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吉林省延边二中2015-2016学年高二数学下学期期中试题理(新)



延边第二中学 2015—2016 学年度第二学期期中 考试高二数学(理)试卷
(时间 120 分,满分 140 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每题只有一个选项正确) 1.在复平面内,复数 z ?
3 A. i 5
3 B. ? i 5
2 2 2

3i 的虚部为( ) . ?1 ? 2

i
C.
3 5
2

D. ?
2

3 5

2.用数学归纳法证明 1 +3 +5 +?+(2n﹣1) = n(4n ﹣1)过程中,由 n=k 递推 到 n=k+1 时,不等式左边增加的项为( ) 2 2 2 A. (2k) B. (2k+3) C. (2k+2) 3.

D. (2k+1)

2

?

?

4 0

cos 2 x dx ? ( ) cos x ? sin x
2 ?1

A. 2

?

?

B. 2 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

, ?有 ) 下 列 各 式 : x? 4 . 已 知 x?( 0 ?
x?
( A. 4
4

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 , x x 2 2 x

27 x x x 27 a ? ? ? ? 3 ? 4 成立,观察上面各式,按此规律若 x ? 4 ? 5 ,则正数 a ? 3 x x 3 3 3 x
) B.5 C. 4 D. 5
5

f ( x) ? x 3 ? x ?
5. 函数 在区间 [?n,?m] 上有( A.最大值-10 6.若曲线 f ? x ? ?

a ?8 (a ? R) 在区间 [m, n] 上有最大值 10, x 则函数 f ( x)
) C. 最小值-26 D. 最大值-26

B. 最小值-10

x , g ? x ? ? x a ,在点 P ?1,1? 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ? l2 ,
1 2
D. ?

则实数 a 的值为( )

A.-2

B.2

C.

1 2

1

7.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从 “ ???????0000 ”到“ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡 号的后四位带有数字“3”或“6”或“9”的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中 “优惠卡”的个数为( ) A. 2000 B. 4096 C.7599 D. 8320 8.学校计划利用周五下午第一、二 、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科 的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则 不同的安排方法共有 ( A.36 种 ) B. 30 种 C. 24 种 D. 6 种

9.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且 每个盒子中的小球个数都不相同,则共有不同的放法( ) A.15 种 B.18 种 C.19 种 D.21 种 10.将 5 本不同的书摆成一排, 若书甲与书乙 必须相邻, 而书丙与书丁不能相邻, 则不同的摆法种数为( ) A.48 B.24 C.20 D.12
2 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x sin x 在 x ? x0 处取极值,则 (1 ? x0 )(1 ? cos2x0 ) =( ).

A. 1 12 . 已 知 曲 线 ,曲线 线 的距离与线段

B.

1 2
,点

C.2

D. 4 是曲线 上的点

在点

处的切线是



与 轴相交于点 的坐标为(

.若原点到切 )

的长度之比取得最大值,则点 B.

A. ?

?1 1 ? , ? ? n 4n ?

? 1 1 ? ? , ? ? 2n 4n ?

C. ?

? 1 1? , ? ? 2n n ?

D. ?

? 1 1 ? , ? ? 4n 2n ?

二、填空题(包括 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上) 13. 若 函 数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 图 像 在 点 1, f ?1? 的 处 切 线 过 点 ? 2, 7 ? , 则
3

?

?

a?

.

14.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x) 的 导函数, 则不等式 e f ( x) ? e ? 5 ( 其中 e 为自然 对数的底数 )的解 集
x x





2

2 用一个单独的符号表示以外,其他分数都 3 2 1 1 可写成若干个单分数(分子为 1 的分数)和的形式,例如 ? ? ,可以这样 5 3 15 1 1 1 理解:假定有两个面包,要平均分给 5 人,如果每人 ,不够,每人 ,余 , 2 3 3 1 1 1 1 2 再将这 分成 5 份, 每人得 , 这样每人分得 ? .形如 ? n ? 5, 7,9,11?? 的 3 15 3 15 n 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 , ? ? 分数的分解: ? ? , ? ? , 按此规律 ? . 11 5 3 15 7 4 28 9 5 45 2 1 16. 已知函数 g ( x ) ? a ? x ( ? x ? e, e 为自然对数的底数 )与 h( x ) ? 2ln x 的 e
15.埃及数学发现一个独特现象:除 图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(包括 6 个题,17、18 题各 10 分,19、20、21 题 12 分,22 题为附 加题,20 分。请写必要的解答过程) 17.已知复数 z ? a ? 7a ? 6 ? (a ? 5a ? 6)i(a ? R) ,
2 2

(1)a 为何值时,z 是纯虚数; (2)当 z

a?6

? 10 时,求 Z 的共轭复数.

