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电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)


电动力学习题解答

电动力学答案
第一章
1.

2.

设 u 是空间坐标 x, y , z 的函数,证明:

电磁现象的普遍规律

根据算符 ? 的微分性与向量性,推导下列公式:

df ?u du dA ? ? A(u ) ? ?u ? du ?f (u ) ?
证明:



? ? A(u ) ? ?u ?

dA du



?( A ? B) ? B ? (? ? A) ? ( B ? ?) A ? A ? (? ? B) ? ( A ? ?) B

A ? (? ? A) ? 1 ?A2 ? ( A ? ?) A 2



1



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3.

( x ? x' ) 2 ? ( y ? y ' ) 2 ? ( z ? z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离, r 的方向规定为从源点指向场点。
?r ? ?? ' r ? r / r ;
3

设r ?

4.

应用高斯定理证明

(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微 商的关系:

? dV? ? f ? ? dS ? f (Stokes)定理证明 ? dS ? ?? ? ? dl?
V S S L

,应用斯托克斯

?(1/ r ) ? ??' (1/ r ) ? ?r / r ;
3

? ? (r / r ) ? 0 ; ? ? (r / r 3 ) ? ??'?(r / r 3 ) ? 0 , (r ? 0) 。 ( 2 ) 求 ? ? r , ? ? r , (a ? ?)r , ?(a ? r ) , ? ? [ E0 sin(k ? r )] 及 ? ? [ E0 sin(k ? r )] ,其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。



2



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5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 p(t ) ?

?? ? 0 证 明 p 的 变 化 率为 : 利 用 电 荷 守恒 定 律 ? ? J ? ?t dp ? J ( x ' , t )dV dt ?V

?

V

? ( x ' , t )x ' dV ' ,

6.

( / 若 m 是常向量, 证明除 R ? 0 点以外, 向量 A ? m ? R) R
的旋度等于标量 点指向场点。

3

? ? m ? R / R3 的 梯 度 的 负 值 , 即

? ? A ? ??? ,其中 R 为坐标原点到场点的距离,方向由原



3



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7. 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球,介质的电容率为 的电场; (2)极化体电荷和极化面电荷分布。 (1)空间各点 ? ,使介质球内均匀带静止自由电荷 ? f ,求:

9.

证明均匀介质内部的体极化电荷密度 ? p 总是等于体自由电 荷密度 ? f 的 ? (1 ? ? 0 / ? ) 倍。

8.

内外半径分别为 r1 和 r2 的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有 恒定均匀自由电流 J f ,导体的磁导率为 ? ,求磁感应强度和 磁化电流。



4



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10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向 相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 11. 平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为 l1 和 l 2 ,电 电容器两极板上的自由电荷面密度 ? f 1 和 ? f 2 ; 容率为 ? 1 和 ? 2 ,今在两板接上电动势为 E 的电池,求: (1) (2)介质分界面上的自由电荷面密度 ? f 3 。(若介质是漏电 的,电导率分别为 ? 1 和 ? 2 当电流达到恒定时,上述两物体 的结果如何?)



5



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12.证明: (1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的 曲折满足 13.试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情 况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流情况 下,导体内电场线总是平行于导体表面。

tan? 2 ? 2 ? tan? 1 ? 1
其中 ? 1 和 ? 2 分别为两种介质的介电常数, ? 1 和 ? 2 分别 为界面两侧电场线与法线的夹角。 (2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线的曲 折满足

tan? 2 ? 2 ? tan? 1 ? 1
其中 ? 1 和 ? 2 分别为两种介质的电导率。



6



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14.内外半径分别为 a 和 b 的无限长圆柱形电容器,单位长度荷电 为 ? f ,板间填充电导率为 ? 的非磁性物质。 (1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因 此内部无磁场。 (2)求 ? f 随时间的衰减规律。 (3)求与轴相距为 r 的地方的能量耗散功率密度。 (4)求长度 l 的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这 段的静电能减少率。

第二章

静电场
2

1. 一个半径为 R 的电介质球,极化强度为 P ? Kr / r ,电容率 为? 。 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度: (2)计算自由电荷体密度; (3)计算球外和球内的电势; (4)求该带电介质球产生的静电场总能量。



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2. 在均匀外电场中置入半径为 R0 的导体球,试用分离变量法求 下列两种情况的电势: (1)导体球上接有电池,使球与地保 持电势差 ? 0 ; (2)导体球上带总电荷 Q

4.

