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山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《2.1.3分层抽样》课件



2.1.3 分层抽样
【课标要求】 1.理解分层抽样的概念. 2.会用分层抽样从总体中抽取样本. 3.了解三种抽样法的联系和区别. 【核心扫描】 1.分层抽样的使用条件和操作步骤.(重点) 2.用分层抽样解决实际问题.(重难点)

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自学导引<

br />分层抽样的概念 1. 分成互不交叉的层 一般地,在抽样时,将总体_________________,然后 按照一定的比例 ______________,从_________地抽取一定数量的个体, 各层独立 各层 将_____取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是 一种分层抽样. 分层抽样的适用条件 2. 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充分考虑保 样本结构 总体结构 持_________与_________的一致性,这对提高样本的代表 差异明显 性非常重要.当总体是由_________的几个部分组成时, 往往选用分层抽样的方法.
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系统抽样时,将总体分成均等的几部分,每部分抽取 一个,符合分层抽样,故系统抽样就是一种特殊的分层抽 样,对吗? 提示 不对.因为分层抽样是从各层独立地抽取个体,而 系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的,各层 编号有联系,不是独立的,故系统抽样不同于分层抽样.

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名师点睛
1. 分层抽样的特点、步骤及公平性 (1)分层抽样的操作步骤为 ①根据已掌握的信息,将总体分成互不相交的层.
n ②根据总体中的个体数 N 和样本容量 n 计算抽样比 k= . N ③确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k(Ni为第i层所包 含的个体数),使得各Ni之和为N.

④在各个层中按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个 体,合在一起得到容量为n的样本.

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(2)分层抽样的特点 ①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况; ②更充分的反映了总体的情况; ③等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等. (3)分层抽样的公平性 在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的, 与层数及分层无关.

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2.三种抽样方法的区别与联系 类 别 共同点 各自特点 从总体中 逐个抽取 (1)抽样过程 中每个个体 被抽到的可 能性相等; (2)每次抽出 个体后不再 放回,即不 放 回抽样 将总体均 分成几个 部分,按事 先确定的 规则在各 部分抽取 将总体分 成几层, 分层次进 行抽取
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相互联系

简单随 机抽样

适用范围 总体中的 个体数较 少

系统 抽样

在起始部 分采用简 单随机抽 样 在各层抽 样时采用 简单随机 抽样或系 统抽样
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总体中 的个体 数较多

分层 抽样

总体由存 在明显差 异的几部 分组成
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当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容 量较小时宜用随机数表法;当总体容量较大,样本容量也 较大时宜用系统抽样.

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题型一

分层抽样的概念

【例1】某中学有老年教师20人,中年教师65人,青年教师95 人.为了调查他们的健康状况,需从他们中抽取一个容量 为36的样本,则合适的抽样方法是 ( ). A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数法 [思路探索] 各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据. 解析 由于老年人、中年人和青年人的身体情况会有明显 的差异,所以要用分层抽样.故选C. 答案 C
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规律方法 各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据, 至于各层内用什么方法抽样是灵活的,可用简单随机抽 样,也可采用系统抽样.分层抽样中,无论哪一层的个 体,被抽中的机会均等,体现了抽样的公平性.

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【变式1】一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120 人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分 层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应 抽取超过45岁的职工________人.
解析 抽样比为 25∶200=1∶8, 而超过 45 岁的职工有 80 人,

1 则从中应抽取的个体数为 80× =10. 8 答案 10

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题型二

分层抽样的应用

【例2】某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进 行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度 的人数如下表所示:
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱

2 435

4 567

3 926

1 072

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中 再抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样?

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[思路探索] 人数多,差异大 → 分层抽样 → 确定每层?抽取比例 → 在各层中分别抽取 → 合在一起得样本
解 60 采用分层抽样的方法,抽样比为 . 12 000

60 “很喜爱”的有 2 435 人,应抽取 2 435× ≈12(人); 12 000 60 “喜爱”的有 4 567 人,应抽取 4 567× ≈23(人); 12 000 60 “一般”的有 3 926 人,应抽取 3 926× ≈20(人); 12 000 60 “不喜爱”的有 1 072 人,应抽取 1 072× ≈5(人). 12 000 因为, 采用分层抽样的方法在“很喜爱”、 “喜爱”、 “一般”、 “不喜爱”的人中分别抽取 12 人、23 人、20 人和 5 人.
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规律方法 在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽 到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该 层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之 比,即ni∶Ni=n∶N.

