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平面向量的基本定理及坐标表示及数量积(第二次考试)



平面向量的基本定理及坐标表示及数量积
姓名_____ _班级______ 一.选择题(每题 5 分) 1.如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若

OP ? a OP ? b OP2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a、b 满足( ) 1 (A) a ? 0, b ? 0 .(B) a

? 0, b ? 0 . (C) a ? 0, b ? 0 .(D) a ? 0, b ? 0 .

2.若平面向量 a =(1,?2)与 b 的夹角是 180?,且| b |=3 5 ,则 b 等于( ). A.(?3,6) B.(3,?6) C.(6,?3) D.(?6,3) 3.已知 a , b 是非零向量且满足( a -2 b )⊥ a ,( b -2 a )⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是( ) (A)

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

4.已知平面上直线 l 的方向向量 e = (? 则 O?A? ? ? e ,其中 ? =( (A)

?

?

4 3 , ), 点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O′和 A′, 5 5

)

11 5

(B) ?

5.若 a ? 1 , b ? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( ) A.

?

?

11 5

(C)2 (D)-2

?

?

?

?

?

?

?

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

6.若平面四边形 ABCD 满足 AB- AD ? AC ? 0, AB+CD ? 0, 则该四边形一定是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 7.平面向量 a , b 的夹角为 60°, a =(2,0),| b |=1, 则| a +2 b |=(

?

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ??? ? ?

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?

?

?

?

)

A. 3

B. 2 3

C.4

D.12

8.已知非零向量 AB 与 AC 满足 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 9.P 是△ABC 所在平面上一点,若 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ? ? 10.如图是函数 y ? tan ? x ? ? 的部分图像,则 OB? BA =( ) ? ? 2? ?4 A.4 B.-4 C.2 D.-2

??? ?

??? ?

,则△ABC 为( )

,则 P 是△ABC 的( )

1

1

二.填空题(每题 3 分)

11.若向量 a , b 的夹角为 30? , | a | ? 3 , |b| ? 2 ,则 a ? b = ______; | a+b|? ______. 12.若 a ? (4,2 ) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是______ 13.与向量 a ? 2 i ? j 共线,且满足方程 a ? x ? ?10 的向量 x ? ______. 14.设向量 a , b 的夹角为θ , a =(2,1), a +3 b =(5,4),则 sinθ =______ 15.下列四个命题: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ? ? ? ? ②若 e 为单位向量,则 a ?| a | ?e ; ③ a ? a ? a ?| a |3 ;

? ?

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? ?

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?

?

? ? ?

? ?

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? ? ? ?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.
其中错误命题的序号是______. 16.已知向量 a = (1,0) , b = (x,1) ,若 a ? b ? 2 ,则 x ? ______; a+b ? ______. 17.已知平面上三点 A、B、C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于______. 18.设 AB = (2,2), AC = (0,4) ,则 V ABC 的内角 A =______ 三.解答题(共 54 分) 19.求证:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.(8 分)

?

?

? ?

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??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?

uuu r

uuu r

? ? ? ? ? ? ? ? 20. 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式: k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 (10 分) ? ? (1) 用 k 表示 a ?b ; ? ? ? ? (2) 求 a ?b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小.

2

2

21.已知向量 a = ( 3 sinω x,cosω x), b =(cosω x,cosω x),其中ω >0,记函数 f ( x ) = a ·b ,已知 f (x) 的最小 正周期为π . (Ⅰ)求ω ; π (Ⅱ)当 0<x≤ 时,试求 f(x)的值域. (10 分) 3

?

?

?

?

22.已知向量 a ? ( 3,1) ,向量 b ? (sin ? ? m, cos? ) ,(10 分) (Ⅰ)若 a // b ,且 ? ? [0,2? ) ,求实数 m 最小值及相应的 ? . (Ⅱ)若 a ? b ,且 m ? 0 ,求

cos(

?
2

? ? ) ? sin(? ? 2? ) cos( ? ? ? )

3

3

23.已知 A(2 cos? , 3 sin ? ) , B(2 cos? , 3 sin ? ) ), C (?1,0) 是平面上三个不同的点,若存在 ? ,使得 CA ? ? BC , 试求 ? 的取值范围.(10 分)

4

4

2.3-2.4 平面向量基本定理、坐标表示、数量积检测题参考答案 B 1-7
一.选择题(每题 5 分) 1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.D 解: 10.B 二.填空题(每题 5 分) 11. 3

13

12. AB ? ?3,5? 13. y ? ? sin x ? 2

? 5 2 5? ? 5 2 5? ? ? ? ? 5 ,? 5 ? 或 ? ? 5 , 5 ? ? ? ? ? 15. (?4,2) ;
14. ? 16.