均匀介质球(电容率为 ? 1 )的中心置一自由电偶极子 p f ,球 外充满了另一种介质(电容率为 ? 2 ) ,求空间各点的电势和 极化电荷分布。

3.

均匀介质球的中心置一点电荷 Q f ,球的电容率为 ? ,球外为 真空,试用分离变量法求空间电势,把结果与使用高斯定理 所得结果比较。 提示: 空间各点的电势是点电荷 Q f 的电势 Q f / 4??R 与球面 上的极化电荷所产生的电势的迭加, 后者满足拉普拉斯方程。
第 8 页

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5. 空心导体球壳的内外半径为 R1 和 R2 ,球中心置一偶极子 p 7. 在一很大的电解槽中充满电导率为 ? 2 的液体,使其中流着均 匀的电流 Jf0。 今在液体中置入一个电导率为 ? 1 的小球, 求稳 恒时电流分布和面电荷分布, 讨论 ? 1 ?? ? 2 及 ? 2 ?? ? 1 两种 情况的电流分布的特点。 球壳上带电 Q ,求空间各点的电势和电荷分布。

6.

在均匀外电场 E 0 中置入一带均匀自由电荷 ? f 的绝缘介质球 (电容率为 ? ) ,求空间各点的电势。



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8. 半径为 R0 的导体球外充满均匀绝缘介质 ? ,导体球接地,离 球心为 a 处(a > R0 )置一点电荷 Q f ,试用分离变量法求空 间各点电势,证明所得结果与电象法结果相同。 9. 接地的空心导体球的内外半径为 R1 和 R2 , 在球内离球心为 a 处(a < R1 )置一点电荷 Q 。用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多 少?分布在内表面还是外表面?

( R ? R0 )

P
R1
O
R'

R
Q'

Q



10



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10. 上题的导体球壳不接地,而是带总电荷 Q0 ,或使具有确定电 势 ?0 , 试求这两种情况的电势。 又问 ?0 与 Q0 是何种关系时, 两情况的解是相等的? 11. 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球 的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平 面相距为b(b>a),试用电象法求空间电势。

?Q a ( x 0 ,? a , b)
b

z

Q( x0 , a, b)

y

?Q ( x 0 ,? a ,?b)

? Q( x 0 , a,?b)



11



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12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和b, 电势。 求空间 充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在 ( x0 , y0 , z 0 ) 和 ( x0 , y0 ,? z 0 ) 两点分别置正负电极并通以电流 I,求导电液体中的电势。
Q ( ? x 0 ,? y 0 , z 0 ) z Q ( x 0 ,? y 0 , z 0 ) Q(? x0 , y 0 , z 0 ) Q( x 0 , y 0 , z 0 )

o

y

? Q(? x 0 ,? y 0 ,? z 0 ) ? Q( ? x 0 , y 0 ,? z 0 ) x ? Q( x 0 , y 0 ,? z 0 ) ? Q( x 0 ,? y 0 ,? z 0 )

z
A( x0 , y0 , z0 )

o

?
x

y

B( x0 , y0 ,? z0 )

13. 设有两平面围成的直角形无穷容器, 其内
第 12 页

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14. 画出函数 d? ( x) / dx 的图,说明 ? ? ?( p ? ?)? ( x ) 是一个位 于原点的偶极子的电荷密度。
d? ( x ) dx

15. 证明:(1) ? (ax) ? ? ( x) / a 如何?) (2) x? ( x) ? 0

(a ? 0) ,(若 a ? 0 ,结果

o

x



13



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16. 一块极化介质的极化矢量为 P (x ' ) ,根据偶极子静电势的公 式,极化介质所产生的静电势为 ? ?

