迹是圆心为错误!未找到引用 源。 ,半径为错误!未找到引用源。的圆,所以三角形 ABC 的高的最大值为错误!未找到引用 源。 。所以错误!未找到引用源。 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。……3 分 错误!未找到引用源。……6 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。…12 分

(18) 解: (Ⅰ) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列, 所以连线方法总数是错误! 未找到引用源。种。……4 分 (Ⅱ) 错误!未找到引用源。的可能取值为错误!未找到引用源。……8 分 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。……12 分(每个 1 分) 错误!未找到引用源。的分布列为: 数学期望错误!未找到引用源。 .……12 分 (19)解 (Ⅰ) 证明:∵PD⊥平面 ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面 PAD ∵CD 错误!未找到引用源。平面 PCD∴平面 PCD⊥平面 PAD。………6 分 (Ⅱ) 如图以 D 为原点,以错误!未找到引用源。分别为错误!未找到引用源。轴建立空间直 角坐标系 D-xyz.不妨设 AB=BC=错误!未找到引用源。 =2。则 G(1,2,0),E(0,1,1) , F(0,0,1) ,错误!未找到引用源。=(0,-1,0) , 错误!未找到引用源。=(1,1,-1)
-5-

设平面 EFG 的法向量为错误!未找到引用源。=(x,y,z) ∴错误!未找到引用源。 取错误!未找到引用源。=(1,0,1) 平面 PCD 的一个法向量, 错误!未找到引用源。=(1,0,0)。∴ 错误!未找到引用源。 。 ∴面 GEF 与面 EFD 所成锐二面角的大小错误!未找到引用源。 。……12 分

1 n(n ? 1) an ? ( ) n ? 2 , (n ? N ? ). Tn ? p 2 20. 解 ( 1 ) ( 2 ) 解 析 : 解 :( 1 ) ??? ? ??? ? AB // CD ? ( p ?1)Sn ? p2 ? an . 由 n ? 1,( p ?1)a1 ? p2 ? a1,?a1 ? p
2 ? ?( p ? 1) S n ? p ? an 1 ? ( p ? 1)an?1 ? an ? an?1 ,? an?1 ? an . 2 ( p ? 1) S ? p ? a p n ?1 n ?1 ? 又由 ? ,两式相减得:

1 1 an ? ( ) n ? 2 , (n ? N ? ). {a } p 所以数列 n 是以首项为 p ,公比为 p 的等比数列,
p?
(2)法一:当

1 n ?2 * 2 时, an ? 2 , n ? N ,



1 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn a1 ? 2n ? n ? 1 2







n ? 1,



1 1 1 b1a1 ? 2 ? ? 1 ? ,? a1 ? ,? b1 ? 1. 2 2 2

1 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn ?1a2 ? bn a1 ? 2n ? n ? 1 2 因为 , 1 1 b1an ?1 ? b2 an ? 2 ? ... ? bn ? 2 a2 ? bn ?1a1 ? 2n ?1 ? n ? , (n ? 2) 2 2 所以 ,

(a)

1 ?2 b a ? b2an?1 ? ... ? bn?1a2 ? 2n ? n ?1,(n ? 2) , 将上式两边同乘公比 p 得, 1 n
( a ) 减去 (b) 得,
bn a1 ? n ,? bn ? n.(n ? 2) b ? 1, 所以 bn ? n, (n ? N * ) 2 ,又 1 n(n ? 1) 2 。 Tn ?

(b )

所以

{bn } 的前 n 项和

Tn ?

b ?n, 法二: 计算可得 b1 ? 1, b2 ? 2, 故猜想 n 于是 bn ? n

n(n ? 1) 2 , 下用第二数学归纳法证明:

-6-

1? 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,命题成立;

2 ? 设 n ? 1,2,?, k 时, bn ? n ,则 n ? k ? 1 时,因为

b1 a k ?1 ? b2 a k ? ? ? bk a 2 ? bk ?1 a1 ? 2 k ?1 ?

k ?1 ?1 2 ,即 k ?1 ?1 2 ,由错位相减法可得:

1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? bk ?1 ? 2 ?1 ? 2 k ?1 ?

1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? 2 k ?1 ?

k ?1 b ? k ? 1 , 综 上 1? ,2 ? 有 : 2 , 代 入 上 式 得 k ?1

bn ? n, (n ? N * ) 。
x2 y2 ? ? 1. 3 21.解析:解: (1)代入 M 点与焦点可得 C : 4
? (2)1 当两切线 l1 , l 2 的斜率有一条不存在(另一条斜率必为 0)时,易得此时点 P(?2,? 3)

(四个) ;

2 当两切线 l1 , l 2 的斜率均存在且不为 0 时, 设
?

l1 : y ? kx ? m, l 2 : y ? ?

