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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义四.4.1



数学

北(理)

§4.1

任意角、弧度制及任意角 的三角函数
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
1.角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成 平面内的 一条射线 绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所 成的 图形 ;②分类:角按旋转 方

向分为 正角 、 负角 和 零角 . (2)所有与角 α 终边相同的角, 连 同角 α 在内,构成的角的集合是
360° +α,k∈Z} . S= {β|β=k·

难点正本 疑点清源

1.对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”,把 “0° ~ 90° 的角 ” 等同于 “ 第 一象限的角”.其实锐角的集 合是{α|0° <α<90° }, 第一象限角 的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° + 90° ,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等, 相等的角终边一定相同,终边 相同的角的同一三角函数值 相等.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
(3)象限角:①定义:使角的顶点与坐 标原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合,那么,角的终边在第几象 限,就说这个角是第几象限角;如果 角的终边在坐标轴上,那么这个角不 属于任何一个象限.②分类:角按终 边位置不同分为 象限角 和 轴线角 .
难点正本 疑点清源

1.对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”, 把 “0° ~ 90° 的角 ” 等同于 “ 第 一象限的角”.其实锐角的集 合是{α|0° <α<90° }, 第一象限角 的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° + 90° ,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等, 相等的角终边一定相同,终边 相同的角的同一三角函数值 相等.

基础知识

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要点梳理
2.弧度制 (1)定义: 把长度等于 半径 长的弧所 对的圆心角叫作 1 弧度的角,正角 的弧度数是 正数 ,负角的弧度数 是 负数 ,零角的弧度数是 零 . (2)用“弧度”做单位来度量角的制 l 度叫做弧度制.|α|= r ,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为 l 半径. 比值 与所取的 r 的大小无关 , r 仅与 角的大小 有关.
基础知识 题型分类

难点正本 疑点清源

2.对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数,它可以 看成是从一个角(弧度制)的集合 到一个比值的集合的函数, 也可 以看成是以实数为自变量的函 数,定义域为使比值有意义的角 的范围. y 如 tan α= 有意义的条件是角 α x 终边上任一点 P(x,y)的横坐标 不等于零, 也就是角 α 的终边不 能与 y 轴重合,故正切函数的定 ? ? π ? ? ? 义域为?α|α≠kπ+2,k∈Z? . ? ? ?
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基础知识·自主学习
要点梳理
(3)角度制和弧度制的互化:180° =π ?180? π ? ?° 180 rad,1° = rad,1 rad= ? π ? .
难点正本 疑点清源

2.对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数, 它可以 看成是从一个角 (弧度制 )的集合 到一个比值的集合的函数, 也可 以看成是以实数为自变量的函 数, 定义域为使比值有意义的角 的范围. y 如 tan α= 有意义的条件是角 α x 终边上任一点 P(x,y)的横坐标 不等于零, 也就是角 α 的终边不 能与 y 轴重合,故正切函数的定 ? ? ? π ? ? 义域为?α|α≠kπ+ ,k∈Z? . ? 2 ? ?
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r ,扇形 (4)扇形的弧长公式:l= |α|· 1 1 2 lr = | α |· r 的面积公式:S= 2 . 2

基础知识·自主学习
要点梳理
3.任意角的三角函数 (1) 任意角 α 的终边与单位圆交于点 y P(x,y)时, y sin α= ,cos α= x , tan α= x . 三个三角函数的初步性 质如下表:
三角 函数 sin α cos α 定义域 第一 象限 符号 + + + 第二 象限 符号 + - - 第三 象限 符号 - - + 第四 象限 符号 - + -

难点正本 疑点清源
3.三角函数线是三角函数的 几何表示
(1)正弦线、 正切线的方向同纵轴 一致,向上为正,向下为负. (2)余弦线的方向同横轴一致, 向 右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时, 点 T 与点 A 重合,此时正切线变成 了一个点, 当角 α 的终边在 y 轴 上时,点 T 不存在,即正切线不存在. (4) 在 “ 数 ” 的角度认识任意角 的三角函数的基础上, 还可以从 图形角度考察任意角的三角函 数, 即用有向线段表示三角函数 值, 这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方.

