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2015高二(下)期末模拟测试15.06.16



期末复习试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 A.2 B.

3 ,则正视图中的 x 的值是( 2



9 2

C.

r />3 2

D .3

一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6? ,集合 M ? ?2,3,5? , N ? ?4,5? ,则集合 CU (M A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

9.已知 x ? 0, y ? 0, 且

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y

N ) 中元素的个数是(



(

) B. (1, 2) C. (-2,1) D. (-2,4)

A. (2,4)

2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,则复数 是 ( ) B. ? i

z 的共轭复数 1 ? 2i

10.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) ,过其右焦点 F 作圆 x2 ? y 2 ? 9 的两条切线,切点分别记作 C 、 D , 9 b
?

双曲线的右顶点为 E , ?CED ? 150 ,其双曲线的离心率为(

) D.

3 A. ? i 5
3.已知 f ( x) ? ? A. 2 ? i

3 C. i 5

D. i

A. )

?1 ? x, x ? R ,则 f ( f (1 ? i)) ? ( ?(1 ? i) x, x ? R
C.3 D. 3 ? i

2 3 9

B.

3 2

C. 3

11.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 sin x, x ? [?

? ?

2 3 3

, ] 的图像大致是 2 2

B.1

4.各项都为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 32 , a5 ? a6 ? a7 ? 2 ,则公比的值是( A.



1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16
12.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表. x
输入a1 , a2 ,

5.已知 V ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 实数 m 使得 AB ? AC ? m AM 成立,则 m =( ) A.2 B.3 C.4 D.

.若存在
开始

-1 1

0 2

4 2

5 1

3 2

a6

f(x)

6. 在篮球比赛中, 某篮球队队员投进三分球的个数如表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

f(x)的导函数 y=f ′(x)的图象如图所示.下列关于函数 f(x)的命题:

s ? 0, i ? 1

i ? i ?1


① 函数 y=f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)在[0,2]是减函数; ③ 如果当 x∈ [-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④ 当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是 ( ) A.4 B .3 C.2 D .1

a1

a2

a3

a4

a5

a6
否 输出 s 结束

ai
下图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球总数 s 的程序 框图,则图中的判断框内应填入的条件是( A. i ? 6 B. i ? 7 C. i ? 8 D. i ? 9 ) )

s ? s ? ai

二、填空题(共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

7.在 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,则 C 等于( A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

D.

? 4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z=2x-3y 的最小值是________. ? x ? 3, ?

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14.采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随 机数,用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三 天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

19. (本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PD?底面 ABCD,PD=AD,E 为 PC 的中点,F 为 PB 上一点,且 EF?PB. (1)证明:PA//平面 EDB; (2)证明:AC?DF; (3)求三棱锥 B—ADF 的体积. 20. (12 分)某县为增强市民的环境保护意识,面向全县征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.

据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________ 15.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表 面积等于 。

16.给出下列四个命题: ① 命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x ”; ② “ m ? ?2 ”是“直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的必要不充分条件; ③ 设 圆 x2 ? y 2 ? D x ?

E ?y0 ( ? F

2

2 D ? 4 E ? 与 0 )坐 ? F标 轴 有

4

个 交 点 , 分 别 为

A( x1,0), B( x2 ,0), C(0, y1 ), D(0, y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;
④ 关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m 的解集为 R ,则 m ? 4 . 其中所有真命题的序号是 .

(1)分别求第 3,4,5 组的频率. (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多 少名志愿者? (3)在(2)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,

三、解答题(共 6 题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 21. (本小题满分 12 分)已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆的两条切线,切点分别为 A 1 、 A2 ,

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数) ,若以该直角坐标系的原点 O 为 ? y ? sin 2?
?
4 )? 2 . t (其中 t 为常数) 2

x2 y 2 直线 A1 A2 恰好经过椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a b
(1)求直线 A1 A2 的方程及椭圆 C1 的方程; (2) 若椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率, 点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA (O 为 原点) ,求直线 AB 的方程.

