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单元质量评估(二)



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单元质量评估(二)
(第二章) (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个

选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知点 F1(-4,0),F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则该曲线的 方程为 ( ) B. - =1 D. - =1 )

A. - =1(x≥3) C. - =1(y≥3)

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是 ( A.y2=-8x C.y2=-4x 3.(2013·百色高二检测)方程 值范围是 ( A.-16<m<25 C. <m<25 ) B.-16<m< D.m> B.y2=8x D.y2=4x +

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取

4.(2013·银川高二检测)椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形,则此 椭圆的离心率为 ( A. B. ) C.
-1-

D.

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5.曲线 + =1 与曲线 A.长、短轴相等 C.离心率相等

+

=1(k<9)的 ( B.焦距相等 D.准线相同

)

6.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,若|AF|=3, 则△AOB 的面积为( A. B. ) C. D.2

7.(2013·四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 ( A. B. C.1 D. )

8.已知椭圆 C1: + =1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 ( A.a2= C.b2= B.a2=13 D.b2=2 )

9.已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点 重合,则此椭圆的方程为 ( A. + =1 C. +y2=1 ) B. + =1 D. +y2=1

10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 则 A.2 · 的最大值为 ( B.3 ) C.6 D.8

-2-

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11.(2013·玉溪高二检测)过双曲线 x2- =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A,B 两点,若|AB|=4,则这样的直线 l 有 ( A.1 条 B.2 条 C.3 条 ) D.4 条

12.B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2km 处,河流的 沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km,现要在曲线 PQ 上选 一处 M 建一座码头,向 B,C 两地运转货物.经测算,从 M 到 B,C 两地修建公路的费 用都是 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是 ( )

A.( C.2

+1)a 万元 a 万元

B.(2 D.(

-2)a 万元 -1)a 万元

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横 线上) 13.(2013·珠海高二检测)椭圆 + =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 为其上的动点, 当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 .

14.(2013·湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上 一 点 , 若 |PF1|+|PF2|=6a, 且 △ PF1F2 的 最 小 内 角 为 30 ° , 则 C 的 离 心 率 为 .

15.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|, 则|AF|= .

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16.以下四个关于圆锥曲线的命题: ①设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,| |-| |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; = ( + ),则动点

②过定圆 C 上一定点 A 作该圆的动弦 AB,O 为坐标原点.若 P 的轨迹为椭圆;

③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点. 其中,真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)已知直线 y=x-4 被抛物线 y2=2mx(m≠0)截得的弦长为 6 的标准方程. 18.(12 分)已知三点 P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0). (1)求以 F1,F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程. (2)设点 P,F1,F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P′,F′1,F′2,求以 F′1,F′2 为 焦点且过点 P′的双曲线的标准方程. 19.(12 分)(2013·银川高二检测)已知椭圆的两焦点为 F1(心率 e= . (1)求此椭圆的方程. (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值. 20.(12 分)(2013·北京高二检测)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 在直线 x-y+1=0 上.
-4-

,求抛物线

,0),F2(

,0),离

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(1)求抛物线 C 的方程. (2)设直线 l 经过点 A(-1,-2),且与抛物线 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方 程. 21.(12 分)(能力挑战题)如图,已知点 A 是椭圆 + =1(a>b>0)的右顶点,若点 C( , )在椭圆上,且满足 · = .(其中 O 为坐标原点)

(1)求椭圆的方程. (2)若直线 l 与椭圆交于两点 M,N,当 大值. 22.(12 分)(能力挑战题)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率 e= ,原点 O 到过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线的距离为 . (1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0),若直线 y=kx+2 与椭圆交于 C,D 两点,问:是否存在 k 的值, 使以 CD 为直径的圆过点 E?请说明理由. + =m ,m∈(0,2)时,求△OMN 面积的最

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答案解析
1.【解析】选 A.因为点 P 到 F1,F2 的距离之差是 6,而不是距离的差的绝对值是 6, 所以点 P 所在曲线应是双曲线的右支,由题可知,2a=6,c=4, 所以 a=3,c=4,b2=c2-a2=7, 所以该曲线的方程为 - =1(x≥3). 2.【解析】选 B.因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以抛物线的开口向右.设抛物 线的标准方程为 y2=2px(p>0),则其准线方程为 x=- , 所以- =-2,解得 p=4. 所以抛物线的标准方程为 y2=8x. 3.【解析】选 C.根据题意知 16+m>25-m>0,解得 <m<25. 4.【解析】选 C.由题意可知,椭圆短轴的顶点与两焦点构成等腰直角三角形,所 以 2a2=4c2,所以 e= . 5. 【解析】选 B. 因为 k<9, 所以曲线 + =1 是焦点在 y 轴上的椭圆 , 且

16-k-(9-k)=16-9=7,所以两曲线有相同的焦距. 【变式训练】椭圆 + =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 k 应满足的条件是 ( A.k>3 C.k=2 【解析】选 C.k>0,c= = B.2<k<3 D.0<k<2 ,所以 k=2. )

6.【解析】选 C.抛物线的准线 l:x=-1, 由|AF|=3 得点 A 的横坐标为 2,
-6-

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所以 A(2,〒2

),取 A(2,2 x-2 ,

),

则直线 AB 为 y=2 所以 B( ,-

),△AOB 的面积为 S= |OF||yA-yB|= 〓1〓|2

-(-

)|=

.

