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hao 《5.1 认识分式》教案2



《认识分式》
第 1 课时 教学目标 (一)教学知识点 1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感. 2.了解分式产生的背景和分式的概念,了解分式与整式概念的区别与联系. 3.掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与制约关系. (二)能力训练要求 1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,经历对具体问题的探索过程,进一步培养 符号感. 2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系. (三)情感与价值观要求 通过丰富的现实情境,使学生在已有数学经验的基础上,了解数学的价值,发展“用数学” 的信心. 教学重难点 教学重点: 1.了解分式的形式

A (A、B 是整式) ,并理解分式概念中的一个特点:分母中含有字母; B

一个要求:字母的取值限制于使分母的值不得为零. 2.掌握分式基本性质的内容,并有意识地运用它化简分式. 教学难点: 1.分式的一个特点:分母含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为零. 2.分子分母进行约分. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们先试着解答下面的问题: 面对日益严重的土地沙化问题, 某县决定分期分批固沙造林, 一期工程计划在一定期限固沙 造林 2400 公顷, 实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷, 结果提前 4 个月完成任务. 原 计划每月固沙造林多少公顷? 这一问题中有哪些等量关系? 如果原计划每月固沙造林 x 公顷, 那么原计划完成一期工程需要____________个月, 实际完 成一期工程用了____________个月;根据题意,可得方程____________. [生]根据题意,我认为这个问题的等量关系是:实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙 造林所用的时间. (1)
1

[生] 这个问题的等量关系也可以是: 原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林 的公顷数. (2) [师]这两位同学真棒!在这个问题中,谁能告诉我涉及到哪些基本量呢?它们的关系是什 么? [生]涉及到了三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间. [师]如果用第(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢? [生]因为第(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作 时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林 x 公顷. 原计划完成一期工程需

2400 个月, x
2400 个月, x ? 30

实际完成一期工程需 c

根据等量关系(1)可列出方程:

2400 2400 +4= . x x ? 30
[师]同学们可接着思考:如何用等量关系(2)设未知数,列方程呢? [生]因为等量关系(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原 计划 x 个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x-4)个月,那么原计划每月固沙造 林的公顷数为

2400 2400 公顷,实际每月固沙造林 公顷,根据题意可得方程 x x?4

2400 2400 ? 30 ? . x x?4
[师]同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现? [生]我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本 量.如

2400 2400 2400 , , .这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母 x x ? 4 x ? 30
2400 2400 2400 这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以 , , x x ? 4 x ? 30

中含有字母,要求出它的解,好像很不容易. [师]的确如此.像

分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式. 从现在开始我们就来研究分式, 相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性, 不 久的将来,一定会很迅速准确解出上面两个方程. Ⅱ.讲授新课 1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别. [师]下面我们再来看几个问题:
2

做一做. (1)正 n 边形的每个内角为__________度. (2)一箱苹果售价 a 元,箱子与苹果的总质量为 m kg,箱子的质量为 n kg,则每千克苹果 的售价是多少元? (3)有两块棉田,有一块 x 公顷,收棉花 m 千克,第二块 y 公顷,收棉花 n 千克,这两块 棉田平均每公顷的棉产量是多少? (4)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册 a 元,现降价 x 元销售,当这种 图书的库存全部售出时,其销售额为 b 元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是 多少? [生] (1) (3)

(n ? 2) ? 180? a ; (2) 元; n m?n

b mx ? ny 千克; (4) 册. x? y a?x

[师]很好!我们再来看: 议一议. 上面问题中出现了代数式

2400 2400 2400 (n ? 2) ? 180? a mx ? ny b ,它 , , , , , , x x ? 30 x ? 4 n m?n x? y a?x

们有什么共同特征?它们与整式有什么不同? (分组讨论后回答) [生]上面的几个代数式的共同特征: (1)它们都是由分子、分母与分数线构成; (2)分母中都含有字母. [生] 它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母, 而整式的分母中不含有字母. 例 如:

x x ? 2y , 它们都含有分母,但分母中不含字母,所以它们是整式. 90 4

[师]同学们能够结合前后知识理解上述代数式,很好!下面我们给出这种代数式即分式的 概念: 整式 A 除以整式 B,可以表示成

A A 的形式.如果除式 B 中含有字母,那么称 为分式,其 B B

中 A 称为分式的分子,B 称为分式的分母. 分式中,字母可以取任意实数吗? [生]不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零.字母的取值就受到制 约即字母的取值不能使分母为零,否则,分式就会无意义. 2.例题讲解. [师]下面我们接着来看: 想一想.
3