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为: ? sin(? ? (1)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (2)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离.

18. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且首项 a1 ? 3, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) .
n (Ⅰ )求证: S n ? 3 是等比数列;

22. (14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间;

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

?

?

(Ⅱ )若 f ( x ) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。

(Ⅱ )若 ?an ? 为递增数列,求 a1 的取值范围.
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析: M

N ? {2,3,4,5},?? U (M

N ) ? {1,6} .选 C.

考点:集合的基本运算. 2.B 【解析】 试题分析:由题意 z ? 2 ? i , 考点:复数的概念与运算. 3.C 【解析】 试题分析: 因为 f (1 ? i) ? (1 ? i)(1 ? i) ? 2 , 所以 f ( f (1 ? i)) ? f (2) ? 1 ? 2 ? 3 , 故应选 C . 考点:1.分段函数求值; 4.A 【解析】 试题分析:由等比数列的性质, q 4 ? 考点:等比数列的性质. 5.B 【解析】 试题分析:由题根据 MA ? MB ? MC =0 ,则 M 为△ ABC 的重心. 根据 MA ? MB ? MC =0 知,点 M 为△ ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点, 则 AM =

z (2 ? i)(1 ? 2i) 2 ? 4i ? i ? 2i 2 ? ? ? i ,所以 z ? ?i . 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

1 a5 ? a6 ? a7 2 1 ? ? ,q ? . 2 a1 ? a2 ? a3 32 16

2 2 1 1 AD ? ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ), ? AB ? AC =3 AM , ? m ? 3, 故选 B 3 3 2 3

考点:平面向量的几何意义 6.B 【解析】 试题分析:当 i ? 7 时则统计结束,故应填 i ? 7 ,选 B.
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考点:程序框图. 7.A 【解析】 试题分析: tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ? tan A ? tan B ? ? 3 ?1 ? tan A tan B ?

?

tan A ? tan B ? ? ? 3 ? tan C ? 3 ? C ? 1 ? tan A tan B 3

考点:两角和的正切公式 8.C 【解析】 试题分析:根据题中所给的几何体的三视图,可知该几何体为底面是直角梯形的,且顶点在 底面上的摄影为底面梯形的顶点的四棱锥,故 V ? C. 考点:根据三视图还原几何体. 9.D 【解析】 试题分析: x ? 2 y = ? x ? 2 y ? ?

1 1 3 3 ? ? (1 ? 2) ? 2 ? x ? ,即 x ? ,故选 3 2 2 2

1 ?2 1? 4y x ? ? =4+ ? ? 4 ? 4 ? 8 ? tan B ? 2 x y ?x y?

? m2 ? 2m ? 8??2 ? m ? 4
考点:均值不等式求最值 10.D 【解析】 试题分析:根据圆的性质,可知 ?COD ? 60 ,即 ?COF ? 30 ,所以有 CF ? 3 ,

OF ? 2 3 ,从而有 e ?

c 2 3 ,故答案为 D. ? a 3

考点:双曲线的离心率. 11.D 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 2 x ? 4 sin x ,所以 f ' ( x) ? 2 ? 4 cos x ,

答案第 2 页,总 9 页

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令 f ' ?x ? ? 0 ? x ? 所以函数在 ? ? 以应选 D.

?
3

或x??

?
3

?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ,? ? 上为增函数,在 ? ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数,所 ?3 2? ? 2 3? ? 3 3?

