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人教版·数学Ⅰ



课题:§1.3.1 函数的最大(小)值
教学目的: (1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 教学过程: 一、 引入课题 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:
1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上

的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ○

(1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

(2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1

x ?[?2,2]

二、

新课教学

(一)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的 定义. (学生活动) 注意:
1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I, ○

都有 f(x)≤M(f(x)≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b);

如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); (二)典型例题 例 1. (教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解: (略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立 适当的函数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 巩固练习:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形一边长为 x,面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大? 例 2. (新题讲解) 旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价 和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85 25

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之 间,房价与住房率之间存在线性关系. 设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当 房价为 (160 ? x) 元时,住房率为 (55 ?

x ?10)% ,于是得 20

y =150· (160 ? x) · (55 ?
由于 (55 ?

x ?10)% . 20

x ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题.

将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值, 可知 y 也在 x =25 时取得最大值, 此时房价定位应是 160-25=135(元) ,相应的住房率为 67.5%,最大住房总收 入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理, 定价 140 元也是比较合 理的) 例 3. (教材 P37 例 4)求函数 y ? 解: (略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式. 巩固练习: (教材 P38 练习 4) 三、 归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助 计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域, 单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、 作业布置 提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方 向航行,快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km, 经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短? B C D A 1. 书面作业:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 6、7、8 题.

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1



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