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北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案



北京市东城区 2015-2016 学年下学期高一期末考试 数学试卷 本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。 第一部分(选择题 共 24 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 不等式 x ? 2 x ? 3 的解集是
2

A. C.

/>?x | ?1 ? x ? 3?

B. D.

?x | ?3 ? x ? 1?

?x | x ? ?3或x ? 1?

?x | x ? ?1或x ? 3?

2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》 和《西游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班 本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 A.

2 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

3. 已知 a ? b ? 0 ,则 A. a ? ab
2

B. ab ? b

2

C. a ? b
2

2

D. a ? b
2

2

4. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是 A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200
→ →

?

B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200

→ 1 → BA ,则向量 OM = 3

?

?

?

5. 已知非零向量 OA , OB 不共线,且 BM = A.

1 → 2 → OA + OB 3 3 1 → 2 → OA - OB 3 3

B.

2 → 1 → OA + OB 3 3 1 → 4 → OA - OB 3 3

C.

D.

6. 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,那么输出的 S 的值为

-1-

A. -1

B. 0

C. 1

D. 3

7. 已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等比数列,则 A. a1d ? 0, dS3 ? 0 C. a1d ? 0, dS3 ? 0 B. a1d ? 0, dS3 ? 0 D. a1d ? 0, dS3 ? 0

8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织, 日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1 匹=40 尺,一丈=10 尺),问日益几何?” 其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二 天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少 尺布?”若一个月按 30 天算,则每天增加量为

A.

1 尺 2

B.

8 尺 15

C.

16 尺 29

D.

16 尺 31

第二部分 (非选择题 共 76 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
-2-

9. 某学院 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用 分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则该学院 C 专业应抽取______名学生. 10. 如图所示,在边长为 1 的正方形中,随机撒豆子,其中有 1000 粒豆子落在正方形中, 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_________.

11. 若非零向量 a,b 满足 a ? b ,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为_________.

o sC ? cc o s B a s i ? n 12. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若bc
的度数为_______________. 13. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足

A

, 则 ?A

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为___________. 3 4

14. 已知平面向量 a,b 和 c 在同一平面内且两两不共线,关于非零向量 a 的分解有如下四 个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数λ 和μ ,使 a=λ b+μ c; ③给定单位向量 b 和正数μ ,总存在单位向量 C 和实数λ ,使 a=λ b+μ c; ④给定正数λ 和μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λ b+μ c. 则所有正确的命题序号是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(3,2),D(-3,-1),以线段 AB,AD 为 邻边作平行四边形 ABCD. 求 (I)点 C 的坐标; (II)平行四边形 ABCD 的面积. 16. (本题满分 9 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列,满足 a1 ? 3, a4 ? 24 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, b4 ? 22 ,且

?bn ? an ? 是等差数列.
(I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
-3-

(II)求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 17.(本题满分 9 分) △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? 3a cos B . (I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a,c 的长. 18. (本题满分 9 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同, 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随 机抽取 8 天的数据如下: 甲公司某员工 A:32 乙公司某员工 B:42 33 36 33 36 35 34 36 37 39 44 33 42 41 36

(I) 根据两组数据完成甲、 乙两个快递公司某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图, 并通过茎叶图,对员工 A 和员工 B 投递快递件数作比较,写出一个统计结论:

统计结论:__________________________________________________________ (II)请根据甲公司员工 A 和乙公司员工 B 分别随机抽取的 8 天投递快递件数,试估计 甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 19.(本题满分 9 分) 已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)( x ? 2) ? 2 的解集为 A,且 3 ? A . (I)求实数 a 的取值范围; (II)求集合 A. 20.(本体满分 8 分) 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1, a2 ,?, ak ? (k ? 1,2,?, m) ,即 bk 为

a1 , a2 ,?, ak 中的最大值,并称数列 ?bk ? 是 ?an ? 的控制数列 . 如 1,3,2,5,5 的控制数列是
1,3,3,5,5. (I)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有符合条件的数列

?an ? ;
( II ) 设 m=100 , 若 an ?| 2 n?

4, | ?bn ? 是

?an ?

的 控 制 数 列 , 求

-4-

(b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ?? (b100 ? a100 ) 的值;
(III)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C (C 为常数, k ? 1, 2,?, m ). 求证: bk ? ak (k ? 1, 2,?, m) .