(1)下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? 5x-7,3x2-1,

x 2 ? xy ? y 2 2 b?3 m( n ? p ) 4 , ,-5, , , . 2x ? 1 2a ? 1 7 7 5b ? c
a ?1 的值. 2a

(2)①当 a=1,2 时,分别求分式

②当 a 为何值时,分式

a ?1 有意义? 2a

③当 a 为何值时,分式

a ?1 的值为零? 2a
2

[生] (1)中 5x-7,3x -1,

x 2 ? xy ? y 2 m( n ? p ) 2 b?3 ,-5, 是整式; , , 2x ? 1 7 7 2a ? 1

4 是分式. 5b ? c
(2)解:①当 a=1 时,

a ?1 1?1 = =1; 2a 2 ? 1

当 a=2 时,

a ?1 2 ?1 3 = = . 2a 2 ? 2 4

②当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义. 由分母 2a=0,得 a=0. 所以,当 a 取零以外的任何实数时,分式

a ?1 有意义. 2a

③分式的值为零,包含两层意思:首先分式有意义,其次,它的值为零.因此 a 的取值有两 个要求: ?

?2 a ? 0 ?a ? 1 ? 0
a ?1 为零. 2a

所以,当 a=-1 时,分母不为零,分子为零,分式 Ⅲ.随堂练习 巩固分式的概念,讨论分式有意义的条件限制. 1.当 x 取什么值时,下列分式有意义? (1)

1 2 8 ; (2) 2 ; (3) 2 x ?1 x ?9 x ?1

Ⅳ.课时小结 [师]通过今天的学习,同学们有何收获?(鼓励学生积极回答) [生]今天,我们认识了代数式里一个新的成员——分式. [生]我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方:分式的分母中含有字母,整式的分母

4

中不含字母,并且还由除式不能为零,即分母不能为零,明白了分式中的字母是有条件约束 的,分式中的字母的取值必须保证分母不为零. [生]?? Ⅴ.活动与探究 已知 x=

x3 ? x ? 1 5 ?1 ,求 的值 x5 2
第 2 课时

教学目标 (一)教学知识点 1.分式的基本性质. 2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形. 3.了解分式约分的步骤和依据,掌握分式约分的方法. 4.使学生了解最简分式的意义,能将分式化为最简分式. (二)能力训练要求 1.能类比分数的基本性质,推测出分式的基本性质. 2.培养学生加强事物之间的联系,提高数学运算能力. (三)情感与价值观要求 通过类比分数的基本性质及分数的约分, 推测出分式的基本性质和约分, 在学生已有数学经 验的基础上,提高学生学数学的乐趣. 教学重难点 教学重点: 1.分式的基本性质. 2.利用分式的基本性质约分. 3.将一个分式化简为最简分式. 教学难点: 分子、分母是多项式的约分. 教学过程 Ⅰ.复习分数的基本性质,推想分式的基本性质. [师]我们来看如何做不同分母的分数的加法:

1 1 + . 2 3

[生]

1 1 1? 3 1? 2 3 2 5 + = + = + = . 2 3 2 ? 3 3? 2 6 6 6 1 1? 3 3 = = , 2 2?3 6

[师]这里将异分母化为同分母,

5

1 1? 2 2 = = .这是根据什么呢? 3 3? 2 6
[生]根据分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分 数的值不变. [师] 很好! 分式是一般化了的分数, 我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢? Ⅱ.新课讲解 1.分式的基本性质 (1)

3 1 = 的依据是什么? 6 2

(2)你认为分式

n2 a n 1 与 相等吗? 与 呢?与同伴交流. mn m 2a 2

[生] (1)将

3 3 3?3 1 的分子、分母同时除以它们的最大公约数 3 得到.即 = = . 6 6 6?3 2

依据是分数的基本性质:分数的分子与分母同乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的 值不变. (2)分式

a 1 a a a?a 1 与 相等,在分式 中,a≠0,所以 = = ; 2a 2 2a 2a 2a ? a 2

分式

n2 n2 n2 n2 ? n n n 与 也是相等的.在分式 中,n≠0,所以 = = . mn m mn mn mn ? n m

[师]由此,你能推想出分式的基本性质吗? [生]分式是一般化了的分数,类比分数的基本性质,我们可推想出分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变. [师]在运用此性质时,应特别注意什么? [生]应特别强调分式的分子、分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式中的“都” “同 一个” “不为零” . [师] 我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形. 同样我们利用分式的基本性质 也可以对分式进行等值变形. 下面我们就来看一个例题. [例 2]下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1)

b by ax a = (y≠0) ; (2) = . 2 x 2 xy bx b

[生]在(1)中,因为 y≠0,利用分式的基本性质,在

b 的分子、分母中同乘以 y,即 2x

可得到右边,即

by b b? y = = ; 2 x 2 x ? y 2 xy
6

[师]很好!在(1)中,题目告诉你 y≠0,因此我们可用分式的基本性质直接求得.可(2) 中右边又是如何从左边得到的呢? [生]在(2)中,

ax ax ax ? x a 可以分子、分母同除以 x 得到,即 = = . bx bx bx ? x b

[生] “x”如果等于“0” ,就不行. 在

ax ax ax 中,x 不会为“0” ,如果是“0” , 中分母就为“0”,分式 将无意义,所以(2) bx bx bx ax a ax 得到 , 必须有意义, 即 bx≠0 由此可得 b≠0 bx b bx

