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江西省宜春中学、新余一中2013届高三12月联考数学理科试题



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江西省宜春中学、新余一中 2013 届高三 12 月联考试题

数 学 试 卷(理科)2012 年 12 月 6 日
命题人: 考试时间:120 分钟 一.选择题(每小题 5 分,共计 50 分)
2 1.设集合 A ? ? x | y ? log 2

( x ? 2)? , B ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?



A. ? 2.设 a
1 ? 0.5 2 , b 1 ? 0.9 4 , c

B. ? 2, 4 ?

C. ? ?2,1? )

D. ? 4,???

? log5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(
C. a ? b ? c

A. a ? c ? b 3.已知命题 p : A. ?? 3,?1?

B. c ? a ? b

D. b ? a ? c

2x ? 1 ,命题 q : ( x ? a)(x ? 3) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 x ?1
B. ?? 3,?1? ) C. ?1,??? D. ?? ?,?3?
2 n ?1

数 a 的取值范围是(

4. 已知正项数列 ?a n ? 中,a1 ? 1 ,a 2 ? 2 , A.16 5. 函数 y ? B.8 C. 2 2 )

2an ? a
2

?a

2 n ?1

则 ( (n ? 2) , a6 等于



D.4

ln x x

的图象大致是(

? x ? ?1 ? 6.已知向量 a ? ( x ? z,1),b ? (2, y ? z) , a ? b , 且 若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x , ?3 x ? 2 y ? 5 ?
则 z 的最大值为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

7.定义行列式运算 位,以

a1 a2 a3 a 4

= a1a4 ? a2 a3 . 将函数 f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 个单 6

下是所得函数图象的一个对称中心是(



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A. ?

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?? ? ?? ? ?? ? C. ? , 0 ? D. ? , 0 ? ,0? ?2 ? ?3 ? ? 12 ? ??? ??? ? ? ??? ? ? 8. 已知 G 是 ?ABC 的重心,且 aGA ? bGB ? 3cGC ? 0 ,其中 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对 ?? ? ,0? ?4 ?
B. ? 边,则 cos C ? ( A. )
3 2 3 2 3 6

5 6

B. ?

C.

D.

9.已知函数 f ( x) ? ?

?sin ? x (0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 ? log 2010 x ( x ? 1)
) C. (2, 2011) D. [2, 2011]

a ? b ? c 的取值范围是(
A. (1, 2010)

B. (1, 2011)

10.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数” ,则在 1~100 这 100 个 数中,能称为“和平数”的所有数的和是( A.130 B.325 ) C.676 D.1300

二.填空题(每小题 5 分,共计 25 分) 11. 向量 a, b 的夹角为 120°, | a |? 1, | b |? 3, 则 | 5a ? b | = .

12.若关于 x 的不等式 | x ?1| ? | x ? 2 |? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,则实数 a 的 取值范围是 13.已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点.若动点 P (a, b) 在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为 .

14. 如图: 在三角形 ABC 中, D 为线段 AC 上的一点, E 为线段 BC 的中点, 点 点 连接 AE 交 BD 于 P 点,若 AP ?

??? ?

? ???? ??? ? 1 ??? AE ,记 AD ? ? AC ,则实数 ? 的值为 2

15.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的 图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题:

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①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ?0, 2? 上是减函数; ③如果当 x ???1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 三.解答题 16. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) ,求适合方程 数 n 的值. 17.(本小题满分 12 分)某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单 位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关
?



1 a n ? 1 (n ? N ? ) . 2

1 1 1 25 的正整 ? ? ... ? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

k ? ? 5(0 ? x ? 6) ?3x ? 系S ?? ,已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x=2,L=3。 x ?8 ?14 ( x ? 6) ?
(1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润达到最大,并求出最大值。 18.(本小题满分 12 分)如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? 13 , AC ? 10 , AD ? 5 ,

cos ?DAC ?

? ? 3 ??? ??? , AB ? AC ? 120 。 5

(1)求 cos ?BAD ; (2)设 AC ? x ? AB ? y ? AD ,求x、y 的值。

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19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC,

?BAD ? 900 , PA ? 底面 ABCD ,PA ? AD ? AB ? 2BC ,M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ? DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值. N 20.(本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)sin x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 M A B C D P

1 . 2

? 个单位,再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 3

倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 后 得 到 的 y ? g ( x) 的 图 象 . 若 y ? g ( x)(x ? 0) 的 图 象 与 直 线

y??

