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椭圆基础知识



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龙文教育个性化辅导授课案 ggggggggggggangganggang 纲 学生:_______ 时间:2013 年 月 日 时间





一、知识精析与点拨 (一)椭圆的定义 1、第一定

义:平面上,与两个定点 F1、F2 距离之和为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹称 为椭圆。两个定点 F1、F2 称为椭圆的焦点,两个焦点间的距离称为焦距。 2、第二定义:平面上到一个定点 F(c,0)的距离与到一定直线 L:x= a2 的距离之比 c

c 为常数 e= (0<e<1)的点的轨迹称为椭圆。定点 F 叫做椭圆的焦点,定直线 L 叫做椭圆对 a 应于焦点 F 的准线。 (二)图形、方程、性质 y y M 图形 F1 O F2 x O F2 x F1 M

标准方程 一般方程 中心 参数方程 长轴长 短轴长 焦距 离心率 基本量的关系 顶点 焦点 准线方程 准线距 焦准距 M(x0,y0)的 焦点半径

x2 y2 y2 x2 2 + 2 =1(a>b>0) 2 + 2 =1(a>b>0) a b a b Ax2+Cy2=F(A、C、F 同号) O(0,0) O(0,0) x= acosθ x= bcosθ y= bsinθ y= asinθ 2a 2a 2b 2b 2c 2c c c e= e= a a c b c b a2=b2+c2,e = , = 1-e2 a2=b2+c2,e = , = 1-e2 a a a a (±a,0) (0,±b) (±b,0) (0,±a) (±c,0) (0,±c) a2 a2 x =± y =± c c 2a2 2a2 c c b2 b2 p= p= c c

r 左= a+ex0 r 右= a-ex0

r 下= a+ex0 r 上= a-ex0

龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校 2b2 a 对称轴方程 x=0,y =0 (三)椭圆参数的几何意义,如下图所示: 通径长 ( 1 ) |PF1|+|PF2|=2a , |PM2|+|PM1|= 2b2 a x=0,y =0

2a 2 c


M1 K1 A1 F1

y
B P F2 A2 M2 K2

| PF1 | | PF2 | = =e; | PM 1 | | PM 2 |
( 2 ) A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ;
a ? c ? PF1 ? a ? c

o

x

(3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c; (4)|F1K1|=|F2K2|=p=

b2 2 2 , A2 B ? A1 B ? a ? b c (四)点、直线与椭圆的位置关系

x2 y2 1、点 P(x0,y0)和椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的关系 a b 2 2 2 2 x y x y (1) P 在椭圆内 点 (含焦点) 点 ? 02 + 02 <1; (2) P 在椭圆上 ? 02 + 02 =1; a b a b 2 2 x y (3)点 P 在椭圆外 ? 02 + 02 >1(其中 a>b>0) a b
2、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数 来确定,通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,考虑该方程 的判别式,则有: (1)△>0 ? 直线与椭圆相交于两点; ①设 AB 为椭圆

x2 y2 + 2 =1 的弦,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,弦中点 M(x0,y0) , a2 b
2

2 2 则弦长|AB|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) =|x2-x1|· 1+kAB

=|y2-y1|·

1+

1 kAB
2

(kAB

≠0); ( 其 中 kAB =

b2 x y 2 ? y1 = - 2 0 ; |x2 - x1|= x 2 ? x1 a y0

( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 ;|y2 -

2 y1|= ( y 2 ? y1 ) ? 4 y1 y 2 )

b 2 x0 a 2 y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- 2 (x-x0) ; 线段 AB 的垂直平分线方程为 y-y0= 2 (x a y0 b x0
-x0); ②焦点弦: 为椭圆 AB e(x1+x2) ,

x2 y2 + 2 =1 的焦点弦的长|AB|左=e 1+x2) (或|AB|右=2a - (x +2a a2 b

2b2 通径长为 (其中 a>b>0) a (2)△=0 ? 直线与椭圆相切;

