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§2.2.1椭圆及其标准方程(1)



§ 2.2.1 椭圆及其标准方程(1) 编写人:刘励钧 校对人:聂格娇 审核人:徐立朝
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P38~ P40 找出疑惑之处) 复习 1:过两点 (0,1) , (2, 0) 的直线方程 复习 2:方程 (

x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 表示以

. 为圆心, 为半径的 .

二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处, 套上铅笔, 拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两个点处, 套上铅 笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
思考: 移动的笔尖 (动点) 满足的几何条件是什么?
F1 F2 P

经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳 的 保持不变,即笔尖 新知1: 距离叫做

等于常数.

我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 ,这两个定点叫做 ,两焦点间的 .

F1 F2 )的点的轨迹叫做

反思:若将常数记为 2 a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; .

试试: 已知 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,到 F1 , F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹 是 .

1

小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 x2 y 2 其中 b2 ? a 2 ? c 2 ,焦点坐标为 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 程是 . ,则椭圆的标准方

※ 典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上;
⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .

x2 y2 ? ?1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范 变式:方程 4 m
围 .

小结:椭圆标准方程中: a 2 ? b2 ? c 2 ; a ? b .

2

?5 3? (2, 0) , 例 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? , 并且经过点 ? , ? ? , ?2 2? 求它的标准方程 .

变式:椭圆过点

? ?2,0? , (2, 0) , (0,3) ,求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .

※ 动手试试
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一 3 个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) . A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12
练习 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆 练习 2 .方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的范围. 9 m

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程:

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
3

) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2 a ,则点 M 的轨迹为 ( ) . A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围 是 ( ) . A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一 100 36 个焦点 F2 的距离是 ( ) . A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆的标准方程是 .
3.如果椭圆 5 . 如 果 点 M ( x, y ) 在 运 动 过 程 中 , 总 满 足 关 系 式

x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的轨迹是
是 .

,它的方程

课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 . ⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点 P 3, ?2 6 ;

?

?

2. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,求 n 的值. 4 n

4



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