中虽然没有直接告诉我们 x≠0, 但要由 且 x≠0. [师]这位同学分析得很精辟! 2.分式的约分.

[师]利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简. 我们不妨先来回忆如何对分数化简. [生]化简一个分数,首先找到分子、分母的最大公约数,然后利用分数的基本性质就可将 分数化简.例如

3 3 3?3 1 ,3 和 12 的最大公约数是 3,所以 = = . 12 12 12 ? 3 4

[师]我们不妨仿照分数的化简,来推想对分式化简. [例 3]化简下列各式: (1)

a 2 bc x2 ?1 ; (2) 2 . ab x ? 2x ? 1
2

[师] 在分数化简中, 我们约去了分子、 分母的公约数, 那么在分式化简中, 我们应如何办? [生]约去分子、分母中的公因式.例如(1)中 a bc 可分解为 ac·(ab) .分母中也含有 因式 ab,因此利用分式的基本性质:

a 2bc a 2 bc ? (ab) (ac ? ab) ? (ab) = = =ac. ab ab ? (ab) ab ? (ab)
[师]我们可以注意到(1)中的分式,分子、分母都是单项式,把公有的因式分离出来, 然后利用分式的基本性质, 把公因式约去即可. 这样的公因式如何分离出来呢?同学们可小 组讨论. [生]如果分子、分母是单项式,公因式应取系数的最大公约数,相同的字母取它们中最低 次幂. [师]回答得很好.可(2)中的分式,分子、分母都是多项式,又如何化简? [生]通过对分子、分母因式分解,找到它们的公因式. [师]这个主意很好.现在同学们自己动手把第(2)题试着完成一下.

7

[生]解: (2)

( x ? 1)( x ? 1) x ? 1 x2 ? 1 = = . 2 ( x ? 1) 2 x ? 2x ? 1 x ?1

[生]老师,我明白了,遇到分子、分母是多项式的分式,应先将它们分解因式,然后约去 公有的因式. [师]在例 3 中,

a 2bc x2 ? 1 x ?1 =ac,即分子、分母同时约去了整式 ab; 2 = ,即分 ab x ? 2x ? 1 x ? 1

子、分母同时约去了整式 x-1.把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形我们称 为分式的约分. 下面我们亲自动手,再来化简几个分式. 做一做 化简下列分式: (1)

a ( a ? b) 5 xy ; (2) . 2 b( a ? b) 20 x y 5 xy 5 xy 1 = = ; 2 20 x y (4 x) ? (5 xy ) 4 x

[生]解: (1)

(2)

a ( a ? b) a = . b( a ? b) b

[师]在刚才化简第(1)题中的分式时,一位同学这样做的: 议一议. 在化简

5x 5 xy 5 xy 时,小颖是这样做的: = 2 2 20 x y 20 x y 20 x 2

你对上述做法有何看法?与同伴交流. [生]我认为小颖的做法中, 简结果. [师]很好!

5x 中还有公因式 5x,没有化简完,也就是说没有化成最 20 x 2

1 5 xy 如果化简成 ,说明化简的结果中已没有公因式,这种分式称为最 2 4x 20 x y

简分式.因此,我们通常使结果成为最简分式或者整式. Ⅲ.巩固、提高 1.填空: (1)

( ) 2x y?2 1 = ; (2) 2 ? x ? y ( x ? y )( x ? y ) ) y ?4 (

2.化简下列分式:

8

(1)

12 x 2 y 3 x? y ; (2) . 3 2 9x y ( x ? y) 3

Ⅳ.课时小结 [师]通过今天的学习,同学们有何收获?(鼓励学生积极回答) [生]数学知识之间是有内在联系的,利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质. [生]分式的约分和化简可联系分数的约分和化简. [生]化简分式时,结果一定要求最简. Ⅴ.活动与探究 实数 a、b 满足 ab=1,记 M=

1 1 a b + ,N= + ,比较 M、N 的大小. 1? a 1? b 1? a 1? b

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