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高中数学必修4第二章平面向量课件 平面向量基本定理


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平面向量基本定理

1

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回顾

1、向量加法的平行四边形 、 法则 2、共线向量的基本定理 、
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设 e 、e2 是同一平面内的两个不共 1 线的向量, 是这一平面内的任一向量, 线的向量,a 是这一平面内的任一向量, 我们研究 a 与 e e2 、 之间的关系。 1 之间的关系。

e1
研究

a

e2
3

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OC = OM + ON = 即 a=

λ1 OA e+ e λ1 1 λ2 2 .
A

+

λ2 OB
C

e1

M a a N
e2

e2
O

e1

B
4

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平面向量基本定理 如果 e e2 、 是同一平面内的两个不 1 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数 λ λ2 、 使 1 e a = λe + λ2 2 11 我们把不共线的向量 e e2 、 叫做表 1 这一平面内所有向量的一组基底。
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思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M C M A O a N B O a N E
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思考 (2)若基底选取不同,则表示同一

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向量的实数 λ λ2 、 1 是否相同? (可以不同,也可以相同) M C F OC = OF + OE B a OC = 2OA + OE A OC = 2OB + ON O N E
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特别的, 特别的,若 a = 0 ,则有且只有 :

λ1= λ2 = 0
可使 0 =

e e λ1 1+ λ2 2.

一个为零, 一个为零,情况会 是怎样? 是怎样?

?若 λ1 λ2 与 中只有

特别的, 特别的,若a与 e e2 共线,则有 与 ( )共线, 1

λ2=0(λ1=0),使得 ),使得 ( ),使得: e a = λ1e + λ2 2 . 1

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例3: 已知向量 e 、e2求做向量-2.5 1 C
e2

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e e2 +3 1
B

A
e? 2.5e 1
1

3e2

·O
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例4
如图所示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M , 且 AB = a , = b,用 a、表示 MA、 、 、 ? AD b MB MC MD

C

B

D A
e 1

C M B

·O
10

A

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例5、 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的 中点. C D M 请大家动手, 在图中确一组 基底,将其他向 量用这组基底表 A N B 示出来。
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解析: 设AB = e,AD = e2 ,则有: 1
1 1 DC = 2AB = 2e 1

BC = BD + DC 1= (AD–AB)+DC 1 = e2 - e+ 2 e = - 2e + e2 1 1 1 MN = DN-DM C D M 1 =(AN-AD)- 2DC = =
1 2e 1 1 e4 1

e2e2 .

1 4e 1

A

N

B
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评析 能够在具体问题中适当地选取 基底,使其他向量能够用基底来表 示,再利用有关知识解决问题。

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例5

ABCD中,E、F分别是DC和AB

的中点,试判断AE,CF是否平行? D E C

A

F

B

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解:设AB= a,AD= b. E D E、F分别是DC和 Q AB的中点, ∴AE= AD+1DE A F = b+ 2a 1 CF= CB+ BF = -b - 2 a ∴ - CF AE= ∴ AE与CF共线,又无公共点 ∴AE,CF平行.

C

B

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思考

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设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: A、B、D三点共线 Q

∴ AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.

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由于BD = CD – CB =(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = λ – 4b ) (a 2 = λ 由向量相等的条件得 k = 4λ 8.
17

∴k =

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此处可另解: 则需 2a + kb = 即(2 -

λ (a

– 4b )

λ)a +(k 2 -λ= 0 ∴ k – 4 λ= 0
8.

- 4

λ )b

= 0

∴k =

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课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理学 中的力的分解模型来理解,它说明在同一 平面内任一向量都可以表示为不共线向量 的线性组合,该定理是平面向量坐标表示 的基础,其本质是一个向量在其他两个向 量上的分解。
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评析 本题在解决过程中用到了两向量共 线的充要条件这一定理,并借助平面向 量的基本定理减少变量,除此之外,还 用待定系数法列方程,通过消元解方程 组。这些知识和考虑问题的方法都必须 切实掌握好。
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2. 在实际问题中的指导意义在于找 到表示一个平面所有向量的一组基底 (不共线向量 转化为关于

e 与 1

e2 ),从而将问题

、 e e2 的相应运算。 1

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总结: 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题
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思考 在梯形ABCD中 在梯形ABCD中,E、F分别时AB、CD ABCD 分别时AB、 AB 的中点,用向量的方法证明: 的中点,用向量的方法证明: EF//AD//BC,且 EF//AD//BC,且EF =
1 (AD+BC) 2

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谢谢同学们
再 见
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