3 交点的横 坐标由小到大依次是 x1 , x2 ,?, xn ,?, 求数 {xn } 的前 2n 项的和. 2

21.本小题满分 14 分) ( 已知函数 g ( x) ?

f ( x) ? mx ?

m ? 1 ? 2e ? ln x , m ? R . x (1)求 ? 的值;

1 ? ln x在 ?1, ?? ? 上为增函数, ? ? (0, ? ) , 且 x ? sin ?

(2)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (3)若在 [1, e] 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.

宜春中学、新余一中 2013 届高中毕业年级联考 数学试卷(理)2012 年 12 月
一、选择题(10×5=50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 C 10 C

二、填空题(5×5=25 分) 11、 14、 7
1 3

12、 ?? ?,?1? ? ?0,??? 15、
①②⑤

13、

1 2

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三、解答题(共 75 分) (答题写在各题相应的方框内) 16、 (12 分)
1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ……………………1 分 3 2 1 1 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , …………………2 分 2 2 1 1 ∴ sn ? sn ?1 ? ? an ?1 ? an ? ,即 an ? ? an ?1 ? an ? 2 2 1 ∴ a n ? a n ?1 ( n ? 2) …………………………………………3 分 3 1 2 ∴ ?an ? 是以 为首项, 为公比的等比数列.…………………………………4 分 3 3 2 1 n ?1 1 n 故 an ? ? ( ) ? 2 ? ( ) (n ? N ? ) …………………………………………6 分 3 3 3 1 1 n 1 n ?1 (2) 1 ? sn ? an ? ( ) , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) ? ?n ? 1 ……………8 分 2 3 3
解.(1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ?

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 …………………………………………9 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 …11分
解方程

1 1 25 ? ? ,得 n ? 100 2 n ? 2 51

…………………………………………12 分

17、 (12 分)

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18、 (12 分)
解: (1)设 ?CAB ? ? , ?CAD ? ? ,

cos ? ?

AB ? AC | AB | ? | AC |

?

120 12 3 ? , cos ? ? , 130 13 5

? sin ? ?

5 4 , sin ? ? , …………………………………………………….3 分 13 5

?cos ?BAD ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
? 12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65
……………………………………………………..6 分

??? ??? ? ? ??? 2 ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? AC ? AB ? xAB ? y AD ? AB ? (2)由 AC ? x ? AB ? y ? AD得 : ???? ???? ? ??? ???? ? ???? 2 ……….8 分 ? AC ? AD ? xAB ? AD ? y AD ?
?120 ? 169x ? 16y ?? ?30 ? 16x ? 25y
10 分 解得: x ?

40 63

y?

50 .… 12 分 63

19、 (12 分)
【答案】解: (Ⅰ)解法 1:∵ N 是 PB 的中点, PA ? AB ,∴ AN ? PB . ∵ PA ? 平面 ABCD ,所以 AD ? PA .
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又 AD ? AB , PA ? AB ? A ,∴ AD ? 平面 PAB , AD ? PB . 又 AD ? AN ? A ,∴ PB ? 平面 ADMN . ∵ DM ? 平面 ADMN ,∴ PB ? DM . ??????6 分

解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC ? 1 , 可得, A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B ? 2,0,0? , C ? 2,1,0? , M ? 1,

? 1 ? ,1? , D ? 0, 2,0? . ? 2 ?


为 PB ? DM ? ? 2, 0, ?2 ? ? ?1, ? ,1? ? 0 , z P (Ⅱ) 解法 1: AD 中点 Q , 取 连接 BQ 和 N A B x C M y D 所以 PB ? DM .

??? ???? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

??????6 分

NQ , 则 BQ / / DC , 又 PB ? 平 面

ADMN ,∴ CD 与平面 ADMN 所成的
角为 ?BQN .

设 BC ? 1 ,在 Rt ?BQN 中,则 BN ? 2 , BQ ? 5 ,故 sin ?BQN ?

10 . 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

??????12 分

解法 2:因为 PB ? AD ? ? 2,0, ?2 ? ? ? 0, 2,0 ? ? 0 . 所以 PB ? AD ,又 PB ? DM ,所以 PB ? 平面 ADMN , 因此 PB, DC 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ? ??? ???? ? PB ? DC 10 ? 因为 cos PB, DC ? ??? ???? ? . 5 | PB || DC |
所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为

10 . 5

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金太阳新课标资源网 20、 (13 分)

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【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)sin x ?

1 1 ? sin 2 x ? 3 cos x sin x ? 2 2 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .?????????4 分 2 2 6 ? ? 3? 令 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ?Z) ,所以 2 6 2

P

k? ?

