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广西桂林十八中2010届高三第一次月考数学(文)试题


广西桂林十八中 2010 届高三上学期第一次月考 数 学(文 科) 命题人:张志生 审题人:眭道祥

注意:①本试卷共 4 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上,否则不得分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? x 2 x ? 1 ? 5 , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? ?CR B ? ?
2

?

?

?

?

A. ? ?2, ?1?

B.

? ?1,3?

C.

??2, ?1? ? ?3?

D.

? ?1,3? ? ??2?

2.函数 y ? e x?1 ?x ? 0? 的反函数是 A. y ? 1 ? ln x?x ? 0? C. y ? 1 ? ln x?x ? e? 3.函数 y ? ln A. ( ??,1)
3 2

B. y ? ?1 ? ln x?x ? 0? D. y ? ?1 ? ln x?x ? e?

?x

2

? 2 x ? 的单调增区间是
B. (??,0) C. (1, ??) D. (2, ??)

4.函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3 在区间 ?0,3? 上的值域是 A.

??7, ?3?

B.

??3?

C.

??5, ?3?

D.

? ?10, ?3?

5.已知函数 f ? x ? 的定义域是 ?1,2,3?,从集合 ?1,2,3,4,5? 中选出 3 个数构成函数 f ? x ? 的 值域, 若 f ? 3? ? 3 ,则这样的函数 f ? x ? 共有 A. 24 个 6.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? B. 48 个 C. 60 个 D. 125 个

?log2 x, x ? 0 ,则 x ? 3 ,x ? 0
B.

? ? 1 ?? f ? f ? ?? ? ? ? 4 ??
D. 9

1 9

1 9

C. ? 9

7.已知直线 ?, m, n ,且 m , n A.充分不必要条件

? 平面 ? ,则“ ? ? ? ”是“ ? ? m 且 ? ? n ”的
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

8.袋中有 60 个,其中红色球 24 个,蓝色球 18 个,白色球 12 个,黄色球 6 个,从中随机抽 取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率是 A.
1 2 3 4 C6 C12C18 C24 10 C60

B.

1 3 4 C62C12 C18 C24 10 C60

C.

3 1 4 C62C12 C18 C24 10 C60

D.

1 3 4 2 C6 C12C18 C24 10 C60

9. △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6, B ? 120 ,则 a
?

等于 A. 6
2

B.2

C. 3

D. 2

10.已知抛物线 y ? 方程是

36 x2 y 2 x 的准线与双曲线 ? ? 1 的左准线重合,则此双曲线的渐近线 5 9 b

3 4 x B. y ? ? x 4 3 1 1 11.若 1 ? ? ,则下列结论不正确的是 a b
A. y ? ? A. loga b ? logb a C. loga b ? logb a ? 2
3 2

C. y ? ?

5 x 3

D. y ? ?

3 x 5

B. log 2 ? a ? b ? ? log 2 ?

?1 1? ? ??2 ?a b?

D. loga b ? logb a ? loga b ? logb a

12.设 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d , f ? ? x ? 为其导数,右图是 y ? x ? f ? ? x ? 图像的一部分, 则 f ? x ? 的极大值与极小值分别为 A. f ?1? 与 f ? ?1? C. f ? 2 ? 与 f ? ?2? B. f ? ?1? 与 f ?1? D. f ? ?2? 与 f ? 2 ?

y

-2 -1 O

1

2 x

第 II 卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分.

1 ? ? 13. ? x ? ? 的展开式中,常数项为_________. x? ?

6

14.函数 f ? x ? ? 15.函数 y ?

2? ? log 1 ? x ? ? 的定义域是_________. x? 2 ?

x ? x ? 0? 的最大值是_________. x ? x?9
2

16.已知函数 f ? x ? ? ?

?? 3 ? a ? x ? 3, x ? 7 ? ,数列 ?an ? 满足: an ? f ? n ? ? n ? N ? 且 ?an ? 是 x ?6 a ,x ? 7 ?

递增数列,则实数 a 的取值范围是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题;17 题 10 分,17 至 22 题每题 12 分,共 70 分. 17.已知函数 f ? x ? ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin 2 x . (1)求 f ? x ? 的周期; (2)若 x ? ?

? ? ?? , ,求 f ? x ? 的最大值和最小值. ? ? 6 3? ?

18. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

PA ? 底面ABCD , PA ? 2 , M 为 PA 的中点, N 为 BC 的中点.
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面PCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

P
M

A D B
N

C

19.某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人 参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 均为

2 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? , 求 p?? ? 3? .

20.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1)求通项 an ; (2)令 bn ?

an ?n ? N ? ? . an ? 1

2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

2 x2 y2 21.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,短轴长为 2 . a b 2
(1)求椭圆方程; (2)若椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A 、 B ,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 P 、Q 两点.是否存在常数 k ,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线? 如果存在,求 k 值; 如果不存在,请说明理由.

??? ? ????

??? ?

22.已知 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在 x ? ?1 处取得极值, 且在点 1, f ?1? 处的切线斜率为 2 . (1)求 f ? x ? 的单调增区间;

?

?

(2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x3 ? 2 x2 ? x ? m ? 0 在区间 ? 2 , 2 ? 上恰有两个不相等的实 数根, 求实数 m 的取值范围。

?1 ?

? ?

广西桂林十八中 2010 届高三上学期第一次月考 文科数学答案 一、选择题 CDDAB BAADB DD 二、填空题 13. 15 三、解答题 17.解: (1) f ? x ? ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ?? 2分 14.

?x ?

2 ? x ? ?1或 2 ? x ? 2

?

15.

1 7

16. 2 ? a ? 3

?? ? ? sin ? 2 x ? ? ?? 2分 6? ?
?T ? ? ??1分
(2)? x ? ? ?