10 10

17.①②③④ 18.2; 10 19.-25 20. 45o 三.解答题(每题 10 分)

OACB 中, OB ? b ,对角线 OC ? m , BA ? n ,则 m ? a ? b , n ? a ? b , 2 2 2 2 2 2 ∴ m ? n ? ?a ? b? ? ?a ? b? ? 2 a 2 ? b2 ,即 m ? n ? 2 a ? b .
21.证明:设在
2 2

?

?

?

?

22.解:函数 y ? x ? 5x ? 4 与 x 轴的交点为 A(?1,0) 和 B(?4,0) 故依题意有两种情形:
2

(1)将函数 y ? x ? 5x ? 4 的图象沿 x 轴平移,使 A(?1,0) 与原点重合,这时
2

AO ? (m, n) ? (0 ? (?1),0 ? 0) ? (1,0) ; 2 设 P( x, y) 是 y ? x ? 5x ? 4 图象上任一点,平移后对应点的坐标为 P?( x?, y?) ,则 ? x ? x? ? 1 代入 y ? x 2 ? 5x ? 4 中得 y? ? ( x? ?1) 2 ? 5( x? ?1) ? 4 ,即 ? ? ?y ? y y? ? x?2 ? 3x? .即 y ? x 2 ? 3x 2 2 (2):依(1)可求使函数 y ? x ? 5x ? 4 的图象平移,使点 B(?4,0) 与原点重合时的解析式为 y ? x ? 3x
23.解:(Ⅰ) f ( x ) = 3 sinω xcosω x+cos ω x= 2π ∵ω >0,∴T=π = ,∴ω =1. 2ω π 1 (Ⅱ)由(1),得 f ( x ) =sin(2x+ )+ , 6 2
2

1 π 1 3 sin2ω x+ (1+cos2ω x) =sin(2ω x+ )+ 2 6 2 2

5

5

π π π 5π ∴0<x≤ ,∴ <2x+ ≤ . 3 6 6 6 3 ∴ f ( x ) ∈[1, ]. 2 24.解:(1)∵ a ∥ b ,∴ 3 cos? ? 1? (sin? ? m) =0.

?

?

? ∴ m ? sin? ? 3 cos? ? 2 sin( ?

?
3

),

11 ? ? 又∵ ? ∈R,∴ sin( ? ) ? ?1 时,mmin=–2.又 ? ? [0,2? ) ,∴ ? ? ? 3 6
(2)∵ a ? b ,且 m ? 0 ,∴ 3 sin ? ? cos? ? 0

? tan? ? ?

cos(

?
2

3 3

? ? ) ? sin(? ? 2? ) cos( ? ? ? )

?

sin ? ? (? sin 2? ) ? cos ?

1 2 tan ? ? 2 1 ? tan 2 ? 25.解:由已知 CA ? ? BC ,可得 (2cos ? +1, 3 sin ? )= ? (-1-2cos ? ,- 3 sin ? ), ? 1 ? ? ? 2? cos ? ?2 cos? ? 1 ? ?? ? 2? cos ? ?cos? ? ? ,? , 2 ? 3 sin ? ? ? 3? sin ? ? ?sin ? ? ?? sin ?
? tan ? ?
由 sin ? ? cos
2 2

?? 1 ? ? ? 2? cos ? ?2 ? =1,得 ?? ? sin ? ? ?
2

?

即 ? ?1 ? ? ? cos ? ? 1 ? ?2 ?

?

? ?1 ?4? ?

4

? 1,

2

,

若 ? =-1,则 CA ? ? BC ,得 AB ? 0 ,这与 A,B 两点不重合矛盾, 因此, ? ? -1,于是 ? cos ? ?

3 ? 5? ,可知 ? ? 0, 4 3 ? 5? 3 ? 5? 1 cos ? ? ? 1 ,解得 ? ? ? 3. ,得 ? 1 ? 4? 4? 3

6

6



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