18. 某地有 10 个著名景点,其中 8 个为日游景点,2 个为夜游景点.某旅行团要 从这 10 个景点中选 5 个作为二日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚 上各一个景点,第二天上午、下午各一个景点. (1)甲、乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有多少种? (2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种? (3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有多少种不同排法? 19.湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级, 从而扩大内需, 提高旅游增加值, 经过市场调查, 旅游收入 y 万元与投入 x( x ? 10)
2 万元之间满足:y ? f ( x) ? ax ?

101 x x ? b ln ,a , b 为常数, 当 x ? 10 万元时, 50 10

y ? 19.2 万元;当 x ? 20 万元时, y ? 35.7 万元 . (参考数据: ln 2 ? 0.7 ,

ln 3 ? 1.1 , ln 5 ? 1.6 )
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求该景点改造升级后旅游利润 T ( x) 的最大值.(利润=旅游收入-投入)

3

20 . 已 知 f ? x ? ?

m ? n ln x ( m, n 为 实 数 ) ,在 x ?1 处的切线方程为 x ?1

x? y ?2 ? 0.
( 1)求 y ? f ? x ? 的单调区间; ( 2 ) 若 任 意 实 数 x ? ? ,1? , 使 得 对 任 意 t ? ? , 2? 的 上 恒 有 e 2

?1 ? ? ?

?1 ?

? ?

f ? x ? ? t 3 ? t 2 ? 2at ? 2 成立,求实数 a 的取值范围.

( x ? 1)2 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有

f ? x ? ? k ? x ?1? .
22.(附加题)(本小题满分20分)设函数 g ? x ? ? x ? 2x ?1 ? m ln x ( m ? R ) .
2

(1)求函数 y ? g ? x ? 的单调递增区间;

(2)若函数 y ? g ? x ? 有两个极值点 a , b ,且 a ? b ,记 ? x ? 表示不大于 x 的最 大整数,试比较 sin

? ? g ? a ?? ? 与 cos ? g a ? ? g b ? 的大小. ? ? ?? ? ? ?? ? ? g ? b ?? ?

?

?

4

1 D

2 D

3 C

4 A

5 C

6 A

7 C

8 B

9 B

10 B

11 C

12 B

12 . 试 题 分 析 : 因 为 ,即

, 所 以 切 线 ,令 ,得

的 方 程 为 ,所以点

坐标为

;原点

到切线

的距离



,所以 ,即 时,等号成立,此时

,当且仅当 ,所以点 的坐标为

. 13. 1 14. (0,+∞) 15.

1 1 ? 6 66

2 2 16. [1, e ? 2] .试题分析:由题意,方程 a ? x ? ?2ln x 在 [ , e ] 上有解,变形为

1 e

2 1 a ? x 2 ? 2 ln x( ? x ? e) , a ' ? 2 x ? , x e 1 当 ? x ? 1 时, a ' ? 0 ,当 1 ? x ? e 时, a ' ? 0 , a '(1) ? 0 ,因此 x ? 1 时, a 取得最小 e 1 1 1 2 2 2 值 1,又 a ( ) ? 2 ? 2 ,a(e) ? e ? 2 ,因为 e ? 2 ? 2 ? 2 ,所以 a 的最大值为 e ? 2 , e e e

a 的范围是 [1, e2 ? 2] .
17.【答案】 (1) a ? 1 (2)当 a ? 2 时, z ? ?4 ? 12i ,得 Z ? ?4 ? 12i ;当 a ? ?2 时,

z ? 24 ? 8i ,得 Z ? 24 ? 8i
2 2 试题分析: (1)Z 是纯虚数, a ? 7a ? 6 ? 0 ,且 a ? 5a ? 6 ? 0 ,得 a ? 1

