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利用不定方程(组)解应用题



2  

中 等 数 学 

利 用 不定 方程 ( 组) 解 应 用题 
王 定 成 
( 湖北省黄冈市黄梅 县教育科学研究所 , 4 3 5 5 0 0 )   中图分类号 : O1 2 2 . 2   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 5—0 0 0

2— 0 3  

( 本 讲适合 初 中)   当未 知数 的个 数 多 于 方 程 的个 数 时 , 称  方程 或方 程组 为 不 定方 程 或 不定 方 程 组 . 一 

般来 说 , 不 定方 程或不 定方 程组有 无穷 解 , 但  是在 实 际应 用 中 , 符 合 题 目条 件 的解 ( 如正  整数 ) 常 常是有 限 的. 利 用初 中数 学 知识 , 可 
以求 出某些 实 际应用 问题 中的不 定方程 或不 
定方 程组 的解 .  

例 2 某届足球 比赛的计分规则是 : 胜  某球队参赛 1 5 场, 积3 3 分. 若不考虑比赛顺 


1 关 于二元 一次不定 方 程的应 用题 

设该 队胜  场 , 平 Y场 , 负z 场, 其 

中,  、 y , z   E   N, 且0 ≤ 、 ) , 、 z ≤1 5 .  

例1  ( 中国古代数学问题 ) 唐太宗传令  点兵: 若一千零一卒为一营, 则剩余一人 ; 若 


千零二 卒为 一营 , 则剩余 四人. 此次点 兵 至 
人.  

【 3 x + Y= 3 3 .  
由方程②得 

② 

少有 



设 第 一次 点 兵 1   0 0 1人 为 一 营共 

营, 则总兵 数 为 l   0 0 1 x+1人 ; 设 第 二次 点 兵 

= l l 一 争 
结合方程① , 知满足方程组的解为 

1   0 0 2人为一 营共 Y营 , 则 总兵 数为 1   0 0 2 y+  
4人 .  

由总兵数 相等得 方程 
1   0 01 x+1=1   0 02 y+4.  

{   ’ {   三 ; ’ {   量 :  
【 点评 】 本题先用含 Y的代数式表示 ,  
再根 据 x , y均 为正 整 数 确 定其 取 值 范 围 , 从 
花 店买花 送给 自己 的母 亲. 小 红 买 了 3枝 玫 

整理 得 
1   0 0 1 (  —Y )一 3=Y .  

因为 、 Y均 为正整数 , 所 以,  — Y最小 
为 1 , 此时 , Y= 9 9 8 .  
于是 , 此 次点兵 至少 有 
9 9 8×1   0 0 2+ 4=1   0 0 0   0 0 0 ( 人) .  

【 点评】 本题没有直接求 、 Y的值 , 而是 
收稿 日期 : 2 0 1 3—0 1— 2 9  

瑰、 7 枝康乃馨 、 1 枝百合花 , 付了 1 4元钱 ; 小 
莉 买 了 4枝玫 瑰 、 1 0枝康 乃馨 、 1枝 百合 花 ,  

2 0 1 3年第 5期 

3  

付了 l 6元 钱 ; 小 莹 买 了上 面 三 种 花 各 2枝 .   则她应付  元钱. …  

当J i } = 2 4时 , i t / , = 2 3 .  

此时, / l ' ( k 一1 )= 2 3× 2 3= 5 2 9 .  

( 2 0 1 0 , 全 国初 中数学 竞赛天 津赛 区初 
赛)   解 .   设玫瑰 、 康 乃馨 、 百 合花 的单价 分 别 

4   关 于含有 参数 的不 定方 程 ( 组) 的应 用题  例 5 两盒糖果共 1 7 6块 , 从 第 二 个 盒  子 中取 出 l 6块 放 入第 一 个 盒 子 中 , 此时 , 第 


为  元 、 y元 、 Z 元. 则 

+ 7 ) , + z =1 4 ,  
I 4  +l O y+ z =1 6 .  