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【变式2】 (2012· 广东模拟)某校共有学生2 000名,各年级男、 女生人数如下表,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学 生,则应在三年级抽取的学生人数为 ( ). 一年级 女生 男生 A.24 373 377 B.18 二年级 380 370 C.16 三年级 y z D.12

解析 一、二年级的人数为 750+750=1 500,所以三年级 人数为 2 000-1 500=500.又 64∶2 000=4∶125,因此三 4 年级应抽取人数为 500× =16. 125 答案 C
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题型三

三种抽样方法的考查

【例3】 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程. (1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个, 抽取10个入样. (2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9 个,抽取10个入样. (3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个入样. (4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样. 审题指导 综合三种抽样方法的适用范围和实际情况,灵 活选取适当的方法进行抽取.

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[规范解答] (1)总体容量较小,用抽签法. ①将30个篮球编号,编号为00,01,…,29; ②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上,揉 成小球,制成号签; ③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌; ④从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码; ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本. (3分) (2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样. 10 1 21 ①确定抽取个数.因为 = ,所以甲厂生产的应抽取 = 30 3 3
9 7(个),乙厂生产的应抽取 =3(个). 3

②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮 球3个.这些篮球便组成了我们要抽取的样本. (6分)
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(3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数表法. ①将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,…, 300; ②在随机数表中随机的确定一个数作为开始,如第8行第 29列的数“7”开始.任选一个方向作为读数方向,比如向 右读; ③从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在001~300中 的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读,便可 依次得到10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体的号 码.(9分) (4)总体容量较大,样本容量也较大宜用系统抽样.

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①将 300 个篮球用随机方式编号,编号为 000,001,002,?, 300 299,并分成 30 段,其中每一段包含 =10 个个体; 30 ②在第一段000,001,002,…,009这十个编号中用简单随 机抽样抽出一个(如002)作为起始号码; ③将编号为002,012,022,…,292的个体抽出,即可组成 所要求的样本. (12分) 【题后反思】 (1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是 三种常用的抽样方法,在实际生活中有着广泛的应用. (2)三种抽样的适用范围不同,各自的特点也不同,但各 种方法间又有密切联系.在应用时要根据实际情况选取合 适的方法. (3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.
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【变式3】 下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理? (1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查; (2)某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入 家庭280户,低收入家庭95户,为了调查该社区购买力的 某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本; (3)某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16 名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方 面的意见,拟抽取一个容量为20的样本; (4)体育彩票000001~100000编号中,凡彩票号码最后三位 数为345的中一等奖.

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解 题号 判断 原因分析 (1) 抽签法 总体容量较小,宜用抽签法 (2) 分层抽样 社区中家庭收入层次明显,应用分层抽样

(3)
(4)

由于学校各类人员对这一问题的看法可能 分层抽样 差异较大,用分层抽样 总体容量大,样本容量较大,等距抽取, 系统抽样 用系统抽样

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方法技巧

转化与化归思想在分层抽样中的应用

数学问题的解答离不开转化与化归.转化与化归的原则 是:(1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转 化;(2)具体化原则:将抽象复杂的问题转化为具体简单 的问题;运用直接转化法把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题. 本节内容中的分层抽样通常是转化为系统抽样或简单随机 抽样,系统抽样转化为简单随机抽样,简单随机抽样中的 抽签法和随机数法是最基本的抽样方法.

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【示例】在120人中,青年人有65人,中年人有15人,老年人 有40人,从中抽取一个容量为20的样本.(1)求采用简单随 机抽样、系统抽样、分层抽样时,每个人被抽到的概率; (2)写出用分层抽样抽取样本的步骤. [思路分析] 本题考查对三种抽样方法的特点的理解,考 查把分层抽样转化为简单随机抽样的思路应用.

20 1 解 (1)简单随机抽样:每个个体被抽到的概率是 = ;系 120 6 统抽样:将 120 人随机均匀地分成 20 组,每组 6 人,每组取 1 1 人,则每个个体被抽到的概率是 ;分层抽样:青年人、中 6 年人、老年人人数之比为 13∶3∶8,即抽取青年人的数量是 13 65 65 1 20× = ≈11(人),每个青年被抽到的概率是 ÷ 65= ;同 24 6 6 6 1 理可求得每个中年人、老年人被抽的概率都是 ;综上可知, 6 1 不论采用哪一种随机抽样方法,每个人被抽中的概率都是 . 6
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(2)第一步:按照青年、中年、老年把总体分为三层; 65 65 第二步:计算各层的抽取人数:青年人 20× = ≈11,中年人 120 6 15 5 40 20 20× = ≈2,老年人 20× = ≈7; 120 2 120 3 第三步:在各层中采用简单随机抽样抽取样本个体:在青年人和 老年人中采用随机数法,在中年人中采用抽签法; 第四步:把抽取的个体组成一个样本即可.

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方法点评 1.简单随机抽样是一种最简单而又最重要的抽 样方法,它是应用其他两种抽样方法的基础; 2.当总体的个数较多时,考虑采用分层抽样或系统抽样; 而在分层或系统分段完成后,就转化为简单随机抽样.

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