7.【解析】选 B.由抛物线 y2=4x 的焦点(1,0),双曲线 x2- =1 的一条渐近线方程 为 x-y=0,根据点到直线的距离公式可得 d= ,故选 B.

8.【解析】选 C.由双曲线 x2- =1 知渐近线方程为 y=〒2x,又因为椭圆与双曲线有公共焦点, 所以椭圆方程可化为 b2x2+(b2+5)y2=(b2+5)b2, 联立直线与椭圆方程消 y 得,x2= . ,则 y=2x=2〃 ,

设直线与椭圆一交点为 E(x,y),x>0,y>0,x= |OE|= 因为 2|OE|= = ,|AB|=2a, 〃 = , = x,

所以 2|OE|= ,所以 2 解得 b2= .

9.【解析】选 A.因为抛物线焦点为(-1,0),所以 c=1, 又椭圆的离心率 e= ,所以 a=2,b2=a2-c2=3, 所以椭圆的方程为 + =1. 【变式训练】(2013〃聊城高二检测)若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆 过点( ,- ),则椭圆方程是 A. + =1 C. + =1 ( ) B. + =1 D. + =1
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【解析】选 D. 设椭圆的标准方程为 + =1, 将 ( ,- ) 代入得 , a2-b2=4,所以 a2=10,b2=6,因此所求椭圆方程为 + =1. 10.【解析】选 C.由题易知 F(-1,0), 设 P(x,y),其中-2≤x≤2, 则 〃 =(x,y)〃(x+1,y)=x(x+1)+y2

+

=1, 又

=x2+x+3- x2= x2+x+3= (x+2)2+2, 当 x=2 时,( 〃 )max=6.

11.【解析】选 C.当直线 l 交双曲线于左右两支时,因为 2a=2,而|AB|=4,故可有 两条,若直线 l 交双曲线于同支,当直线 l 垂直于 x 轴时,|AB|=4,故只有一条,所 以满足条件的直线有 3 条. 【误区警示】解答本题易忽视对直线 l 与双曲线相交的不同情况的讨论,出现只 考虑其中一种情况的错误. 12.【解析】选 B.设总费用为 y 万元, 则 y=a〃(MB+MC), 因为河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km, 所以曲线 PQ 是双曲线的一支,B 为焦点, 且 a=1,c=2. 由双曲线定义, 得 MA-MB=2a, 即 MB=MA-2, 所以 y=a〃(MA+MC-2)≥a〃(AC-2). 以直线 AB 为 x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-2,0),C(3,
-8-

).

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所以 AC= 故 y≥(2 -2)a(万元).

=2

,

13.【解析】设 P(x0,y0),则 =( -x0,-y0), 〃 =(-

=(-

-x0,-y0),

由已知得 即 -5+ 所以

-x0,-y0)〃(

-x0,-y0)<0,

<0,又因为 + =1, <x0< .

-1<0,所以, )

答案:(-

14.【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a, |PF2|=2a,|F1F2|=2c, 则 在 △ PF1F2 中 , ∠ PF1F2=30 ° , 由 余 弦 定 理 得 (2a)2=(4a)2+(2c)2-2〃4a〃2c〃cos30°,整理得(e答案: 【方法锦囊】圆锥曲线的离心率的求法 (1)利用圆锥曲线方程:求出圆锥曲线的方程,再依方程求出 a,b,c,进而求出离 心率. (2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出 a,b,c 的等量关 系,再对其等量关系进行变形,从而求出 a,c 的关系. (3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边 形等平面图形,掌握各平面图形性质,能正确地找出对应的等量关系. (4)利用圆锥曲线的性质:对于圆锥曲线有很多不变的性质,如准线间距、中心到 准线的距离、焦点到准线的距离等.它们不随圆锥曲线的移动而变化,准确把握 其不变的性质可以求离心率.
-9-

)2=0,所以 e=

.