?

5 ? x ? k? ? ? , k ? Z 3 6


所 N A B C M D Q

f ( x)

















[k? ?

?

5 , k? ? ? ], k ? Z . ??????6 分 3 6

(Ⅱ)将 f ( x) ? sin(2 x ? 得

?

6

) 的图象向左平移

? 个单位后, 3


f (x ?
?7 分

x?

?
3

?

?
6

?s

x?

?
2

?

x .?????? )

再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)后得到 y ? g ( x) ? cos x ,? 8 分解法一:若函数 g ( x) ? cos x( x ? 0) 的图象与直线 y ? ? 大依次是

3 交点的横坐标由小到 2

x1 、 x2 、 ???xn 、 ? 、 x2n ,则由余弦曲线的对称性,周期性可知,
x ?x x ?x x1 ? x2 ? ? , 3 4 ? 2? ? ? ,? , 2 n ?1 2 n ? 2(n ? 1)? ? ? , ????9 分 2 2 2
所以 x1 ? x2 ? ? ? x2n?1 ? x2n ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ? ? ( x2n?1 ? x2n )

? 2? ? 6? ?10? ??? (4n ? 2)? ? ?1? 3 ? 5 ????? (2n ?1)?? 2?
? n ?1 ? (2n ? 1)? 2 ? 2? ? 2n 2? .??????????????????12 分

解法二:若函数 g ( x) ? cos x( x ? 0) 的图象与直线 y ? ?

3 交点的横坐标由小到大依 2

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2? 4? , x2 ? .?????9 分 3 3

次是 x1 、 x2 、 ???xn 、 ? 、 x2n ,则 x1 ? 由余弦曲线的周期性可知,

x3 ? x1 ? 2? , x5 ? x1 ? 4? ,?, x2n?1 ? x1 ? 2(n ?1)? ; x4 ? x2 ? 2? , x6 ? x2 ? 4? ,?, x2n ? x2 ? 2(n ? 1)? .
所以 x1 ? x2 ? ? x2n?1 ? x2n ? ( x1 ? x3 ? ? ? x2n?1 ) ? ( x2 ? x4 ? ? x2n )

? [nx1 ? 2? ? 4? ? ? ? 2(n ? 1)? ] ? [nx2 ? 2? ? 4? ? ? ? 2(n ? 1)? ] ? n( x1 ? x2 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 4?
? n( 2? 4? (n ? 1)n ? )? ? 4? ? 2n2? .?????????12 分 3 3 2

21、 (14 分)
解答: (1)由已知 g ( x) ? ?
/

1
2

sin ? ? x sin ? ? x ? 1 ? 0 ,∵ ? ? (0, ? ) ,∴ sin ? ? 0 , 即 sin ? ? x 2

?

1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x

故 sin ? ? x ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,只需 sin ? ? 1 ? 1 ? 0 , 即 sin ? ? 1 ,∴只有 sin ? ? 1 ,由 ? ? (0, ? ) 知 ? ? (2)∵ m ? 0 ,∴ f ( x) ? ?

?
2



????????4 分

?1 ? 2e ? ln x , x ? (0, ??) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x / / ? ? ∴ f ( x) ? , f ( x) ? 0 ,则 x ? 2e ? 1 ? (0, ??) , 2 2 x x x
/ ∴ x , f ( x) 和 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
f ( x)

(0, 2e ? 1)
+

2e ? 1
0 极大值

(2e ? 1, ??)

?

?

f (2e ?1) ? ?1 ? ln(2e ?1)

?

即函数的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, ??) , 有极大值 f (2e ? 1) ? ?1 ? ln(2e ? 1) ; (3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ?
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????????9 分

m ? 2e ? 2 ln x , x

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当 m ? 0 时,由 x ? [1, e] 有 mx ?

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m 2e ? 0 ,且 ?2 ln x ? ? 0, x x

∴此时不存在 x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立; 当 m ? 0 时, F ( x) ? m ?
/

m ? 2e 2 mx 2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? , x x2 x2
2

∵ x ? [1, e] ,∴ 2e ? 2 x ? 0 ,又 mx ? m ? 0 ,∴ F / ( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, 故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增,∴ F ( x) max ? F (e) ? me ?

m ?4, e

m 4e ? 4 ? 0 ,则 m ? 2 , e e ?1 4e , ?? ) . 故所求 m 的取值范围为 ( 2 e ?1
令 me ?

????????14 分

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