1 x?n P( x0 , y0 ) k , 设

m ? y0 ? kx0 ?? ? , 则

n ? y0 ?

1 x0 ?? ? k

? y ? kx ? m ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8km x ? 4m 2 ? 12 ? 0 ? 2 2 3x ? 4 y ? 12 联立 ? ,
因为 l1 : y ? kx ? m 与椭圆相切,故 ? ? 0 ,于是得到 m ? 4k ? 3 ,同理
2 2

n2 ?

4 ?3 k2 ,于



? y0 2 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 2 ? 4k 2 ? 3 ? 2 ?( y0 ? kx0 ) 2 ? 4k 2 ? 3 2 2 2 ? ? ? y0 ? 2kx0 y0 ? k x0 ? 4k ? 3 ?? 2 2 ?? ? 1 4 1 2 4 2 2 2 k 2 y0 ? 2kx0 y0 ? x0 ? 4 ? 3k 2 ?( y0 ? x0 ) ? 2 ? 3 ? y0 ? x0 y0 ? 2 x0 ? 2 ? 3 ? ? k k k ? k k ?
两式相加得

(k 2 ? 1) y0 ? (k 2 ? 1) x0 ? 7(k 2 ? 1) ,即 x0 ? y0 ? 7 ,显然 P(?2,? 3) 也在
2 2

2

2

2

2

此曲线上,综上,动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 7 ;

x0 x y0 y ? ? 1. 2 2 P ( x , y ) x ? y ? 7 3 0 0 ,则 0 0 (3)设动点 ,下先证明直线 AB 的方程为 4
-7-

设两切点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,设过 A( x1 , y1 ) 的切线: y ? y1 ? k1 ( x ? x1 ), 代入椭圆方程得:

(3 ? 4k12 ) x2 ? 8k1 ( y1 ? k1x1 ) x ? 4( y1 ? k1x1 )2 ?12 ? 0, 由 ? ? 0 得,( y1 ? k1x1 )2 ? 3 ? 4k12 ? 0;
3x 3 3 4 x12 y12 (k1 y1 ? x1 )2 ? 0,? k1 ? ? 1 , ? ? 1. y12 ? 3 ? x12 , x12 ? 4 ? y12 4 4 y1 4 3 ,代入得: 3 又 4

于是过

A( x1 , y1 ) 的切线

l1 :

x1 x y1 y ? ? 1, A( x1 , y1 ) 的切线斜率不存在时仍然符合上式, 4 3 当过 l2 : x2 x y2 y ? ? 1. l ,l P( x0 , y0 ) , 故 4 3 而 1 2 均 过

B( x2 , y2 ) 的 切 线 同 理 过
x1 x 0 y y 1 0 x2 x 0 y y 2 0 ? ? 1. ? ? 1. 4 3 4 3

x0 x y0 y ? ? 1. 3 由此可得直线 AB 的方程为 4

d?
所以 P 点到直线 AB 的距离

x0 2 y0 2 ? ?1 4 3 x0 2 y0 2 ? 16 9

?

x0 2 7 ? x0 2 ? ?1 4 3 x0 2 7 ? x0 2 ? 16 9

?

16 ? x0 2 7


4 7 3 7 , . 2 x ? [0,7] 7 而 0 ,所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值分别为 7
22.解析:解: (1)由于 f ( x) ? 2 ? ln x ,令 f ( x) ? 0 ? x ? e
/ /
?2 ?2 于是 f ( x) 在 (0, e ) ?,(e , ??) ? ,

?2

,列表:

x
f / ( x)
f ( x)

(0, e ?2 )
负 单减

e ?2
0 极小值

(e ?2 ,??)
正 单增

在 x?e

?2

处 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为

f (e ? 2 ) ? ?
(2) 令 则

1 e 2 ,无极大值

g ( x) ? p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x) ? f ( p1x1 ? p2 x) ,不妨设 0 ? x1 ? x ? x2 , g?( x) ? p2 f ?( x) ? p2 f ?( p1x1 ? p2 x),? p1x1 ? p2 x ? x ? p1x1 ? p1x ? 0 ,

? p1x1 ? p2 x ? x, 而 f ?( x) ? ln x ? 2 在 (0, ??) 上是增函数,所以 f ?( x) ? f ?( p1x1 ? p2 x),
? g ?( x) ? 0, g ( x) 在 [ x1 , x2 ] 是增函数,所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? 0,

-8-

即 p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ;

-9-



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