-5-

参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 题号 答案 9 40 10 0.18 11 120° 12 90° 13 3 14 ①②

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 8 分) 解:(I) AB ? (4, 4), AD ? (?2,1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? AC ? AB ? AD ? (2,5) ,点 C 的坐标为(1,3).??????????4 分 ??? ? ???? (II) AB ? 4 2, AD ? 5 .
??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AD 10 . cos ? AB, AD ?? ??? ? ???? ? ? 10 AB ? AD

??? ? ???? 3 10 . sin ? AB, AD ?? 10 ??? ? ???? ??? ? ???? S ABCD ? AB ? AD ? sin AB, AD ?? 12 .????????????8 分
16. (本题满分 9 分) 解:(I)设等比数列 ?an ? 的公比为 q,由题意得 q ?
3

a4 24 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . a1 3

所以 an ? a1qn?1 ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) .????????????3 分 设等差数列 ?bn ? an ? 的公差为 d, 所以 b4 ? a4 ? (b1 ? a1 ) ? 3d .即 22 ? 24 ? (4 ? 3) ? 3d .解得 d ? ?1 .??????5 分 所以 bn ? an ? (b1 ? a1 ) ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? n . 从而 bn ? 2 ? n ? 3? 2
n?1

(n ? 1, 2,?). ????????????6 分
n?1

(II)由(I)知 bn ? 2 ? n ? 3? 2

(n ? 1,2, ? ).

-6-

数列 ?2 ? n? 的前 n 项和为

n (3 ? n) ,数列 ?3 ? 2 n ?1? 的前 n 项和为 2

3?

1 ? 2n ? 3(2n ? 1) ? 3 ? 2n ? 3 ..????????9 分 1? 2
n (3 ? n) ? 3 ? 2 n ? 3 . 2

所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 17.(本题满分 9 分)

解: (I)∵ b sin A ? 3 acos B ,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B .???2 分 ∵ sin A ? 0 ,∴ tan B ? 3 .??????????3 分 ∴B ?

?
3

.????????????4 分

(II)∵ sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,????????5 分 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,
2 2 2

得 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2

?
3

.??????????7 分

解得 a ? 3 .????????????8 分 ∴ c ? 2a ? 2 3 .????????????9 分 18.(本题满分 9 分) 解:(I)某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图如下:

统计结论:通过茎叶图可以看出,乙公司某员工 B 投递快递件数的平均值高于甲公司某 员工 A 投递快递件数的平均值.(其它正确的结论照样给分)????????4 分 (II)设事件 Ai 为“甲公司某员工 A 在抽取的 8 天中,第 i 天投递的快递件数”, 事件 Bi 为“乙公司某员工 B 在抽取的 8 天中,第 i 天投递的快递件数”,i=1,2,?,8. 设事件 C 为“甲公司某员工 A 比乙公司某员工 B 投递的快递件数多” . 由题意知

C ? A4 B4 ? A ? A6 B8? A ? A ? A ? A 5B 4? A 6B 2? A 6B 3? A 6B 4? A 6B 5 8B 2 8B 3 8B 4 8B 5 UA 8B 8 12 3 ? .????????????8 分 因此 P (C ) ? 64 16

-7-

因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为 9分 19.(本题满分 9 分)

3 .?????? 16

解:(I)∵ 3 ? A ,∴当 x ? 3 时,有 (ax ? 1)( x ? 2) ? 2 ,即 3a ? 1 ? 2 . ∴ a ? 1 ,即 a 的取值范围是 ?a | a ? 1 ? .??????????3 分 (II)

(ax ?1)( x ? 2) ? 2 ? (ax ?1)( x ? 2) ? 2 ? 0 ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 0 ??????4 分
当 a=0 时,集合 A ? ?x | x ? 0? ;????????????5 分 当a ? ? 当a ? ? 当?

1 1? ? 时,集合 A ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ? ;????????6 分 2 a? ? 1 时,原不等式解集 A 为空集;????????7 分 2

1 1 ? ? ? a ? 0 时,集合 A ? ? x | 2 ? ? x ? 0? ;????????8 分 2 a ? ?

当 0 ? a ? 1 时,集合 A ? ? x | x ? 0或x ? 2 ? 20. (本题满分 8 分)

? ?

1? ? .????????9 分 a?

解 : ( I ) 数 列 ?an ? 为 2,3,4,5,1 ; 2,3,4,5,2 ; 2,3,4,5,3 ; 2,3,4,5,4 ; 2,3,4,5,5.??????2 分 (II)∵ an ?| 2n ? 4 | , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列, ∴ b1 ? a1 ? 2, a2 ? 0, b2 ? 2 . 当 n≥3 时, bn ? an , ∴ (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) ? 2 .??????????5 分 (III)因为 bk ? max ?a1, a2 ,?ak ?, bk ?1 ? max ?a1, a2 ,?ak , ak ?1? , 所以 bk ?1 ? bk .??????????????6 分 因为 ak ? bm?k ?1 ? C, ak ?1 ? bm?k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm?k ?1 ? bm?k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak .??????????7 分 因此, bk ? ak .????????????8 分

-8-



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