R R

{α|α≠kπ+ tan α π 2,k∈Z}

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是: 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
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要点梳理 动画展示 4.三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P
作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切 线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

难点正本 疑点清源
3.三角函数线是三角函数的 几何表示
(1)正弦线、 正切线的方向同纵轴 一致,向上为正,向下为负. (2)余弦线的方向同横轴一致, 向 右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时, 点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了 一个点,当角 α 的终边在 y 轴上 时,点 T 不存在,即正切线不存在. (4) 在 “ 数 ” 的角度认识任意角 的三角函数的基础上,还可以从 图形角度考察任意角的三角函

三 角 函 数 线

( Ⅰ)

(Ⅱ)

( Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线
基础知识 题型分类

数,即用有向线段表示三角函数 值,这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方.

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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
(-1, 3)
-8

解析

C
C C

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合; 6π 角的终边相同, 7 θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 3 (2)若角 θ 的终边与 的角; (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 α 2α、 所在的象限. 2

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题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合; (2)若角 θ 的终边与

6π 角的终边相同, 7 判断; 根据角的定义可以把角放 θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 在坐标系中确定所在象限. 3 的角; (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 α 2α、 所在的象限. 2

利用终边相同的角进行表示或

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题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

π 上的角的集合; 解 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}. 3 6π (2)若角 6θ 的终边与 7 角的终边相同, 6 (2)所有与 π 角终边相同的角的集合是{θ|θ= π+2kπ,k∈Z},∴所有与 7 7 θ θ 求在 [0,2π)内终边与 3 角的终边相同 θ 2 2 角终边相同的角可表示为 = π+ kπ,k∈Z. 3 3 7 3 的角; θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π, π, π. 3 7 21 21 (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 π (3)∵2kπ< α α<2kπ+2,k∈Z, π 2α、 所在的象限. α 2 ∴4kπ<2 α<4kπ+π,kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或第 2 三象限.
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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合;

所有与 α 角终边相同的角(连同角 6π (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同, 7 α 在内 ),可以表示为 β=k· 360° + θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 3 α, k∈Z; 在确定 α 角所在象限时,

的角;

有时需要对整数 k 的奇、偶情况

(3)已知角 α 是第一象限角,试确定 进行讨论. α 2α、 所在的象限. 2

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变式训练 1 已知角 α=45° , 解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表 +k×360° (k∈Z), (1)在区间[-720° , 0° ]内找出所 示为 β=45° ≤45° +k×360° ≤0° , 有与角 α 有相同终边的角 β; 则令-720° 得-765° ≤k×360° ≤-45° , (2)设集合 M= ? ? 765 45 ? k ? ?x|x= ×180° +45° ,k∈Z?, 解得-360≤k≤-360,从而 k=-2 或 k ? 2 ? ? ? =-1, N= 代入得 β=-675° 或 β=-315° . ? ? ? k ? ?x|x= ×180° +45° ,k∈Z? , (2)因为 M= {x|x = (2k+1)×45° ,k∈Z} ? 4 ? ? ? 表示的是终边落在四个象限的平分线上 那么两集合的关系是什么? 的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表 示终边落在坐标轴或四个象限平分线上 的角的集合,从而 M N.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x, 3 - 2) ( x ≠ 0) ,且 cos α = x , 6 1 求 sin α+ 的值. tan α

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题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x, 3 - 2) ( x ≠ 0) ,且 cos α = x , 6 1 求 sin α+ 的值. tan α

先根据任意角的三角函数的 1 定义求 x,再求 sin α+ tan α 的值.

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题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x, 解-∵ P(x(,- (x≠cos 0), α = 3 x , 2) x ≠ 0)2) ,且 6 ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 1 求 sin α+ 的值. 3 x 3 tan α 又 cos α= x,∴cos α= 2 = x. 6 x +2 6

∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), - 2 6 1 10 由三角函数的定义,有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α 2 3 - 2 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ; tan α 6 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ = . tan α 6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x, 3 - 2) ( x ≠ 0) ,且 cos α = x , 任意角的三角函数值与终边所在 6 1 求 sin α+ 的值. 的位置有关,与点在终边上的位 tan α

置无关,故要首先判定 P 点所在 的象限,确定 r,最后根据定义 求解.

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变式训练 2 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, 求 sin α, cos α, tan α 的值.

解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t,

r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sin α= = =- ,cos α= = = , r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 tan α= = =- ; x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α= = =- ,tan α= = =- . r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- 或 sin α= , 5 5 4 5 4 3 cos α=- ,tan α=- . 5 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

由 θ 所在象限,可以确定 sin θ、 cos θ 的符号;解三角不等式,可以 利用三角函数线.