10 分

(2)当

z 2 2 ? 10 时, (a ?1) ? (a ?1)i ? 10 ,得 (a ?1) ? (a ? 1) ? 10 ,得 a ? ?2 a?6
5

当 a ? 2 时, z ? ?4 ? 12i ,得 Z ? ?4 ? 12i ;当 a ? ?2 时, z ? 24 ? 8i ,得 Z ? 24 ? 8i 18. 【答案】 (1)甲、乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有 2640 种; (2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有 240 种; (3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有 2640 种不同排法. 试题分析: (1) C2 ? ?C6 A4 ? C2 ? C6 ? A4 ? ? 2640(种)
1 2 4 1 3 4

(2) C2 ? C2 ? A2
1 1

2

? A62 ? 240(种)

(3) C2 ?
1

?A

4 8

? C62 ? A44 ? ? 2640(种)

19.. (Ⅰ) f ( x) ? ?

x 2 101 x ? x ? ln ( x ? 10). ; (Ⅱ)24.4 万元. 100 50 10

试题分析: (Ⅰ)由 x ? 10 万元时, y ? 19.2 万元; x ? 20 万元时, y ? 35.7 万元代入已 知函数,解方程组 a , b ; (Ⅱ)由导数法求极值,再求最值.

101 ? a ? 102 ? ? 10 ? b ln 1 ? 19.2 ? ? 50 试题解析: (Ⅰ)由条件 ? , ?a ? 202 ? 101? 20 ? b ln 2 ? 35.7 ? 50 ?
解得 a ? ?

1 ,b ? 1, 100

x 2 101 x ? x ? ln ( x ? 10). 则 f ( x) ? ? 100 50 10
(Ⅱ)由 T ( x) ? f ( x) ? x ? ? 则 T ?( x) ?

x 2 51 x ? x ? ln ( x ? 10) 100 50 10

? x 51 1 ( x ? 1)( x ? 50) ? ? ?? , 50 50 x 50 x

令 T ?( x) ? 0, 则x ? 1 (舍)或 x ? 50 当 x ? (10,50) 时, T ?( x) ? 0 ,因此 T ( x) 在(10,50)上是增函数;

6

当 x ? (50,??) 时, T ?( x) ? 0 ,因此 T ( x) 在(50,+∞)上是减函数,

? x ? 50 为 T ( x) 的 极 大值 点 . 即该 景点改 造升 级后 旅游 利润
T (50) ? 24.4 万元.
20. (1)减区间为 ? 0, ?? ? ,没有递增区间; (2) a ? 试题解析: (1)f ' ? x ? ? ?

T ( x) ) 的 最大 值为

5 4

1 n ' 由条件可得:f ?1? ? 1, f ?1? ? 1? m ? 2, n ? ? ? , 2 ? x ? 1? x

m

2

? f ' ? x? ? ?
间;

2

? x ? 1?

2

?

1 没有递增区 ? x ? 0 ? f ' ? x ? ? 0? f ? x ? 的减区间为 ? 0, ?? ? , 2x

(2)由⑴可知, f ? x ? 在 ? ,1? 上的最小值为 f ?1? ? 1

?1 ? ?e ?

1 ?1 ? ? 只需 t 3 ? t 2 ? 2at ? 1? 2a ? t 2 ? t ? 对任意 t ? ? , 2? 恒成立 t ?2 ?
令 g ? t ? ? t 2 ? t ? , g ' ? t ? ? 2t ? 1 ?

1 t

2 1 ? t ? 1? ? 2t ? t ? 1? ? t2 t2

?当

1 ? t ? 1 时, g ' ?t ? ? 0, g ? x ? 单调递减,当 1 ? t ? 2 时, g ' ?t ? ? 0, g ? x ? 单调递增 2

而g?

5 5 5 ?1? ? ? g ? 2 ? ? 0 ? g ? t ? 的最大值为 g ? 2 ? ? 2 ? 只需 2a ? 2 ? a ? 4 ; ?2?

21. 【答案】(Ⅰ) ? 0, ?

? 1? 5 ? (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ?; 2 ? ? ?

试题解析: ( I ) f ?? x? ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ??? . 由 f ? ? x ? ? 0 得 x x

? 1? 5 ? ?x ? 0 1? 5 解得 0 ? x ? .故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ? ? 2 ? ?. 2 2 ? x ? x ? 1 ? 0 ? ? ?
7

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? .则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时 , F? ? x ? ? 0 , 所 以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 , 故 当 x ? 1 时 , ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. F ? x ? ? F? 1 ?? 0 (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x? ? k ? x ?1? ,从而不存在

x0 ? 1 满 足 题 意 . 当 k ? 1 时 , 令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? , 则 有
G? ? x ? ? ? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 .由 G? ? x ? ? 0 得,? x2 ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .解 ? x ?1? k ? x x

得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1 .当 x ? ?1, x2 ? 时,G? ? x ? ? 0 ,
,即 0

故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内 单 调 递 增 . 从 而 当 x ? ?1, x2 ? 时 , G ? x ? ? G? ? 1?

f ? x? ? k x1? ,综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . ? ?
22. 【答案】 ( 1) m ?