① 
一  

个盒 子 中糖果 的块数 比第 二个盒 子 中糖果  块 糖果.     ’

的块数 的 m( 整 数 m >1 ) 倍多 3 1 . 则第 一 个  盒 子 中原来 至少 有  解 设 第 一个 盒 子 中原有  块 糖 果 , 第 

消去 z 得 

2 — 3 y .   将方程②代入方程组①得 
= =

② 
(  

二 个盒 子 中原有 y 块 糖果 .  
根 据题 意列方 程组 
+) ,   1 7 6,  

8+2 y .

由方程② 、 ③得 
+Y+z=1 0.  

【  +1 6: , n ( Y—l 6 )+ 3 1 .  
整 理得  +1 6=m( 1 7 6_1 6一  ) + 3 l ,  
即  :  
m +l  



2 (  + Y+ z )= 2 0 .  

因此 , 小莹应付 2 0元钱.   【 点评】 本题没有直接求 、 y , z 的值 , 而 
是 将  + y+  看 作 一 个 整 体 求 解. 整 体 思 想 
方 法在 解 不 定 方 程 或 不 定 方 程 组 时 经 常 用  到, 应 注意 活用.   3 关 于二次 不定 方 程的应 用题 

:1 6 0一  

m + l  

.  

又 、 i n均为 正整 数 , 于是 ,  
1 6 0 —2 9x 5  
— — —  

m + I  

≥1 6 0— 2 9=1 3 1 ( m>1 ) .  

因此 , 第 一 个 盒子 中原 来 至少 有 1 3 1块 
糖 果.  

例 4 一 队旅客乘 坐汽车 , 要求 每辆汽  车的乘 客人 数相 等. 起初 , 每辆 车乘 坐 2 2人 ,  
结 果剩 下 1人 未 上 车. 若 有一 辆 汽 车空 车 开  走, 则 所有 的旅 客 正 好 能 平 均 分 配 到其 他 各  车上. 已知 每辆 汽 车 最 多 只 能 容 纳 3 2人. 求  起 初有 多少 辆汽 车 ?有多 少名 旅客 ?   解 设 起初 有 k辆 汽 车 , 开 走一 辆 空 车 

【 点评 】 本题含有参数 / n ' , 利用 、 m ( m>  
1 ) 均 为正整 数 , 及 

2 9   x 5 >2 9,  


f H  t  1  

确定 第一个 盒 子 中原 来糖 果块 数 的最 小值.  
5 其他 与不定 方程 相关 的应用 题 

后, 平 均每辆 车所 乘 的旅 客为 n人 .  
显然 , 2 2<n  ̄3 < 2 .  
由题 意得  2 2 k +1=n ( k一1 )  
n =  +  .  

例 6 某 校在 向“ 希望工 程” 捐 款 活 动 

中, 甲班 的 m 名 男 学 生 和 1 1名 女 学 生 的捐 
款总 数 与乙班 的 9名 男学 生和 / / , 名 女学 生 的 

捐款总数相等 , 均为 m n + 9 m+l 1 n+ 1 4 5元.   已知每人的捐款数相 同, 且都是整数元. 求每 
人 的捐款 数.  

因为 n为 自然数 , 所以 ,  
k一1 =1或 2 3  

( 1 9 9 6 , 全国初 中数学联赛 )   解 注意 到 ,  
/ ' / I n+9m +l l / 7 , +1 45  


k= 2或 2 4 .   当  = 2时 , n= 4 5 ( 不 合题 意 , 舍去) ;  

( m +l 1 ) ( n+ 9 )+ 4 6 .  

4  

中 等 数 学 

由题意 , 知 m +1 1 、 n+ 9均 为 , m+ 9 m+   1 I n+1 4 5的约数 , 义每 人的捐款数相 同, 因此 ,  
m +1 1 =n +9.  

故选 C .  