基础知识

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题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
解析

思维启迪 (1)若 θ 是第二象限角, sin?cos π θ? 的符号; 试判断 解 (1)∵2cos kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), ?sin 2 2θ? 1 θ<4kπ+2π (k∈Z), ∴- 1<cos <0,4 k≤- π+π<2 (2) 已知 θ cos α ,求角 α 的 2 -1≤sin 2θ<0,∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. 集合. sin?cos θ? sin?cos θ? ∴ <0,∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ?

探究提高

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 2 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围, 故满足条件的角 2 4 α 的集合为{α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

(1) 熟练掌握三角函数在各象限的 符号. (2)利用单位圆解三角不等式 (组 )的 一般步骤: ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集, 找单位圆中公共的部分; ④写出角的表达式.

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π 2 3 x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. sin x- 的定义域为{ _______________________ 3 3 2

变式训练 3 (1)y=

解析

3 3 ∵sin x≥ ,作直线 y= 交单位圆于 A、B 2 2

两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中 阴影部分)即为角 α 的终边的范围, 故满足条件的角 α π 2 的集合为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3

基础知识

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变式训练 3 (2)已知 sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点 P(tan θ,cos θ) 在第几象限?
π 解析 方法一 由 sin 2θ<0,得 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z),kπ+ 2 <θ<kπ+π (k∈Z). 当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限; 当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限. 又因 cos θ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的

终边在第二象限. 所以 tan θ<0,cos θ<0,点 P 在第三象限. 方法二 由|cos θ|=-cos θ 知 cos θ≤0, 又 sin 2θ<0,即 2sin θcos θ<0,
? ?sin θ>0 由①②可推出? ? ?cos θ<0

① ②

,因此 θ 在第二象限,P(tan θ,cos θ)在第三象
思想方法 练出高分

限. 基础知识

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

探究提高

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

探究提高

(1) 弓形面积可由扇形面积与三角 形面积相减得到;(2)建立关于 α 的 函数.

基础知识

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α


探究提高

(α>0),所在圆的半径为 R. (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π=60° 10π (1)若 α ,R=10πcm,求扇 α=60° = ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3 形的弧长及该弧所在的弓形的 ?π 1 10π 1 π 50 50 3 3? ? 2 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×10 ×sin = π- =50? - ? (cm2). ? 2 3 2 3 3 2 面积; 2? ?3 C (2)扇形周长 C = 2 R + l = 2 R + αR , ∴ R = , (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C 2+α ? C ? (C>0) α 1 ,当 1 为多少弧度时,该 ? ?2 2 ∴S 扇= α· R = α· ? 2 2 ?2+α? ? 扇形有最大面积? C2 1 C2 1 C2 = α· = · ≤ . 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+ 2 α C 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R.

探究提高

(1)在弧度制下,计算扇形的面积和

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 弧长比在角度制下更方便、简捷. 形的弧长及该弧所在的弓形的 (2)从扇形面积出发,在弧度制下使 面积;

问题转化为关于 α 的不等式或利用

(2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C 二次函数求最值的方法确定相应最值. (C>0),当 α 为多少弧度时,该 (3)记住下列公式:①l=αR;②S= 1 1 2 lR ; ③ S = αR .其中 R 是扇形的半 扇形有最大面积? 2 2

径,l 是弧长,α(0<α<2π) 为圆心角,

S 是扇形面积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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变式训练 4 (1)一个半径为 r 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形 的扇形,若它的周长等于弧所 的周长是 2r+rθ. 依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2) rad. 在的半圆的长,那么扇形的圆 12 1 ∴扇形的面积 S= r θ= (π-2)r2. 2 2 心角是多少弧度?扇形的面 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 积是多少? 则 l+2r=20,即 l=20-2r (0<r<10). (2)一扇形的周长为 20 cm;当 1 1 ∴扇形的面积 S= lr= (20-2r)r 2 2 扇形的圆心角 α 等于多少弧度 =-r2+10r=-(r-5)2+25. 时,这个扇形的面积最大? ∴当 r=5 时,S 有最大值 25,此时 l= l 10,α= =2 rad. r 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取得 最大值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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思想与方法 7.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12分)(1)求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

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思想与方法 7.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12分)(1)求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

(1)求定义域,就是求使3-4sin2x>0的x的范围.用三角函数线求解. (2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ θ θ ①θ是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定.②sin ,cos , 2 2 2 θ tan 不能求出确定值,但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较 2 大小.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法 7.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12分)(1)求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒



(1)∵3-4sin2x>0, 3 3 3 2 2分 ∴sin x< ,∴- <sin x< . 4 2 2 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
? π π? ? ∴x∈?kπ-3,kπ+3? ?(k∈Z). ? ?