?
V

P ( x' ) ? r dV ' ,另外 4?? 0 r 3

根据极化电荷公式 ? p ? ??'?P ( x' ) 及 ? p ? n ? P ,极化介 质所产生的电势又可表为

17. 证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的 变化。 (1)在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势是连续的。 (2)在面偶极层两侧,电势有跃变 ? 2 ? ?1 ? n ? P / ? 0 ,而电 势的法向微商是连续的。 (各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面, 形成面 偶极层,而偶极矩密度 z P ? lim ?l )
E
? ??
l ?0

? ? ??

V

?'?P ( x ' ) P ( x ' ) ? dS ' ,试证明以上两表达 dV ' ? ? S 4?? 0 r 4?? 0 r

式是等同的。
?1

?

?2
E

x
?S



14



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18. 一个半径为R0 的球面,在球坐标 0 ? ? ? ? / 2 的半球面上电 势为 ? 0 在 ? / 2 ? ? ? ? 的半球面上电势为 ? ? 0 ,求空间各 点电势。

第三章
1.

静磁场

试用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 , 写出 A 的两种 不同表示式,证明二者之差为无旋场。

P ( x) ? Pn ?1 ( x) 提示: ? Pn ( x)dx ? n ?1 , Pn (1) ? 1 , 0 2n ? 1 0
1 1

?0 , (n ? 奇数) ? Pn (0) ? ? n / 2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( n ? 1) , (n ? 偶数) ?(?1) 2? 4? 6??? n ?

2.

均匀无穷长直圆柱形螺线管,每单位长度线圈匝数为 n,电流 强度 I,试用唯一性定理求管内外磁感应强度 B 。



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3. 设有无限长的线电流 I 沿 z 轴流动, z<0 空间充满磁导率为 在 ? 的均匀介质,z>0 区域为真空,试用唯一性定理求磁感应 强度 B ,然后求出磁化电流分布。 5. 某 空 间 区 域 内 有 轴 对 称 磁 场 。 在 柱 坐 标 原 点 附 近 已 知 其中 B0 为常量。 试求该处的 B ? 。 Bz ? B0 ? C( z 2 ? ? 2 / 2) , 提示:用 ? ? B ? 0 ,并验证所得结果满足 ? ? H ? 0 。

4.

设 x<0 半空间充满磁导率为 ? 的均匀介质, x>0 空间为真空, 今有线电流 I 沿 z 轴流动,求磁感应强度和磁化电流分布。



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6. 两个半径为 a 的同轴圆形线圈,位于 z ? ? L 面上。每个线圈 上载有同方向的电流 I。 (1)求轴线上的磁感应强度。 (2)求在中心区域产生最接近于均匀常常时的 L 和 a 的关系。 提示:用条件 ? 2 Bz / ?z 2 ? 0 7. 半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面 上,试解矢势 A 的微分方程。设导体的磁导率为 ? 0 ,导体 外的磁导率为 ? 。



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8. 假 设 存 在 磁 单 极 子 , 其 磁 荷 为 Qm , 它 的 磁 场 强 度 为

H ? Qm r / 4??0 r 3 。给出它的矢势的一个可能的表示式,并
讨论它的奇异性。

10. 有一个内外半径为 R1 和 R2 的空心球,位于均匀外磁场 H 0 内,球的磁导率为 ? ,求空腔内的场 B ,讨论 ? ?? ?0 时的 磁屏蔽作用。

9.