考点:函数的性质. 12.D 【解析】 试题分析:① 显然错误,② 正确,③ 因为当 x ? [4,5] 时 f ( x ) 为减函数,因此 t 最大值是 5, ④ 当 f (2) ? 1 时,而 1 ? a ? f (2) 时,没有 4 个零点,故真命题只有② . 考点:导数与函数的性质,命题的真假. 13.-6 【解析】

? x ? y ? 1 ? 0, ? 试题分析:约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 对应的区域为直线 x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 1 ? 0, x ? 3 围成 ? x ? 3, ?
的三角形区域, 当 z=2x-3y 过 x ? y ? 1 ? 0, x ? 3 交点 ? 3, 4 ? 时取最小值-6 考点:线性规划 14.0.25 【解析】 试题分析:20 组数中表示恰有 2 天下雨的是 191,271,932,812,393 共 5 组,因此概率为

5 ? 0.25 . 20
考点:随机试验. 15. 20? 【 解析】 在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 可得 BC ? 2 3 , 由 正 弦定理 , 可得

?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? , TO ? B O 球心为 O , 在R
故此球的表面积为 4? R ? 20? .
2

? 中, 易得球半径 R ? 5 ,

答案第 3 页,总 9 页

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16.① ③ ④ 【解析】 试题分析: 对于① 命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x ”, 正确; 对于② “直 线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与 直 线 (m ? 2 x )?

m (?

2 y? ) 相 ?3互 垂 0 直 ” ,

??m ? 2??m ? 2? ? m?m ? 2? ? 0
解 得 m ? ?2 或 m ? 1 , “ m ? ?2 ” 是 “ 直 线 (m ? 2 x )? m y ? 1 ?与0 直 线

(m ? 2 x )?

m ( ?

2y ) ? 相互垂直 ? 3 0 ” 的充分不必要条件;对于③当圆与 x 轴相交时,令

y ? 0 时, x 2 ? Dx ? F ? 0 时, x1 ? x2 ? F ,同理

y1 ? y2 ? F ,因此正确;对于④ ,由于不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m 恒成立,由于 x ? 1 ? x ? 3
表示点 x 到 ?1,3 的距离之和,最小值为 4,故 m ? 4 ,故正确,真命题单调序号是① ③ ④ . 考点:命题真假性的判断. 17. (1) ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1或 t ? ? 【解析】 试题分析:消去参数把曲线 M 的参数方程化为普通方程,利用公式 ? 的极坐标方 程化为直角坐标方程, 利用数形结合的思想可以得出曲线 M , N 有一个公共点时的 t 的范围; (2)直线
2 x0 ? x0 ? 1

5 3 2 . ; (2) 4 8

? x ? ? cos ? 把曲线 N ? y ? ? sin ?

( x , x 2 ? 1) ,x0 ? 2 , N: x ? y ? ?2 , 设 M 上点为 0 0 则
由此可求 得最小值. 试题解析:对于曲线 M,消去参数,得普通方程为

d?

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ? 2 ,

y ? x 2 ? 1, x ? 2

,曲线 M 是抛物线的 (2 分)

一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线.

答案第 4 页,总 9 页

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(1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平 行运动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点, 再接着向左下方平行运动直到相切 之前总是有两个公共点, 所以 ? 2 ? 1 ? t ?

2 ? 1满足要求; 相切时仍然只有一个公共点,
5

t?? 2 2 4 .综合可求得 t 的取值 由 t ? x ? x ? 1 ,得 x ? x ? 1? t ? 0, ? ? 1? 4(1 ? t) ? 0 ,求得

范围是: ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1或

t??

5 4 . (6 分)

( x , x 2 ? 1) , x0 ? 2 ,则 (2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 0 0
2 x0 ? x0 ? 1

d?

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ?3 2 ? 8 2 ,



x0 ? ?