4分

(2)∵θ是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π θ ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z,∴ 是第一或第三象限的角. 4 2 2 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: 思想方法 题型分类 基础知识

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 7.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12分)(1)求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 θ θ θ θ ①当 是第一象限角时,sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 2 θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; 6分 2 2 2 θ θ θ θ ②当 是第三象限角时,sin =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2 2 θ θ θ 10分 得sin <cos <tan . 2 2 2
θ θ θ θ 综上可得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan . 2 2 2 2
基础知识 题型分类 思想方法

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 7.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12分)(1)求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设θ是第二象限角,试比较sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函数图 像,也可以用三角函数线.用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大 小,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观的表示.3.本题 θ 易错点:①不能确定 所在的象限;②想不到应用三角函数线.原因 2 在于概念理解不透,方法不够灵活.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一 点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r

方 法 与 技 巧

一定是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基 础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切, 四余弦.

3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角 函数线是一个小技巧.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°

失 误 与 防 范

的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第 二、第三类是区间角.

2.角度制与弧度制可利用180° =π rad进行互化,在同 一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.

3.注意熟记0° ~360° 间特殊角的弧度表示.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.角α的终边过点P(-1,2),则sin α等于 5 2 5 5 2 5 A. B. C.- D.- 5 5 5 5

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.角α的终边过点P(-1,2),则sin α等于 5 2 5 5 2 5 A. B. C.- D.- 5 5 5 5

( B )

解 析
由三角函数的定义,

2 2 5 得sin α= 2 2= 5 . ?-1? +2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

( B )

解 析
在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除A、 C、D,故选B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周 长为 A.2 ( B.4 C.6 D.8 )

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周 长为 A.2 ( C ) B.4 C.6 D.8

解 析
1 2 设扇形的半径为R,则 R |α|=2, 2

∴R2=1,∴R=1, ∴扇形的周长为2R+|α|· R=2+4=6,故选C.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
2 4.有下列命题: 1 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

①终边相同的角的同名三角函数的 值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的 值不等; ③若sin α>0,则α是第一、二象限的 角;

解 析
①正确,②不正确, π 2π π 2π ∵sin =sin ,而 与 角的终 3 3 3 3 边不相同. ③不正确.sin α>0,α的终边也

可能在y轴的非负半轴上.

④若α是第二象限的角,且P(x,y)是 ④不正确.在三角函数的定义 x x -x 中,cos α= = 2 2,不论角α r 其终边上一点,则cos α= 2 2. x +y x +y 在平面直角坐标系的任何位置, A 其中正确的命题的个数是 ( ) 结论都成立. A.1 B.2 C.3 D.4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第_____ 象限.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

二 5.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第_____
象限.

解 析
点P在第三象限,∴tan α<0,cos α<0.

∴α在第二象限.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2 6.设α为第二象限角,其终边上一点为P(m, 5),且cos α= m, 4 则sin α的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2 6.设α为第二象限角,其终边上一点为P(m, 5),且cos α= m, 4 10 则sin α的值为________ 4 .

解 析
设P(m, 5)到原点O的距离为r,
m 2 则 =cos α= m, r 4 5 5 10 ∴r=2 2,sin α= = = . r 2 2 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.函数y= sin x+

1 -cos x的定义域是_____________________. 2

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
?π ? ? +2kπ,π+2kπ?(k∈Z) ?3 ? x的定义域是_____________________ .

7.函数y= sin x+

1 -cos 2

解 析
? ?sin x≥0, 由题意知?1 -cos x≥0, ? ?2 ? ?sin x≥0, 即? 1 cos x≤ . ? 2 ?

π ∴x的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2 8.(10分)已知角θ的终边经过点P(- 3,m) (m≠0)且sin θ= m,试 4 判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10分)已知角θ的终边经过点P(- 3,m) (m≠0)且sin θ= 判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.