将一磁导率为 ? ,半径为 R0 的球体,放入均匀磁场 H 0 内, 求总磁感应强度 B 和诱导磁矩 m。 (对比 P49 静电场的例子。 )



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11. 设理想铁磁体的磁化规律为 B ? ?H ? ?0 M0 ,其中 M 0 是恒 定的与 H 无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球 ( M 0 为常值)浸入磁导率为 ? ' 的无限介质中,求磁感应强 度和磁化电流分布。 13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为 R0 ,总电荷为 Q ,今使 球壳绕自身某一直径以角速度 ? 转动,求球内外的磁场 B 。 提示:本题通过解 A 或 ? m 的方程都可以解决,也可以比较 本题与§ 例 2 的电流分布得到结果。 5

12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场 H 0 中,结果如何?



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14. 电荷按体均匀分布的刚性小球,其总电荷为 Q ,半径为 R0 , 它以角速度 ? 绕自身某一直径转动,求(1)它的磁矩; (2) 它的磁矩与自转角动量之比(设质量 M0 是均匀分布的) 。

第四章 电磁波的传播
1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为 ? ? d? 和 ? ? d? 的线偏振平面波,它们都沿 z 轴方向传播。 (1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

15. 有一块磁矩为 m 的小永磁体,位于一块磁导率非常大的实物 的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力 F 。



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2. 一平面电磁波以 ? ? 45° 从真空入射到 ? r ? 2 的介质,电场强 度垂直于入射面,求反射系数和折射系数。 4. 频率为 ? 的电磁波在各向异性介质中传播时,若 E , D, B, H 仍按 e 变化, D 不再与 E 平行 但 (即 D ? ?E 不成立) 。 ( 1 ) 证 明 k?B ? k?D ? B?D ? B?E ? 0 , 但 一 般 k ?E ? 0。 (2)证明 D ? [k 2 E ? (k ? E)k ] / ? 2 ? 。 (3)证明能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上。
i ( k ?x ??t )

3.

有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为 60° ,证明这时 将会发生全反射,并求折射波沿表面传播的相速度和透入空 气的深度。设该波在空气中的波长为 ?0 ? 6.28?10?5 cm, 水的折射率为 n=1.33。



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5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 z 轴传播, 一个波沿 x 方向偏振,另一个沿 y 方向偏振,但相位比前者超前 ? 2 , 求合成拨的偏振。反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个 线偏振? 8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上, 入射角为 ? 1 。 求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属, 结果如何? 提示:导电介质中的波矢量 k ? β ? iα ,α 只有 z 分量。 (为 什么?)

6.

平面电磁波垂直射到金属表面上,试证明透入金属内部的电 磁波能量全部变为焦耳热。

7.

已知海水的 ?r ? 1 , ? ? 1 S·m-1,试计算频率? 为 50,106 和 109Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。



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9. 无限长的矩形波导管,在 z=0 处被一块垂直插入的理想导体 平板完全封闭,求在 z ? ?? 到 z=0 这段管内可能存在的波 模。 10. 电磁波 E ( x, y, z, t ) ? E ( x, y)e
i ( k z z ???t )

在波导管中沿 z 方向传

播, 试使用 ? ? E ? i??0 H 及 ? ? H ? ?i??0 E 证明电磁场 所有分量都可用 Ex ( x, y) 及 H z ( x, y) 这两个分量表示。

11. 写出矩形波导管内磁场 H 满足的方程及边界条件。



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12. 论证矩形波导管内不存在 TMm0 或 TM0n 波。 14. 一对无限大的平行理想导体板,相距为 b,电磁波沿平行于板 面的 z 方向传播,设波在 x 方向是均匀的,求可能传播的波 模和每种波模的截止频率。

13. 频率为 30? 10 Hz 的微波,在 0.7cm ? 0.4cm 的矩形波导管 中能以什么波模传播?在 0.7cm ? 0.6cm 的矩形波导管中能 以什么波模传播?
9

15. 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总 相等。



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