1 1 函数的增区间为 (0,??) ; 0 ? m ? ,函数的单调增区间为 2 2 ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 0, ? 与 ? ? ; m?0 函 数 的 单 调 增 区 间 为 , ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 2m ? ? ? (2) 当 [ g (a)] ? ?1 时, sin [ g (a )] ? cos([ g (a )][ g (b)]) ; , ?? ? ? 2 [ g (b)] ? ? [ g (a )] 当 [ g ( a )] ? 0 时, sin ? cos([ g (a )][ g (b)]) [ g (b)]

试题解析: (1)显然函数的定义域为 (0,??) ,且 g ( x) ? 2 x ? 2 ?
/

m 2x 2 ? 2x ? m ? 令 x x g / ( x) ? 0 并结合定义域可得 2 x 2 ? 2 x ? m ? 0 对应一元二次方程的判别式 ? ? 4 ? 8m
1 1 ? 1 ? 2m 时 , 对 应 方 程 有 两 个 不 等 实 根 x1 ? 与 2 2
8

故 当 ? ? 4 ? 8m ? 0 , 即 m ?

x2 ?

1 ? 1 ? 2m 2
1 时, 所以函数的增区间为 (0,??) g / ( x) ? 0 恒成立, 2

① 当 ? ? 4 ? 8m ? 0 , 即m ? ② 当0 ? m ?

1 时,对应方程两根为正,故函数的单调增区间为 2 ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 0, ? 与? ,?? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ③ 当 m ? 0 时 , 对 应 方 程 两 根 x1 ? 0 , x2 ? 0 , 故 函 数 的 单 调 增 区 间 为

? 1 ? 1 ? 2m ? ? ? , ?? ? ? 2 ? ? m 2x2 ? 2x ? m 2 (3)g ?( x) ? 2 x ? 2 ? , 令 g ?( x) ? 0 得 2 x ? 2 x ? m ? 0, 由题意知方 ? x x ?? ? 4(1 ? 2m) ? 0, 1 ? 程有两个不相等的正数根 a, b(a ? b) ,则 ? m 解得 0 ? m ? , 2 ?0 ? ?2

1 ? 1 ? 2m 1 ,则 ? b ? 1 .又由 2b 2 ? 2b ? m ? 0 得 m ? ?2b 2 ? 2b , 2 2 1 2 2 2 所以 g (b) = b ? 2b ? 1 ? m ln b ? b ? 2b ? 1 ? (?2b ? 2b) ln b , b ? ( ,1). 2 1 1 g ?(b) ? 2b ? 2 ? (?4b ? 2) ln b ? 2 ? 2b ? ?4(b ? ) ln b 当 b ? ( ,1) 时, g ?(b) ? 0 , 2 2 1 1 ? 2 ln 2 即 函 数 g (b) 是 ( ,1) 上 的 增 函 数 所 以 ? g (b) ? 0 , 故 g (b) 的 取 值 范 围 是 2 4 1 1 ? 2 ln 2 则 . 同 理 可 求 , ( ,0) 0?a? [ g (b)] ? ?1 4 2 1 1 g (a ) = a 2 ? 2a ? 1 ? (?2a 2 ? 2a ) ln a , a ? (0, ). g ?(a ) ? ?4(a ? ) ln a ? 0 ,即函数 2 2 1 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 故 g ( a ) 的取值范围是 ( ? g (a) ? 1 , ,1) g (a ) 是 (0, ) 上的减函数所以 2 4 4 [ g (a )] 则 [ g ( a )] ? ?1 或 [ g ( a )] ? 0 当 [ g ( a )] ? ?1 时 , sin ? cos([ g (a )][ g (b)]) ; 当 [ g (b)] [ g (a )] ? cos([ g (a )][ g (b)]) . [ g (a )] ? 0 时, sin [ g (b)]
解方程得 b ?

9



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