2 m,试 4

解 析
由题意,得r= 3+m2, m 2 所以sin θ= 2= 4 m. 3+m 因为m≠0,所以m=± 5,故角θ是第二或第三象限角. 解

当m= 5 时,r=2 2 ,点P的坐标为(- 3 , 5 ),角θ是第二象限 x - 3 6 角, 所以cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- ; x - 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10分)已知角θ的终边经过点P(- 3,m) (m≠0)且sin θ= 判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.

2 m,试 4

解 析
当m=- 5时,r=2 2 ,点P的坐标为(- 3,- 5),角θ是第 三象限角,

x - 3 6 所以cos θ= = =- , r 2 2 4 y - 5 15 tan θ= = = . x - 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角 的弧度数和弦长AB.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角 的弧度数和弦长AB.

解 析
解 设圆的半径为r cm,弧长为l cm,

1 ? ? ? lr=1, ?r=1, 2 则? 解得? ? ?l=2. ? l + 2 r = 4 , ? l ∴圆心角α= =2. r 如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1弧度.
∴AH=1· sin 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4 1.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30° ),且cos α=- ,则m 5 的值为 1 A.- 2 ( B. 1 2 C.- 3 2 D. 3 2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4 1.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30° ),且cos α=- ,则m 5 的值为 1 A.- 2 ( B ) B. 1 2 C.- 3 2 D. 3 2

解 析
-8m 4 ∵r= 64m +9,∴cos α= =- , 2 5 64m +9
2

4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,即m= . 2 64m2+9 25

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ?sin ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知点P 的值为 π A. 4

3π 3π? ? ,cos 落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ 4 4? ? ( ) C. 5π 4 D. 7π 4

3π B. 4

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ?sin ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知点P 的值为 π A. 4

3π 3π? ? ,cos 落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ 4 4? ? ( D ) C. 5π 4 D. 7π 4

3π B. 4

解 析
3π 3π 由sin >0,cos <0知角θ是第四象限的角, 4 4 3π cos 4 7π ∵tan θ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= . 3π 4 sin 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或 第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制 度量一个角,它们与扇形的半径 的大小无关; ④若sin α=sin β,则α与β的终边 相同; ⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三 象限的角. 其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
基础知识 题型分类

解 析

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3.给出下列命题:

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或 第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制 度量一个角,它们与扇形的半径 的大小无关; ④若sin α=sin β,则α与β的终边 相同; ⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三 象限的角. 其中正确命题的个数是 ( A ) A.1 B.2 C.3 D.4
基础知识 题型分类

解 析
由于第一象限角370° 不小于第二象 限角100° ,故①错; 当三角形的内角为90° 时,其既不 是第一象限角,也不是第二象限 角,故②错;③正确; π 5π π 5π 由于sin =sin ,但 与 的终 6 6 6 6
边不相同,故④错; 当cos θ=-1,θ=π时既不是第二

象限角,又不是第三象限角,故 ⑤错.综上可知只有③正确.
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(-4m,3m) (m>0)是α终边上一点,则2sin α+cos α=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(-4m,3m) 2 5 (m>0)是α终边上一点,则2sin α+cos α=________.

解 析
3 4 由条件可求得r=5m,所以sin α= ,cos α=- , 5 5

2 所以2sin α+cos α= . 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.函数y= 2cos x-1的定义域为__________________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.函数y= 2cos

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 3? ? x-1的定义域为__________________________ .

解 析
∵2cos x-1≥0,

1 ∴cos x≥ . 2

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
? π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3? ?(k∈Z). ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.一扇形的圆心角为120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之 比为_______________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.一扇形的圆心角为120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之

(7+4 3)∶9 . 比为_______________

解 析
设扇形半径为R,内切圆半径为r.
? 2 3? ? ? 60° =r,即R=?1+ r. 3 ? ? ?

则(R-r)sin

1 2 1 2π π 2 7+4 3 2 2 又S扇= αR = × ×R = R = πr , 2 2 3 3 9 S扇 7+4 3 ∴ 2= . πr 9
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13分)已知sin α<0,tan α>0. α (1)求α角的集合; (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13分)已知sin α<0,tan α>0. α (1)求α角的集合; (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析
解 (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上;

由tan α>0,知α在第一、三象限,
3π 故α角在第三象限,其集合为{α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 3π π α 3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ ,得kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 2 2 2 4 α 故 终边在第二、四象限. 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13分)已知sin α<0,tan α>0. α (1)求α角的集合; (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析
α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 α α α 所以tan sin cos 取正号; 2 2 2 α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 α α α 所以tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan sin cos 取正号. 2 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



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