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15.【解析】由题意有 F( ,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,所以|AF|= +x1,|BF|= +x2,因为|AB|= ,所以 x1+x2= . 设直线 l 的方程为 y=k(x- ),联立直线与抛物线的方程可得 k2x2-(k2+2)x+ =0, 所以 x1+x2= ,所以 = ,所以 k2=24.

所以 24x2-26x+6=0. 所以 x1= ,x2= ,所以|AF|= +x1= . 答案: 16.【解析】当|k|<|AB|时,①才为真命题; 对于②,由 = ( + )知 P 为 AB 的中点,故 CP⊥AB.设 AC 的中点为 D(D 为定

点),在三角形 ABC 中,PD 为中位线,则|PD|= |BC|= ,P 点轨迹为圆,②为假命题; 对于③的方程两根为 2 或 ,故③为真命题;④中的两曲线的焦点均为(〒 故④为真命题. 答案:③④ 17.【解析】设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2). 由 得 x2-2(4+m)x+16=0, 所以 x1+x2=2(4+m),x1x2=16, 所以弦长为 = =2 由2 . =6 ,
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,0),

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解得 m=1 或 m=-9. 经检验,m=1 或 m=-9 均符合题意. 所以所求抛物线的标准方程为 y2=2x 或 y2=-18x. 18. 【解析】 (1) 由题意可设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0), 其半焦距 c=6,2a=|PF1|+|PF2|= 所以 a=3 ,b2=a2-c2=9. + =6 ,

所以所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)点 P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P′(2,5), F′1(0,-6),F′2(0,6). 设所求双曲线的标准方程为 - =1(a1>0,b1>0), 由题意知,半焦距 c1=6, 2a1=||P′F′1|-|P′F′2||=| a1=2 , = - =36-20=16. |=4 .

所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 19.【解析】(1)设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),则 c= ,= ,

所以 a=2,b2=a2-c2=1, 所以所求椭圆的方程为 +y2=1. (2)由 5x2+8mx+4(m2-1)=0, 则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得 m2<5(*),
- 11 -

消去 y,得

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设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=x1x2= |PQ|= = =2, . , ,y1-y2=x1-x2,

解得 m2= ,满足(*),所以 m=〒

20.【解析】(1)由抛物线方程 x2=2py(p>0)为标准方程,知其焦点在 y 轴正半轴 上, 对于直线 x-y+1=0, 令 x=0,得焦点坐标为 F(0,1). 所以 =1,即 p=2, 故抛物线 C 的方程是 x2=4y. (2)设直线 l 的方程为 y=k(x+1)-2,或 x=-1. 当直线 l 的方程为 y=k(x+1)-2 时, 由方程组 得 x2-4kx-4k+8=0, 因为直线 l 与抛物线 C 有且只有一个公共点, 所以Δ=16k2-4(8-4k)=0, 解得 k=-2 或 k=1. 此时直线 l 的方程为 2x+y+4=0 或 x-y-1=0. 当直线 l 的方程为 x=-1 时,
- 12 -

消去 y,

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验证知直线 l 与抛物线 C 有且只有一个公共点. 综上,可得当直线 l 的方程为 2x+y+4=0,x-y-1=0 或 x=-1 时,直线 l 与抛物线 C 有 且只有一个公共点. 21.【解析】(1)因为点 C( , )在椭圆上,所以 因为 〃 = ,所以 a= ? a= , + =1.

所以 b=1,所以椭圆的方程为 +y2=1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 因为 所以 + =m ,

因为 所以 所以 =- , +(y1+y2)(y1-y2)=0,

设直线 l:y=- x+n,由 得:4y2-6ny+3n2-1=0, 则 y1+y2= ,y1y2= 所以|MN|= = , , 〃 |n|= 〃
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,

点 O 到直线 l 的距离 d= 所以 S△OMN= 〃 〃

,

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当且仅当 3n2=4-3n2,即 n=〒 时面积最大, 因为 m∈(0,2),所以 m= 所以当 m= .

时,△OMN 面积的最大值为 .

22.【解题指南】(1)设出直线方程,由点到直线的距离及离心率确定 a,b 的值. (2)假设存在满足条件的直线,由 〃 =0 及判别式求 k 的值.

【解析】(1)直线 AB 的方程为:bx-ay-ab=0,依题意 解得 所以椭圆方程为 +y2=1. (2)假若存在这样的 k 值,由 (1+3k2)x2+12kx+9=0, 所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0, ① 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 ② 得

而 y1〃 y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0), 当且仅当 CE⊥DE, 即 〃 =0 时,则(x1+1,y1)〃(x2+1,y2)=0,即(x1+1)〃(x2+1)+y1y2=0,

所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,③ 将②式代入③整理解得 k= , 经验证,k= 使①成立. 综上可知,存在 k= ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.

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