1 3 2 x ? 2 2 时取等号,满足 0 ,所以所求的最小距离为 8 . (10 分)

考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,点到直线的距离. 18.(Ⅰ )详见解析; (Ⅱ ) (?9,3) ? (3, ??) 【解析】

Sn ?1 ? 3n?1 试题分析:(Ⅰ ) 由题根据所给条件可得 ? 2 ,然后得到 {Sn ? 3n } 为等比数列; n Sn ? 3
(Ⅱ ) 由

Sn ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?1







Sn ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 3n







an ? Sn ? Sn?1 ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ,
因为 ?an ? 为递增数列, 则 an?1 ? an 对 n ? N 恒成立, 然后根据 2
*

n?2

3 [12 ? ( ) n ? 2 ? a1 ? 3] ? 0 2

对 n ? 2 , n ? N 恒成立,求得 a1 的取值范围.
*

试题解析: (I)因为 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,所以 Sn?1 ? 2Sn ? 3n 所以

1分

Sn ?1 ? 3n?1 ?2 Sn ? 3n

4分

且 a1 ? 3 ? 0 所以 {Sn ? 3n } 是以 a1 ? 3 为首项,以 2 为公比的等比数列。 6分

答案第 5 页,总 9 页

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(II)由(I)得, Sn ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ,所以 Sn ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 3n 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 若 ?an ? 为递增数列,则 an?1 ? an 对 n ? N * 恒成立 当 n ? 2 时, (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? (a1 ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 即2
n?2

8分

3 [12 ? ( ) n ? 2 ? a1 ? 3] ? 0 对 n ? 2 , n ? N * 恒成立 2
10 分

则 a1 ? ?9 又 a2 ? a1 ? 3 ? a1

所以 a1 的取值范围是 (?9,3) ? (3, ??) . 考点:恒成立问题、数列的递推关系 19. (1)见解析; (2)见解析; (3) 【解析】

12 分

1 9

试题分析: (1)根据所给条件连接 AC 交 BD 于点 G,连接 EG,因为四边形 ABCD 是正方 形,所以点 G 是 AC 的中点.因此 EG//PA,然后得到线面平行 (2)根据四边形 ABCD 是 正方形,得到 AC?BD ,根据 PD?底面 ABCD,AC?底面 ABCD,得到 AC?PD.然后推 出线面垂直; (3)由题过点 F 作 FH//PD,交 BD 于 H.因为 PD?底面 ABCD,FH//PD,可 得 FH?底面 ABCD. 进而可得 ? = 3 ? , 根据等积发 V B ? ADF ? VF ? ABD ? 试题解析:证明: (1)连接 AC 交 BD 于点 G,连接 EG. (1 分)
P E
1

1 . 9

F D H A

C G B

因为四边形 ABCD 是正方形,所以点 G 是 AC 的中点, (2 分) 又因为 E 为 PC 的中点,因此 EG//PA. (3 分) 而 EG?平面 EDB,所以 PA//平面 EDB. (4 分) (2)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC?BD. (5 分) 因为 PD?底面 ABCD,AC?底面 ABCD,所以 AC?PD. (6 分)
答案第 6 页,总 9 页

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而 PD∩BD=D,所以 AC?平面 PBD. (7 分) 又 DF?平面 PBD,所以 AC?DF. (8 分) (3)过点 F 作 FH//PD,交 BD 于 H. 因为 PD?底面 ABCD,FH//PD,所以 FH?底面 ABCD. (9 分) 由题意,可得 PB ?

3 , PC ? 2 , PE ?

2 . 2
(10 分)

由 Rt?PFE∽ Rt?PCF,得

PF PC PE ? PC 3 ? , PF ? . ? PE PB PB 3

由 Rt?BFH∽ Rt?BPD,得 所以 VF ? ABD 所以 V B ? ADF

BF FH BF ? PD 2 ? ? . , FH ? (11 分) BP PD BP 3 1 1 1 2 1 ? S ?ABD ? FH ? ? ? 1 ? 1 ? ? , (13 分) 3 3 2 3 9 1 1 ? VF ? ABD ? ,即三棱锥 B—ADF 的体积为 . (14 分) 9 9 3 5

考点:线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、柱体、椎体、台体的体积 20. (1)0.3,0, 。2,0.1; (2)3 人,2 人,1 人; (3) 【解析】 试题分析: (1)直接利用频率分布直方图,求出各组的频率,然后求出频数. (2)利用频率 × 样本=频数,求出各组人数. (3)设出 3 组的人数符号,然后列出所有基本事件,求出基 本事件的数目,满足题意的数目,求出所求概率即可. 试题解析: (1)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06× 5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04× 5=0.2, 第 5 组的频率为 0. 02× 5=0.1. 2分

(2) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2× 100=20, 第 5 组的人数为 0.1× 100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志 愿者,每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 × 6=3; 第 4 组: × 6=2; 第 5 组: × 6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.

