2.1.1 指数与指数幂的运算

2.1.1 指数与指数幂的运算

问题1、根据国务院发展研究中心2000年发
表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？

树龄达3500多年,树高26.3米,周粗15.7 米,号称“天下第一银杏树”.

浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北 朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已 有1500 多年的历史 ,院内有一棵银杏树 , 树龄 达3500多年,号称“天下第一银杏树”．

银杏 , 叶子夏绿 秋黄 ,是全球中最古 老的树种 . 在 200 多 万年前 ,第四纪冰川 出现 ,大部分地区的 银杏毁于一旦 ,残留 的遗体成为了印在 石头里的植物化石 . 在这场大灾难中 , 只 有中国保存了一部 分活的银杏树 ,绵延 至今 ,成了研究古代 银杏的活教材 .所以, 人们把它称为“世 界第一活化石”.

考古学家根据什么推断出银杏于 200 多万 年前就存在呢?

问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳 14会 按确定的规律衰减 , 大约每经过 5730 年衰减为 原来的一半 , 这个时间称为“半衰期” . 根据此 规律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢 我们可以先来考虑这样的问题: (1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原 来的多少?
1, 2
( 1 )2 , 2 ( 1 ) 3 ,? . 2

(2)当生物体死亡了6000年,10000年,100000年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
(1) 2
6000 5730

,

(1) 2

10000 5730

,

(1) 2

100000 5730

,? .

(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P ? (1) 2
t 5730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t 年后,体内碳14的含量P的值.

(4)那么这些数 ( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 ,( 1 ) 5730 2 2 2 区别?

6000

10000

30000

的意义究

竟是什么呢 ?它和我们初中所学的指数有什么 这里的指数是分数的形式.
指数可以取分数吗 ?除了分数还可以取 其它的数吗 ? 我们对于数的认识规律是怎样 的? 自然数→整数→分数(有理数)→实数.

(5) 指数能否取分数 ( 有理数 ) 、无理数呢 ? 如 果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后, t 关系式 P ? ( 1 ) 5730 就会成为我们后面将要相 2 继 研究的一类基本初等函数 —“指数函数”的 一个具体模型. 为了能更好地研究指数函数 , 我们有必 要认识一下指数概念的扩充和完善过程 , 这 就是下面三节课将要研究的内容: 从今天开始,我们学习指数与指数幂的运 算.

一、根式

4 ??
2

乘方运算

? ? 16
2
4和- 4叫做16的平方根

开方运算

2 ?8
3
2叫做8的立方根

引入新课

? ? 81
4

? ? ?32
5
要求：用语言描述式子的含义

? 2 称为-32的五次方根

? 3 称为81的四次方根

定义1:如果xn=a(n>1,且n?N*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数 填空: ? 25 ? ?5 (1)25的平方根等于_________________ 3 (2)27的立方根等于_________________ 27 ? 3 (3)-32的五次方根等于5 _______________ ? 32 ? ?2 (4)16的四次方根等于______________ ? 4 16 ? ?2 3 (5)a6的三次方根等于_______________ a6 ? a 2 7 (6)0的七次方根等于___________ 0 ?0

a

练一练

3 3?
?2

27

?2
?3

2

?4

3
5

? ?8
? ?32

2 4

?9 ? 16

?2

?2

观察思考：你能得到什么结论？

? 27 3 ? 2 ? ?8
3
?2 5

得出结论 3

3? ?2 ? ?2 ?
5

3 3

27 ?8 ? 32

? ?32 x ? 11
5

x?

5

11

结论：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正 数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根 只有一个，记为 x ? n a ．

?4 2 ?3 ? 9 4 ? 2 ? 16
?2

2

得出结论

?2?? 4 ?3? ? 9
? 2 ? ? 16
4

x ? 12
6

x ? ? 12
6

结论：当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个， n 它们互为相反数．正数a 的正nn 次方根用符号 n 表 a a 示；负的 n 次方根用符号 ? n a表示，它们可以合并 写成 ? n a (a ? 0) 的形式． 负数没有偶次方根．

性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)

(

n

a)
5

n

?a
?2 _______
4

?32 ? 2 ?
10

81 _______ 3
81 3 _______
12

3 32 ________

探究

n

a ?a
n

一定成立吗？

1、当 n 是奇数时，n a n ? a
a ( a ? 0 ) ? 2、当 n 是偶数时， a ?| a |? ? ?? a (a ? 0)
n n

例1、求下列各式的值：

(1) (?8)
3 4

3 4

(2) (?10)

2 2

(3) (3 ? ? )

(4) (a - b) (a ? b).

练习：判断下列说法是否正确：
（1）－2是16的四次方根； （2）正数的n次方根有两个； （3）a 的n次方根是
n

a ；

（ 4）

n

a ? a(a ? 0).
n

解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。

二、分数指数幂
?

1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
n 0 0

a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1 (a ? 0) , 0 无意义
a
?n

1 ? n a
n

( a ? 0)
m? n

a ?a ? a
m

; (a ) ? a
m n

mn

(a ) ? a , (ab) ? a b
n m mn n

n n

?
5

2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2 10 5

a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4

8 2

4

a ? (a ) ? a ? a
12 4 3 4 3

12 4

5

a ? (a ) ? a ? a
10
5

2 5

2

10 5

?小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）

?

思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
3

a ? a ? (a ? 0)
2
4

2 3

b ? b ? (b ? 0)

1 2

c ? c ? (c ? 0)
5
m n

5 4

n 即： a m ? a (a ? 0, n ? N * , n ? 1)

?

为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：

a ? a (a ? 0, m, n ? N )
n m *

m n

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同

即：a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数
指数幂无意义

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因

此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

a ?a ? a
r s
r S rs

r ?s

(a ? 0, r, s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
(a ? b) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

例2、求值
8
2 3

;

25

?

1 2

;

?1? ? ? ? 2?

?5

? 16? ; ? ? ? 8 1?

?

3 4

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

(1) a ?

3

a ( 2) a ?

2

3

a

2

(3) a a

3

例4、计算下列各式（式中字母都是正数）

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m n )

1 4

3 ? 8 8

例5、计算下列各式

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

( a ? 0)

三、无理数指数幂

一般地，无理数指数幂 a? (

? >0, ? 是

无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.

思考：请说明无理数指数幂

2

3

的含义。

课堂练习：课本P54练习1、2、3。

小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化

3、有理指数幂的含义及其运算性质

1、已知 x

?3

?3 ?6 ? ? ? 1 ? a ，求 a 2ax x 的值。

2

2、化简

(
16

3 6

a ) ?(
9 4
8

6 3

a 9 ) 4 的结果是（C）
4

A.a

B. a

C. a

D. a

2

3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2

4、若10x=2，10y=3，则10

3 x? y 2

2 6 ? 3 。

B 5、a , b ? ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a ?
6 6 6

）

2 2 8 2 2 8 ? ? ? ? ? b) a b B. ( a b ) a b

C.

4

a

4

?

4

b

4

? a ? b D. 10 ( a ? b ) 10 ? a ? b

? 6.x取何值时，下列式子有意义。
1 ? 3 2 3 1 ? 2

(1) 1 ? x , (2)(x ? 1) , (3)(x ? 1) , (4) x
4

练习①计算 3 (?8)3 ? 4 ( 3 ? 2)4 ? 3 (2 ? 3)3
?

②若
a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围

?

③已知

( x ? a) 2 ? ( b ? x ) 2 ? b ? a

?

则b __ a (填大于、小于或等于)
④已知 x ? a 3 ? b 2，求 4 x2 ? 2a3 x ? a6 的值

?