2 . 某 林场 安 排 r七天 的 植树  r作。 从 第 

二天起 每天都 比前 一 天增 加 5名植 树 一  人 ,  
但 从第 二天起 每人 每天 都 比前一 天 少 种植 5   棵树, 且 同一 天植树 的人植 相 同数 量 的树 . 若 

且 m +1   1 、 n+ 9均 为 4 6的约数.   } _ } { m、 / / , 为非 负整数 知 
m +1 1≥ 1   1. n +91 > 9.  

这七天 共植树 9   9 4 7棵 , 问: 植 树 最 多 的那 天 
共植 l r 多少 棵?植 树最少 的那天 有多 少人在 
植树 ?  

又4 6=l× 4 6: 2× 2 3 , 得 
m +1 1:n+9=46  

或  m +1   l =n+ 9=2 3 .  

提示 : 仿例 6 . 答案: 1   5 2 1 ; 5 4或 2 4 .   3 .将 若 干 个 零 件 放 在 至 少 1 0个 盒 子  中, 要求 每 个盒子 装 的零 件个数 相 同. 若每 盒  装l 2个 , 结 果剩 下 一 个零 件 未 装 ; 若 再 增 加 

当 m +1 1 = 4 6时 , 每 人捐 款数 为 
( m+1   1 ) +l = 4 7 ( 元) ;  

m +1 1 = 2 3时 , 每人捐 款数 为 
( m +1   1 ) +2= 2 5 ( 元) .  

j个 盒子 , 所有 的零 件恰 好分 装 在 每 个 盒 子 
中. 问: 原 有多少个 盒子 ?多 少个零件 ?  

综一 卜, 每人捐 款数 为 4 7元 或 2 5元 .  

【 点评 】 本题先将 所给条件代数式进行 
适 当地 分 解 与组 合 , 再 利 用 m、 n为 非 负 整  数, 确定 , n+1   1 、 n+9均 为 4 6的 约 数 , 最 后  分类 讨论求 解. 分 类讨 论 是 解 此类 竞 赛 题 的  常厢 思想方 法.  


提 示: 仿例 5 . 答案 : 3 2; 3 8 5 .  
4 . 用 正方形 地 砖 不重 叠 、 无 缝 隙地铺 满  块 地. 选用边长 为  厘 米规格 的地砖 , 恰 需  n块 ; 选 用边 长为 Y厘 米 规格 的地砖 , 刚好 比  前一 种多用 1 2 4块. 已知 、 Y 、 / 7 , 均 为 整数 , 且 


练 习 题 
1 . 电影 票 有 l 0元 、 1 5元 、 2 0元  种 票 

Y 互 质. 问: 这块 地有 多少 平方 米?  
提示: 由题 意知 


f / / , +1 2 4 ) y   .  

价, 班 长用 5 0 0元 买 了 3 0张 电影 票 , 其 中票 
价为 2 0元 的 比票 价 为 l 0元 的多 (  
( A) 2 0 ( B) l 5  ( C) 1 0 ( D) 5   提示: 设 购买 l 0元 、 1 5元 、 2 0元 的 电影  票分 别 为  张 、 Y张 、  张.   根据 题意列 方程组 
r  + Y+ z = 3 0 , ( ! )  

由  、 Y互 质知 
n+1 2 4= k x   , n: k y   ( k∈ N+ )   1 2 4= k (  — Y ) (  + Y )  
=亭

) 张.  

{ x   + 一 y = : 3   ’ 或 {   :  × 3   ,  


1 6. Y:1 5  

=   n =9 0 0.  

【 l O x+1 5 y+ 2 0 z =5 0 0 .  

② 

从而 , 这块 地有 

②一 ①× 1 5 得 
5 ( 0 一  )= 5 0=   —   :1 0 .  

似 : 9 0 0×1 6  = 2 3 0   4 0 0 ( 平 方厘 米 )  


2 3 . 0 4 ( 平方 米 ) .  

这 表明 , 所 购买 的电影 票 中票 价 2 O元 的 
比票价 l 0元 的多 1 O张.  

参考 文献 :  
[ 1 ] 2 0 1 0年全阂初 中数学竞赛天津赛 区初赛[ J ] . 中等数 
学, 2 0 1 0 ( 6 ) .  



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