6分

(3)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有:
答案第 7 页,总 9 页

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(A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , ( A 1 ,C 1 ) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A 2 , B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) ,共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1, B2) , (B1,C1) , (B2,C1 ) ,共有 9 种, 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 考点:概率统计 21. (1) 直线 A1 A2 的方程为 y ? ? 【解析】 试题分析: (1) 由圆的切线性质知 x ? 2 是圆的一条切线, 切点为 A 又 MO ? A 1 (2,0) , 1A 2, 而 kOM ? 2 ,因此 k A1 A2 ? ?

9 3 = . 15 5

12 分

1 x2 y ? x 或 y ? ?x ( x ? 2) , 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 ; (2) 4 2

1 1 , A1 A2 方程为 y ? ? ( x ? 2) ,它与 y 轴的交点为 (0,1) ,于 2 2

是可得椭圆中 a ? 2, b ? 1 ; (2)由(1)椭圆 C2 方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由 OB ? 2OA 可得 16 4

A, B, O 三点共线且不为 y 轴,这样可设直线 AB 方程为 y ? kx ,分别代入 C1 , C2 的方程可
2 得 x1 ?

4 16 2 2 , x2 ? ,再由 OB ? 2OA 得 x2 ? 4 x12 ,由此解得 k ? ?1 . 2 2 1 ? 4k 4?k

试题解析: (1) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A 1 (2,0) , 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A 1A 2, 所以 k A1 A2 ? ? 2分

1 kMO

1 1 ? ? ,所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ? ( x ? 2) 2 2

4分

直线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 ,所求椭圆的方程为 分

x2 ? y2 ? 1 4

6

x2 y2 ? ?1 (2)依题意椭圆 C 2 的方程为 16 4

8分

9分
答案第 8 页,总 9 页

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11 分

? k ? ?1 ,所求直线为: y ? x 或 y ? ? x

12 分

考点:直线和圆相切,椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系. 22. (Ⅰ )a=0 时,f(x)单调递增, (Ⅱ ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ )先求导函数,然后讨论 a 为 0 时,f(x)在 R 上单调递增,然后研究 a>0 时求出导数等于 0 的值,然后根据 f'(x)>0,f'(x)<0 得到函数的单调区间; (Ⅱ )讨论 a,使函数 f(x)在[0,1]上单调递增,求出相应的 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ ) f( ' x) ? x3 ? (2 ? a)x ? 1 ? a ? (x ? 1 )(x ? 1 ? a)
2 当 a=0 时, f ( ' x)( ? x ?1 ) ? 0 恒成立

当且仅当 x=-1 时取“=”号,f(x)在 R 上单调递增. (2 分) 当 a>0 时,由 f ( ' x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 ,x2 ? a ?1 且 x1<x2 当 x 变化时, f ( 的变化如下表: ' x)、( f x)

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?1)
+

—1 0 极大值

(?1, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)
+

f(x)在(-∞,-1)单调递增,在(-1,a-1)单调增减,在(a-1,+∞)单调递增, (Ⅱ )当 a=0 时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)≥f(0)=1 恒成立. (7 分) 当 a>0 时,由(Ⅰ )可知 若 0<a≤1 时,则 f(x)在[0,1]上单调递增 (9 分) 若 a>1,则 f(x)在[0,a-1]上单调递减,f(x)在[0,1]上不单调递增 (11 分) 综上,a 的取值范围是[0,1]. (12 分) 考点:利用导数研究函数的性质
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