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x x y y x2 y2 + 2 =1 上的点, 则以 M 为切点的切线方程为 02 + 02 =1; 2 a b a b 2 2 x y ②设 M(x0,y0)为椭圆 2 + 2 =1 外的点,则过 M 引椭圆的切线,切点弦所在直线 a b
①设 M 0,0) (x y 为椭圆 的方程为

x0 x y y + 02 =1(其中 a>b>0) 2 a b x2 y 2 2 2 2 2 2 ③椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c 。 a b x2 y 2 ④ 设 切 线 的 斜 率 为 K , 则 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 切 线 方 程 为 a b
y ? kx? b2 ? a2k 2 (3)△<0 ? 直线与椭圆相离;
直线与椭圆相离时,椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点

椭圆练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题是真命题的是 A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆
c
a
2





C.到定点 F(-c,0)和定直线 x ? ? a 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
c
a

2

D.到定直线 x ? a 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆
c
c

2

5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2 2 2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 A. ? B. C. D. x ? y ? 1 ? ?1 ? ?1 ?1 10 6 4 8 8 4 10 6 3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)





4.设定点 F1(0,-3) 2(0,3) 、F ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? 迹是 A.椭圆
2 2 2

9 (a ? 0) ,则点 P 的轨 a

B.线段
2

C.不存在

D.椭圆或线段 ( )

5.椭圆

x y x y ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? k ?k ? 0? 具有 2 a b a b

A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 ( A.
1 4



1 2 2 2 17 x y 7.已知 P 是椭圆 ,则点 P 到左焦点 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 100 36 2 的距离是 66 77 16 75 A. B. C. D. 5 5 8 8

B.

2 2

C.

2 4

D.

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2 2 8.椭圆 x ? y ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是

( D. 10



16

4

A.3 9. 在椭圆

B. 11

C. 2 2

x2 y2 (1, -1) F 为椭圆右焦点, , 在椭圆上有一点 M, 使|MP|+2|MF| ? ? 1 内有一点 P 4 3

的值最小,则这一最小值是 A.

( C.3 D.4



5 2

B.

7 2

10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

线 m 的斜率为 k1( k1 ? 0 ) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 ( ) 1 1 A.2 B.-2 C. D.- 2 2 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 1 11.离心率 e ? ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为 ___________ . 2 12.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________. x2 y2 13.已知 P?x, y ? 是椭圆 . ? ? 1 上的点,则 x ? y 的取值范围是________________ 144 25 14.已知椭圆E的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率 等于__________________. 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直 2

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程.(12 分) 3

x 2 25 y 2 8 16.已知 A、B 为椭圆 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 2 a 5 9a 3 中点到椭圆左准线的距离为 ,求该椭圆方程.(12 分) 2

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一、选择题 1.已知椭圆方程为 A.6 B.3

x2 y2 ? ? 1 ,则这个椭圆的焦距为( 23 32
C. 3 5 D. 6 5 )

)

2.椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1 的焦点坐标是( A. (? 2 ,0), ( 2 ,0)

B. (0,? 2 ), (0, 2 )

1 1 2 2 C. (0,? ), (0, ) D. (? ,0), ( ,0) 2 2 2 2 3.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
4.已知方程 x 2 ?my 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( A.m<1 B.-1<m<1 C.m>1 D.0<m<1 2 5.过点(3,-2)且与椭圆 4x +9y2=36 有相同焦点的椭圆方程是( A. )

)

) D.

x2 y2 ? ?1 15 10

B.

y2 x2 ? 2 ?1 15 2 10

C.

x2 y2 ? ?1 10 15

y2 x2 ? 2 ?1 10 2 15

6.椭圆的两焦点的距离为 6,离心率为 A.4 B.8 C. 2 41

3 ,则椭圆短轴长为( 5

)

D. 41

二、填空题 7.椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则它的离心率为 8.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0 ? e ? 9.已知椭圆

3 ,则长轴的最大值等于 2

x2 y2 10 ,则 m ? ? ? 1 的离心率为 e ? 5 5 m 10.若椭圆 3kx2+ky2=1 的一个焦点是(0,4) ,则实数 k 的值为

三、解答题 11.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6.

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(2)焦点坐标为 (? 3 ,0) , ( 3 ,0) ,并且经过点(2,1) .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的

1 . 3

(4)离心率为

3 ,经过点(2,0) . 2

12.椭圆的两焦点为 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,过 F1 作弦 AB,且 ?ABF2 的周长为 20,求此椭圆 的方程.

授课内容:

四、学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:



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