? ? ? 5? ? ? ? ?? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? ??1分 6 ? 6 6 ? ? 6 3?

fmax ? x ? ? 2 ?? 2分 fmin ? x ? ? ?1 ?? 2分
18.解: (1)取 PD 的中点 E , ??1分 则 ME / /

1 1 AD ,又 NC / / AD , ? ME / /NC , 2 2

? 四边形 MNCE 是平行四边形, ?? 2分

? MN‖ 平面PCD ??1分
(2)作 AF ? AD 交 BC 于 F , 分别以 AF , AD, AP 为 x, y, z 轴建立如图空间直角坐标系 ??1分 则 A ? 0, 0, 0, 2 ? , C ? ?,P ? 0,

? 2 2 ? , 1,0? 1, 0 ? ? 2 ? , D ? 0, 2 ? ?

??? ???? ??? ? ? 2 ? ? ??? 2 AP= ? 0, 0, 2 ? , AD ? ? 0, 1, 0 ? , PC = ? , 1, ? 2 , PD ? ? 0, 1, -2 ? , ? ? 2 ? 2 ? ? ?? 设 平面PAD 的一个法向量为 m= ? x,y, z ?

??? ?? ? ? AP ? m ? 0 由 ? ???? ?? , ??1分 ? ? AD ? m ? 0
得?

?? ?2 z ? 0 ,? m= ?1,0,0 ? ??1分 ? y?0 ?

同理求得 平面PCD 的一个法向量为 n= ? 2,2,1? ?? 2分

?? ? ?? ? m?n ? cos m, n = ?? ? ??1分 m?n
? 2 ??1分 3
2 ??1分 3

? 二面角 A ? PD ? C 的大小为 arc cos

19.解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A, “科目 A 补考合格”为事件 A2; “科目 B 第一次考试合格”为事件 B, “科目 B 补考合格”为事件 B. ??1分 (1)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A 1?B 1 ) ? P( A 1 ) ? P( B 1 ) . ?? 2分

2 1 1 ? ? ? ??3分 3 2 3
答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

1 . 3

?? 2分 (2)由已知得, P(? ? 3) ? P( A 1?B 1 ? B2 ) ? P( A 1?B 1 ? B2 ) ? P( A 1? A 2 ? B2 )

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ??3分 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 9

答: P(? ? 3) ?

4 . ??1分 9

20.解: (1) an ?1 ?

an 1 1 ? ? ? 1 ?? 2分 an ?1 an an ? 1

1 ? ?1 ? a1 ? 1 ? 1 ? a ? a ?1 1 ? 2 ?? 2分 ? 1 1 1 ? ?1 ? ?n ? an ? a3 a2 ? ? ? ? ?1 1 ?1 ? ? ? an an ?1

? an ?

1 ? n ? N *? ??2分 n

(2) bn ? n ? 2n

?Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ,可得 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 , ??1分
两式相减得: ??1分

?Tn ? 2 ? ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? n ? 2n?1 ??1分
? 2 ? ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n ? 2n ?1 ??1分

? ?1 ? n? ? 2n?1 ? 2 ??1分 ?Tn ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ??1分
21.解: (1)椭圆方程是

x2 ? y 2 ? 1 ?? 4分 2

(2)由已知条件,直线 l : y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2

整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ① ?? 2分 ?2 ?
2

由已知得 ? ? 8k ? 4 ?

2 2 ?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? 或k ? . ??1分 2 2 ?2 ?

设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?

??? ? ??? ?

4 2k . ② 1 ? 2k 2

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . ③ 而 A( 2 ,, 0) B(01) ,, AB ? (? 21) ,, 所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

2 , ?? 4分 2

又k ? ?

2 2 或k ? , 2 2

故没有符合题意的常数 k . ??1分 22.解: (1)

f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2 ??1分

由题意,得 ?

? f ? ? ?1? ? 0 , ??1分 ? f ? ?1? ? 2

1 ? a?? ? 3 a ? 2 b ? 2 ? 0 ? ? 3 ?? ,? ? ??1分 ?3a ? 2b ? 2 ? 2 ? b ? 1 ? ? 2

? f ? ? x ? ? ? x2 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2?? x ? 1? ,由 f ? ? x ? ? 0 得 ?1 ? x ? 2 ??1分 ? f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,2? ??1分
1 3 1 2 x ? x ? 2x 3 2 2 3 ? f ? x ? ? x3 ? 2 x2 ? x ? m ? 0 ? x3 ? x2 ? x ? m ? 0 3 2 2 3 3 2 令 g ? x ? ? x ? x ? x ? m ??1分 3 2
(2)由(1)知 f ? x ? ? ?
2 则 g? ? x ? ? 2 x ? 3x ? 1 ? ? x ? 1?? 2 x ? 1? ,由 g? ? x ? ? 0 得 x1 ? 1, x2 ?

1 ??1分 2

当 x 变化时, g? ? x ? , g ? x ? 的变化情况如下表:

x

1 2

?1 ? ? ,1? ?2 ?

1

?1,2?

2

g? ? x ?
g ? x?
m? 5 24

?

0 极小值

+

m?

4 3

当 x ? 1 时, g ? x ?极小值 =g ?1? ? m ?

1 ??2分 6

关于 x 的方程 f ? x ? ? x3 ? 2 x2 ? x ? m ? 0 在区间 ? 2 , 2 ? 上恰有两个不相等的实数根的充

?1 ?

? ?

? ?1? ?g ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? 要条件是 ? g ?1? ? 0 ??2分 , ? g ?2? ? 0 ? ? ?

5 ? m ? ?0 ? 24 ? 1 5 1 ? ? ? m ? ? 0 ,?? ? m ? ? ??1分 6 24 6 ? 4 ? m? ?0 ? 3 ?


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